Так как квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то

Отсюда имеем:

Так как квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то

Отсюда имеем:

Так как длина отрезка — неотрицательное число, то

Пусть — точка пересечения общей касательной и прямой Тогда как отрезки касательных к окружности из одной точки, аналогично Получили, что точка равноудалена от точек и следовательно, и лежат на окружности с центром в и радиусом Кроме того, хорда проходит через центр окружности значит, — диаметр этой окружности.

Произведение отрезков секущих равны:

Покажем это. Построим — касательную.

Так как квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей, то

В данной задаче имеем: откуда тогда

Докажем, что диаметр — это хорда наибольшей длины. Пусть — произвольная хорда, не являющаяся диаметром, а — диаметр. Тогда треугольник прямоугольный, — гипотенуза, — катет, следовательно, то есть диаметр больше любой хорды.

Чтобы радиус исходной окружности был наименьшим, необходимо, чтобы хорда была наибольшей, то есть чтобы была диаметром окружности. При этом то есть условие выполнено.

Таким образом, наименьшее возможное значение равно

Рассмотрим картинку:

Т.к. угол опирается на диаметр, то он прямой. Следовательно, треугольник прямоугольный, и — высота, опущенная из вершины прямого угла. Следовательно, она делит треугольник на два подобных треугольника и Значит:

Рассмотрим картинку:

Проведем из центра окружности точки радиус Т.к. весь диаметр равен то радиус равен Следовательно,

Т.к. радиус, перпендикулярный хорде, делит ее пополам, то Найдем Треугольник — прямоугольный, следовательно,

Значит,

По свойству окружности квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей:

Покажем это. Проведем хорды и

Рассмотрим треугольники и В них — общий. Далее, так как угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, заключённой между ними, то

Таким образом, треугольники и подобны по двум углам. Из их подобия следует, что

Отсюда получаем то, что требовалось:

Тогда окончательно имеем:

Произведение отрезков одной из пересекающихся хорд равно произведению отрезков другой. Покажем это. Соединим и

Рассмотрим треугольники и как вертикальные, и — вписанные, опирающиеся на одну дугу, следовательно,

Таким образом, треугольники и подобны по двум углам. Из их подобия следует, что

(в подобных треугольниках против равных углов лежат пропорциональные стороны), откуда можно получить В данной задаче имеем: откуда

Так как и — пересекающиеся в точке хорды, то

Тогда откуда имеем:

Следовательно, тогда

Рассмотрим картинку:

Т.к. отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны, то и

Следовательно, периметр

В прямоугольном треугольнике медиана из вершины прямого угла равна половине гипотенузы. Покажем это. Опишем около треугольника окружность.

Так как — вписанный, то он равен половине градусной меры дуги, на которую опирается. Следовательно, градусная мера дуги не содержащей точку равна Значит, — диаметр и — центр описанной около треугольника окружности.

Тогда как радиусы и искомый отрезок равен