Окружность: углы, образованные хордами, секущими, касательными —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Окружность: углы, образованные хордами, секущими, касательными

Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.15 Окружность: углы, образованные хордами, секущими, касательными

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#75890

Через концы $N$ и $K$ дуги окружности с центром $O$ проведены касательные $NS$ и $SK.$ Большая дуга $NK$ равна $274∘.$ Найдите угол $NSK.$ Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

$PIC$

Касательная окружности перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания, поэтому углы $ONS$ и $SKO$ прямые. Большая дуга $NK$ равна $274∘,$ меньшая равна $360∘− 274∘ = 86∘.$ Тогда центральный угол $NOK = 86∘.$ Сумма углов четырехугольника $∘ 360 .$ Найдем угол $S :$

S = 360∘ − 86∘− 2⋅90∘ = 94∘.

Ответ: 94

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#2489

Найдите угол $ACB$ между секущими из точки $C$ к окружности, если вписанные углы $ADB$ и $DAE$ опираются на дуги окружности с градусными мерами $118∘$ и $38∘$ соответственно. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как угол между двумя секущими, проведенными из точки вне окружности, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то

∘ ∘ ∘ ∠ACB = 0,5(118 − 38 )= 40

Ответ: 40

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#2488

Угол $ACO$ равен $24∘.$ Его сторона $CA$ касается окружности с центром в точке $O.$ Найдите градусную меру дуги $AD,$ заключенной внутри этого угла, если $B$ и $D$ — точки пересечения секущей $CO$ с окружностью. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Найдем градусную меру меньшей дуги, стягиваемой хордой $AB.$ Она равна центральному углу $AOB,$ на нее опирающемуся.

Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то $∠OAC = 90∘.$ Следовательно, из треугольника $OAC :$

∘ ∘ ∘ ∠AOC = 90 − 24 = 66

Тогда имеем:

∘ ∘ ∠AOD =180 − ∠AOC = 114

Дуга $AD,$ заключенная внутри угла $ACD,$ равна центральному углу $AOD$ и равна $114∘.$

Ответ: 114

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#2487

Через концы $A$ и $B$ дуги окружности с градусной мерой $62∘$ проведены касательные $AC$ и $BC.$ Найдите угол $ACB.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как угол между касательной и хордой, проведенными из одной точки окружности, равен половине дуги, заключенной между ними, то

∘ ∘ ∠ABC = ∠BAC = 0,5 ⋅62 = 31

Следовательно, из $△ABC$ имеем:

∘ ∘ ∘ ∠ACB = 180 − 2 ⋅31 = 118

Ответ: 118

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#2486

Угол между хордой $AB$ и касательной $BC$ к окружности равен $32∘.$ Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой $AB.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

1 способ.

Так как угол между хордой и касательной, проведенными из одной точки окружности, равен половине дуги, заключенной между ними, то меньшая дуга $A⌣B$ равна $2⋅32∘ = 64∘.$

2 способ.

$PIC$

Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то $∠OBC = 90∘.$ Следовательно,

∠OBA = 90∘ − 32∘ = 58∘

Так как $OB = OA$ — радиусы, то треугольник $OBA$ равнобедренный, следовательно,

∠AOB = 180∘− 2⋅58∘ = 64∘

Так как дуга равна центральному углу, опирающемуся на нее, то меньшая дуга $⌣ AB$ равна $∠AOB$ и равна $64∘.$

Ответ: 64

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#2485

Хорда $AB$ стягивает дугу окружности в $92∘.$ Найдите угол $ABC$ между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку $B.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как угол между хордой и касательной, проведенными из одной точки окружности, равен половине дуги, заключенной между ними, то

∘ ∘ ∠ABC = 0,5⋅92 = 46

Ответ: 46

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#2376

Касательные $CA$ и $CB$ к окружности образуют угол $ACB,$ равный $112∘.$ Найдите величину меньшей дуги $AB,$ стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $O$ — центр окружности. Проведем радиусы $OA$ и $OB.$ Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то $OA ⊥ AC, OB ⊥ BC.$ Заметим, что $OACB$ — четырехугольник. Так как сумма углов четырехугольника равна $360∘,$ то

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∠AOB = 360 − 112 − 90 − 90 = 68

$∠AOB$ — центральный угол, опирающийся на дугу $AB,$ следовательно, $A⌣B= ∠AOB = 68∘.$

Ответ: 68

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#2311

$AB$ – касательная к окружности, причем $A$ – точка касания. На окружности на одинаковом расстоянии от точки $A$ отмечены точки $C$ и $D$ , причем дуга $C⌣D$ , не проходящая через точку $A$ , равна $∘ 110$ . Найдите угол $BAD$ , если $∠BAD < ∠BAC$ . Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Рассмотрим картинку:

$PIC$

Т.к. дуги, стягиваемые равными хордами, равны, то $⌣ ⌣ AC= AD= x.$ Т.к. вся окружность равна $360∘$ , то

∘ ∘ ∘ x+ x+ 110 = 360 ⇒ x = 125

Угол $BAD,$ образованный касательной $AB$ и хордой $AD,$ равен половине дуги, заключенной между ними, то есть

∠BAD = 0,5 A⌣D= 62,5∘

Ответ: 62,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#2000

Из точки $A$ вне окружности проведены две касательные $AB$ и $AC.$ Через произвольную точку $X$ на окружности проведена касательная к окружности, пересекающая $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите угол $MON,$ если $∠BAC = 32∘.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Рассмотрим картинку (пусть $B, C$ — точки касания):

$PIC$

Т.к. отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны, то $MB = MX$ и $NC = NX.$ Т.к. радиусы, проведенные в точку касания, перпендикулярны касательной, то

∠OCN = ∠OXN = ∠OXM = ∠OBM = 90∘

Таким образом, по двум катетам равны треугольники: $△OBM = △OXM$ и $△OXN = △OCN.$

Значит, $∠BOM = ∠XOM$ и $∠XON =∠CON.$ Следовательно, $1 ∠MON = 2∠BOC.$

Т.к. в четырехугольнике сумма углов равна $360∘,$ то в четырехугольнике $ABOC :$

∘ ∘ ∘ ∘ ∠BOC =360 − 90 − 90 − ∠A =180 − ∠A.

Следовательно,

1 ∘ ∘ 1 ∘ 1 ∘ ∘ ∠MON = 2 (180 − ∠A )= 90 − 2∠A = 90 − 2 ⋅32 = 74

Ответ: 74

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#1996

На рисунке диаметр $AB$ пересекает хорду $P T$ и делит ее пополам, а также пересекает хорду $KT.$ Дуга $PB,$ меньшая полуокружности, равна $75∘;$ дуга $AK,$ меньшая полуокружности, равна $15∘.$

$PIC$

Найдите угол между прямыми $AB$ и $KT.$ Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Рассмотрим картинку:

$PIC$

Т.к. диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен ей, то $AB ⊥ P T.$ Следовательно, $△P NB =△T NB$ как прямоугольные по двум катетам ( $PN = T N,$ $NB$ — общий). Следовательно, $P B = T B.$

Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то

T⌣B= P⌣B= 75∘

Тогда угол между хордами $AB$ и $KT$ равен полусумме дуг, заключенных между ними, то есть

0,5(15∘+ 75∘) = 45∘

Т.к. нам необходимо найти угол между прямыми (а это обязательно острый угол), то в данном случае он равен углу между данными хордами.

Ответ: 45

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#1995

Угол между двумя секущими, проведенными к окружности из точки $O$ вне окружности, равен $20∘.$ Найдите большую дугу, заключенную между секущими, если сумма градусных мер обеих дуг, заключенных между секущими, равна $100∘.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как угол, образованный двумя секущими, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то

∘ ∠O = 0,5(α − β) = 20

$PIC$

С другой стороны, по условию имеем:

α+ β =100∘

Решая систему из двух уравнений, находим $α = 70∘.$

Ответ: 70

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1994

Из точки $O$ вне окружности проведены две прямые, пересекающие окружность. Большая дуга, образованная этими прямыми, равна $44∘,$ а угол между прямыми равен $15∘.$ Найдите другую дугу, образованную этими прямыми. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Рассмотрим картинку:

$PIC$

Т.к. угол, образованный двумя такими прямыми-секущими, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то

∠O =15∘ = 1(44∘ − x) ⇒ x = 14∘ 2

Ответ: 14

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#1993

Найдите угол между двумя секущими, проведенными к окружности из точки $O$ вне окружности, если дуги, заключенные между этими секущими, равны $103∘$ и $47∘.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Т.к. угол, образованный двумя такими секущими, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то

1 ∠O = 2 (103∘− 47∘)= 28∘

Ответ: 28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#1991

Секущая $AB$ пересекает окружность и диаметр $CD$ так, как показано на рисунке.

$PIC$

Меньшая дуга $⌣ KD$ равна $40∘,$ $∠CBA = 30∘,$ прямая $BC$ параллельна прямой $AD.$ Найдите угол $BT D.$ Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Рассмотрим картинку:

$PIC$

Т.к. $BC ∥AD,$ то

∠CBT = ∠DAT = 30∘

$∠DCK,$ как вписанный и опирающийся на дугу $KD,$ равен ее половине, то есть $20∘.$ $∠CKD$ опирается на диаметр $CD,$ следовательно, равен половине от половины окружности, то есть $∘ 90.$ Значит,

∠CDK = 180∘− 90∘ − 20∘ = 70∘

$∠BT D$ — внешний угол для треугольника $ATD,$ следовательно, он равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним:

∠BT D = ∠TDA + ∠T AD = 30∘+ 70∘ =100∘

Ответ: 100

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#1556

$AC$ касается окружности в точке $C,$ $AB$ касается окружности в точке $B,$ $∠CAB = 58∘.$ Найдите $∠ACB.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны: $AB = AC.$ Покажем это: Построим радиусы $OB$ и $OC$ и соединим $OA.$

$PIC$

Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то $∠ACO =90∘ =∠ABO.$ $OC = OB,$ как радиусы, тогда в прямоугольных треугольниках $AOC$ и $AOB$ катеты $OC$ и $OB$ равны, а гипотенуза $AO$ — общая, следовательно, треугольники $AOC$ и $AOB$ равны по катету и гипотенузе, откуда получаем $AB = AC.$

Таким образом, треугольник $ABC$ — равнобедренный и

∠ACB = ∠ABC = 0,5(180∘− ∠CAB )= 61∘

Ответ: 61

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#1553

$AB$ — диаметр окружности с центром в точке $O,$ $CD$ — хорда, пересекающая $AB$ в точке $E,$ причём $CE = ED.$ Найдите $∠CEB.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Хорда, делящаяся диаметром пополам, перпендикулярна ему. Покажем это . Построим радиусы $OC$ и $OD.$

$PIC$

Треугольники $COE$ и $DOE$ равны по трём сторонам, тогда $∠CEO = ∠DEO,$ но $∠CEO + ∠DEO = 180∘,$ откуда $∠CEO = 90∘.$

∠CEB = 180∘ − ∠CEO = 90∘

Ответ: 90

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#1551

Прямая $b$ касается окружности в точке $B$ и образует с хордой $AB$ угол, равный $55∘.$ Найдите градусную меру дуги $AB,$ которая меньше полуокружности. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги окружности, заключённой внутри него, следовательно градусная мера искомой дуги равна $2⋅55∘ = 110∘.$

Ответ: 110

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#1142

Угол $ACB$ равен $42∘.$ Градусная мера дуги $AB$ окружности, не содержащей точек $D$ и $E,$ равна $124∘.$ Найдите угол $DAE.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как угол между двумя секущими, проведенными из одной точки вне окружности, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то

⌣ ⌣ ∠ACB = 0,5(AKB −DNE )= 42∘

$PIC$

Так как $⌣ ∘ AKB= 124,$ то имеем:

⌣ DNE= 124∘− 2⋅42∘ = 40∘

Тогда $∠DAE$ вписанный и опирается на дугу $⌣ DNE,$ то есть

∠DAE =0,5 ⋅DN⌣E= 20∘

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#701

Из точки $A$ вне окружности проведены две секущие к окружности, угол между которыми равен $11∘.$ Первая секущая пересекла окружность в точках $K1$ и $L1,$ вторая — в точках $K2$ и $L2,$ причем $K1L1 = K2L2$ и дуга $⌣ K1L1,$ меньшая полуокружности, равна $95∘.$

Найдите меньшую из дуг, заключенных между данными секущими.

$PIC$

Показать ответ и решение

Рассмотрим картинку:

$PIC$

Т.к. угол, образованный двумя такими секущими, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то

∠A = 0,5 (α − β )= 11∘ (1)

Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то (меньшая полуокружности) дуга $⌣ K2L2= 95∘.$ Вся окружность равна $360∘,$ следовательно,

α + β+ 2⋅95∘ = 360∘ ⇒ α+ β = 170∘ (2)

Решая систему из уравнений $(1)$ и $(2),$ получим, что $β = 74∘.$

Ответ: 74

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#700

Прямая $AB$ касается окружности в точке $A$ . На окружности отмечена точка $C$ так, что $CB ⊥ AB$ и $CB = AB √3.$ Найдите центральный угол, опирающийся на меньшую дугу $AC.$ Ответ дайте в градусах.