Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Построить последовательность, которая имеет в качестве своего частичного предела любое натуральное число.
Рассмотрим следующую последовательность:
(она устроена так: мы выписываем подряд в её члены первые чисел натурального ряда, потом начинаем заново,
выписываем первые число натурального ряда, и так далее...)
Ясно, что каждое натуральное число будет частичным пределом этой последовательности, поскольку мы можем
выбрать константную подпоследовательность, равную всегда 1, константную подпоследовательность, равную
всегда 2, и так далее, выбрать константную подпоследовательность, равную любому наперёд заданному числу
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Построить последовательность, которая имеет в качестве своих частичных пределов данные числа .
Подойдёт, например, последовательность
Ясно, что каждое из данных нам чисел является частичным пределом указанной последовательности. А именно,
будет пределом подпоследовательности, которая получается из исходной последовательности взятием членов с номерами
, где - любое натуральное. А всё потому, что такая подпоследовательность будет константной и будет всегда равна
.
Кроме того, ясно, что у нашей последовательности других частичных пределов нет, поскольку если , то при
нет ни одного члена исходной последовательности, находящегося от не дальше, чем
на .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Для последовательности найти .
Заметим, что удобно рассмотреть числовые подпоследовательности в которых будет константой, для этого обозначим
за числовые подпоследовательности , , следующее:
= =
= =
= =
Из того, что - функция с периодом имеем следующее:
= = =
= = =
= =
Найдем куда стремятся числовые подпоследовательности , , для этого разделим числитель и знаменатель на
числитель, получим:
=
=
=
Но ясно, что, поскольку , а , то на подпоследовательности достигается верхний предел исходной
последовательности .
Аналогично, поскольку , а , то на подпоследовательности , а также на подпоследовательности
достигается нижний предел исходной последовательности .
Следовательно, .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти все частичные пределы последовательности:
Обозначим данную последовательность за .
- 1.
- Рассмотрим подпоследовательность, состоящую из нечетных членов последовательности , то есть
.
Ясно, что
Следовательно, число 0 является частичным пределом исходной последовательности.
- 2.
- Рассмотрим подпоследовательность, состоящую из четных членов последовательности , то есть .
Ясно, что , посколькуСледовательно, число 1 является частичным пределом последовательности
- 3.
- Докажем, что других частичных пределов нет:
Предположим противное: существует подпоследовательность последовательности , такая что .
R три случая:- 3.1.
- подпоследовательность содержит бесконечное количество четных членов последовательности , и
конечное число нечётных членов. В таком случае ясно, что .
- 3.2.
- подпоследовательность содержит бесконечное количество нечетных членов последовательности , и
конечное число чётных членов. В таком случае ясно, что .
- 3.3.
- подпоследовательность содержит бесконечное количество и четных, и нечетных членов последовательности . В таком случае содержит и подпоследовательность, сходящуюся к 1, и подпоследовательность, сходящуюся к 0. Значит, в таком случае предела у подпоследовательности нет.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Доказать, что если выполнены 2 условия:
1. - монотонна, то есть либо для любого , либо для любого ;
2. Хотя бы одна подпоследовательность сходится
то тогда сама последовательность обязательно сходится.
Не ограничивая общности, будем считать монотонно возрастающей.
Нам дано, что у есть сходящаяся подпоследовательность. Пусть эта подпоследовательность .
Из факта сходимости получим:
Заметим, что . (Монотонно возрастающая подпоследовательность может стремиться к своему пределу
только снизу).
В таком случае последний модуль раскроется со знаком минус: .
Но, поскольку последовательность - монотонно возрастает, то при всех будет выполнено, что , а,
значит,
Таким, образом, начиная с этого все члены самой последовательности будут не дальше чем на от предела . Следовательно, .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Верно ли, что если у последовательности любая подпоследовательность сходится и притом к одному и тому же пределу, равному , то и сама последовательность сходится к ?
Это, очевидно, верно, поскольку сама последовательность является своей собственной подпоследовательностью. А нам дано, что любая подпоследовательность сходится к . Но, в частности, это означает что и сходится к .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Доказать, что если последовательность - неограничена, то из неё можно выделить бесконечно большую подпоследовательность .
Давайте запишем определение того, что - неограничена.
Это означает, что
Давайте теперь в качестве возьмём, скажем, число 1. Если , то существует такое, что .
Аналогично, теперь можно положить и найти такое , что (такое именно большее, чем
точно найдётся, поскольку если исходная последовательность была неограничена, то и её кусок, начиная с номера
тоже должен быть неограничен).
И так далее, можно найти такое , что , такое , что ..., такое , что .
Но тогда ясно, что у нас получилась бесконечно большая подпоследовательность
поскольку её ый член больше по модулю, чем .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Верен ли принцип Коши-Кантора для последовательности вложенных интервалов? То есть, верно ли, что для любой бесконечной последовательности вложенных интервалов
существует точка , принадлежащая всем этим интервалам , то есть для любого ?
Это неверно. Возьмём, скажем, такую последовательность интервалов: . Ясно, что
Однако не существует такой точки, которая лежала бы во всех этих интервалах.
Действительно, пусть такая точка нашлась. Тогда понятно, что . Но какую бы мы ни взяли, найдётся такое
, что , то есть в интервал номером наша точка не попадает. И тем более не попадает в интервалы с
номерами больше, чем .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Доказать, используя аксиому полноты, что если - ограниченно сверху, то существует такое , что .
Пусть - множество верхних границ множества , то есть
поскольку множество - ограничено сверху, то - непусто. Причём ясно, что выполнено .
Тогда в силу аксиомы полноты, найдётся такое число , что выполнено .
Утверждается, что это и будет супремумом , то есть .
Действительно, из определения ясно, что - верхняя граница для . Но почему она неулучшаема? Давайте
предположим, что такое, что выполнено .
Но тогда , и в то же время . Получаем противоречие с тем, что выполнено .
Следовательно, .
Аналогичным образом можно показать и существование инфимума у любого ограниченного снизу
множества.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти
где
Утверждается, что Докажем это:
Действительно, из определения легко понять, что 1 - это верхняя граница нашего множества (т.к.
правильные дроби не бывают ), а 0 - нижняя граница, поскольку мы не разрешили брать
отрицательные дроби по построению множества
Докажем, что эти границы неулучшаемы. Проверим, что с инфимумом будет аналогичное
рассуждение.
Действительно, пусть нам дали любое Чтобы доказать, что достаточно научиться
по любому находить такое что Но это совсем нетрудно. Поскольку
то интервал имеет ненулевую длину (а именно, очевидно, длину ).
Но в любом интервале есть хотя бы одна рациональная точка. То есть найдётся такая
Но это и означает, что и что
Таким образом, мы по определению доказали, что
Чтобы доказать, что нужно рассуждать абсолютно аналогичным образом.