Давайте запишем определение того, что - неограничена.

Это означает, что

Давайте теперь в качестве возьмём, скажем, число 1. Если , то существует такое, что .

Аналогично, теперь можно положить и найти такое , что (такое именно большее, чем точно найдётся, поскольку если исходная последовательность была неограничена, то и её кусок, начиная с номера тоже должен быть неограничен).

И так далее, можно найти такое , что , такое , что ..., такое , что .

Но тогда ясно, что у нас получилась бесконечно большая подпоследовательность

поскольку её ый член больше по модулю, чем .