Не ограничивая общности, будем считать монотонно возрастающей.

Нам дано, что у есть сходящаяся подпоследовательность. Пусть эта подпоследовательность .

Из факта сходимости получим:

Заметим, что . (Монотонно возрастающая подпоследовательность может стремиться к своему пределу только снизу).

В таком случае последний модуль раскроется со знаком минус: .

Но, поскольку последовательность - монотонно возрастает, то при всех будет выполнено, что , а, значит,

Таким, образом, начиная с этого все члены самой последовательности будут не дальше чем на от предела . Следовательно, .