Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Положительные числа удовлетворяют соотношению
Найдите наибольшее возможное значение выражения
Первое решение.
Из условия имеем
Рассмотрим вспомогательные векторы на плоскости с координатами . Для них выполнено, что , ,
Тогда условие задачи перепишется, как
Как известно , где - угол между векторами.
Далее по неравенству о средних.
В итоге, получается, что . При этом равенство достигается, когда векторы равны. Тогда и . То есть подойдут, например, .
Второе решение.
Попробуем получить оценку следующего вида: Заметим, что если выражение — полный квадрат, то мы можем оценить сверху выражением Аналогично можно оценить выражением Попробуем подобрать числа и таким образом, чтобы получить желаемую оценку.
Во-первых, чтобы сворачивалось в необходимо, чтобы Аналогично во втором неравенстве необходимо, чтобы
Во-вторых, нужно потребовать, чтобы тогда мы получим желаемую оценку исходного выражения. Решая систему из полученных уравнений, получаем, что Таким образом, неравенства примут вид то есть Равенство в последнем неравенстве будет лишь тогда, когда оно будет в двух вспомогательных неравенствах, которые равносильны и Следовательно, равенство будет при Подставляя это в равенство из условия, получим
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все пары чисел из промежутка при которых достигается минимум выражения
Вспомним неравенство о средних для двух положительных чисел: Также заранее подметим, что переменные по условию из промежутка а значит аргументы синусов лежат в промежутке то есть значения всех синусов в выражении положительны.
Заметим, что если убрать показатели, то мы сможем применить это неравенство к каждой скобке, после чего все синусы сократятся и мы получим оценку каким-то числом. Однако неравенство о средних работает для произвольного количества положительных чисел, поэтому если мы разобьём вторую скобку на слагаемых, а третью — на то после оценки и возведения в степени все синусы будут под квадратными корнями и сократятся:
Если возвести второе неравенства в квадрат, а третье — в четвёртую степень, а затем их перемножить, то мы получим оценку снизу на исходное выражение. Значение этой оценки нам не важно, нам нужны значения при которых достигается эта оценка. Для её достижения необходимо, чтобы во всех трёх неравенствах, выписанных выше, было равенство. Равенство в неравенстве о средних возникает лишь когда все переменные равны. Таким образом:
Из второго равенства, учитывая, что получаем
В третье равенство подставим и получим: Раскроем синус суммы: Пользуясь равенствами при и получим:
По условию то есть а значит на него можно сократить:
Приведём уравнение к следующему виду (основное тригонометрическое тождество и домножение на ):
Заметим, что правая часть всегда больше то есть мы можем возвести в квадрат без накладывания дополнительных ограничений:
Полученное уравнение имеет решение то есть откуда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение:
Подсказка 1
Понятно, что мы можем просто разложить выражение на множители, потом привести подобные и потом снова долго и мучительно раскладывать на множители. Но давайте придумаем что-нибудь поинтереснее. Посмотрите на то, как сильно похожи скобки в произведении. Давайте подумаем, как этим воспользоваться и какую формулу сокращенного умножения мы сможем применить!
Подсказка 2
Представьте х² - 8x + 16 как х² - 8x + 17 - 1. Как тогда можно представить вторую скобку, чтобы она получилась максимально похожа на первую? А какой формулой сокращенного умножения можем воспользоваться?
Подсказка 3
Верно! Сделаем так, чтобы у нас получилась разность квадратов и разложим по этой формуле! Посмотрите, что получилось теперь?
Подсказка 4
Верно, снова разность квадратов! Воспользуйтесь ей и разложите выражение на скобки, а дальше дело за малым – найти решение квадратных уравнений!
Первое решение.
Положим , тогда получим
Тогда либо
решений нет, поскольку
либо
Второе решение.
Обозначим левую часть уравнения
за . Заметим, что при функция монотонно возрастает, поэтому решений уравнения на этом промежутке может быть не более одного. При этом , так что является решением. Легко видеть, что уравнение симметрично относительно , так что если решением является то решением является и при этом решений меньше больше нет, так как иначе было бы соответствующие им решения и на промежутке , а на нём решение только одно из монотонности, и мы уже его нашли.
2; 6
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите систему неравенств
Подсказка 1
Выделите полный квадрат в первом уравнении системы. Не напрашивается ли сюда какая-нибудь замена?) Пусть, например, u = x + y, а v = 3y
Подсказка 2
Перепишите систему после замены. Попробуйте теперь сложить два неравенства, предварительно умножив одно из них на коэффициент так, чтобы в итоге в правой части сумма была ноль!
Подсказка 3
Давайте повыделяем полные квадраты. И, кажется, у нас вышла красота: сумма двух квадратов меньше, либо равна нулю... Сделайте выводы!
Перепишем систему
Пусть . Получим систему
После сложения получаем
откуда подходит только
Легко проверить, что эта пара подходит и в систему неравенств до сложения, потому что неравенства обращаются в равенства. После обратной замены получаем
Откуда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Сделаем замену . Тогда наше уравнение будет иметь вид:
В силу монотонности функции получаем:
Полученные удовлетворяют ОДЗ.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Для удобства сделаем замену и выпишем условия ОДЗ:
Возведение в квадрат — равносильное преобразование, так как обе части неравенства неотрицательны ввиду
Домножив обе части неравенства на получим
не является решением. Рассмотрим случаи:
-
, здесь
Что верно при всех То есть — решение.
-
, тогда
При неравенство не выполняется, поэтому возведем в квадрат при условии
Учитывая все ограничения на получим
и соответственно — решение.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Подсказка 1
Пупупу… Выглядит страшновато. Есть ли что-то общее между левой и правой частью уравнения? А если заменить √(3x+18) на y?
Подсказка 2
Да, если заменить в правой части √(3x+18) на y, то правая часть уравнения и левая будут одинаковы(только в одной x, а в другой y). Какой вывод из этого можно сделать?
Подсказка 3
Конечно, хочется сказать, что если x=y, то левая часть равна правой! Поэтому осталось решить уравнение x = √(3x+18)
ОДЗ: Рассмотрим функцию
Тогда исходное равенство примет вид
Так как — монотонная функция, то каждое значение она принимает ровно один раз, поэтому равенство равносильно
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Подсказка 1
Давайте просто запишем наше уравнение как системку: числитель = 0, знаменатель не равен 0, и одз из-за корня) Думаю, решить уравнение числитель = 0 не сложно)
Подсказка 2
Остаётся подставить получившиеся корни из первого уравнения в оставшиеся условия из системы и проверить, подходят они или нет)
Для равенства дроби нулю нужно, чтобы числитель равнялся нулю, а знаменатель при этом не обращался в ноль. Исходное уравнение равносильно следующей системе:
Из первого уравнения получаем:
не подходит, так как
не подходит, так как
удовлетворяет всем условиям.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Подсказка 1
В левой и правой части видно (x-1) и |x-1|... Стоит сделать замену, не так ли? Сделайте правильную замену: не раскрывайте случаи модуля, сразу меняйте модуль!
Так как сделав замену получим
Так как то после обратной замены получаем
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Рассмотрим функцию
При возрастает как произведение двух положительных возрастающих функций. При функция также возрастает.
Итого, — монотонно возрастающая функция. Заметим также, что эта функция нечетная, то есть
Исходное неравенство принимает вид
В силу монотонности равенство возможно только в случае