Линейные и квадратные уравнения —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 6. Решение уравнений

6.01 Линейные и квадратные уравнения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#36771

Решите уравнение: $4x4 − 36x2 = 0.$

Показать ответ и решение

$pict$

Ответ: -3; 0 ; 3.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#2682

Найдите корень уравнения

2 1 9 x = 49

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

Умножим левую и правую часть уравнения на 9. После умножения: $2x = 37$ , что равносильно $x = 18,5$ – подходит по ОДЗ.

Ответ: 18,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1423

Найдите корень уравнения

4 2 − 3x = 53

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

Умножим левую и правую часть уравнения на $− 3.$ После умножения: $4x = − 17,$ что равносильно $x = − 4,25$ – подходит по ОДЗ.

Ответ: -4,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#853

Решите уравнение

37 2x 3,75x + 4- = 3--

Показать ответ и решение

Данное уравнение является линейным. Преобразуем его, заметив, что $3 15- 3,75 = 34 = 4 :$

15 2 37 4-x − 3x = −-4 |⋅12 ⇔ 45x− 8x = − 37⋅3 ⇔ 37x = − 37⋅3 ⇔ x = − 3

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#17113

Решите уравнение

x-+-5 5 − 9x = 14(1 − x)

Показать ответ и решение

$pict$

Ответ: 2,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#2150

Решите уравнение $2 x + 33x − 34 = 0.$ Если уравнение имеет несколько корней, в ответ укажите наибольший по модулю.

Показать ответ и решение

1 способ.

Данное уравнение является квадратным.

Дискриминант $D = 1089+ 4⋅34 = 1225.$ Найдем, чей это квадрат. Это число делится на 25, следовательно, корень из него делится на 5. Так как $2 30 = 900,$ а $2 40 = 1600,$ проверкой убеждаемся, что $2 35 = 1225.$ Следовательно, корни

− 33 + 35 − 33 − 35 x1 = ---2----= 1 и x2 = ---2----= − 34

Следовательно, наибольший по модулю корень – это $x = − 34.$

2 способ.

Заметим, что сумма коэффициентов уравнения равна нулю: $1+ 33− 34 = 0,$ следовательно, один из корней $x1 = 1.$ Тогда второй по теореме Виета (произведение корней равно $− 34$ ) равен $x2 = − 34.$

Ответ: -34

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#2149

Найдите отрицательный корень уравнения

(3− x)(3x + 4) = 4

Показать ответ и решение

Данное уравнение является квадратным. Раскроем скобки:

2 2 9x+ 12 − 3x − 4x = 4 ⇔ 3x − 5x − 8 = 0

1 способ.
Дискриминант $D = 25+ 4 ⋅3⋅8 = 121 = 112$ , следовательно, корни:

x = 5-+-11= 8 и x = 5-− 11-= − 1. 1 2 ⋅3 3 2 2 ⋅3

Следовательно, отрицательный корень – это $x = − 1$ .

2 способ.
Заметим, что сумма коэффициентов, стоящих при четных степенях: $3+ (− 8) = − 5$ , равна сумме коэффициентов, стоящих при нечетных степенях: $− 5$ , следовательно, один из корней $x1 = − 1$ . Тогда второй по теореме Виета (произведение корней равно $8 − 3$ ) равен $8 x2 = 3$ .

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#1429

Найдите корень уравнения

2 2 (2x + 3) = 4x + 9

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

2 2 2 2 (2x+ 3) = 4x + 9 ⇔ 4x + 12x + 9 = 4x + 9 ⇔ 12x = 0 ⇔ x = 0

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#1428

Найдите корень уравнения

2 2 (x + 8) = x + 8

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

2 2 2 2 (x + 8) = x + 8 ⇔ x + 16x+ 64 = x + 8 ⇔ 16x = − 56 ⇔ x = − 3,5

Ответ: -3,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#1427

Найдите корень уравнения

2 (2x+ 11) = 88x

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

После упрощения имеем $2 4x + 44x + 121 = 88x,$ что равносильно $2 4x − 44x+ 121 = 0,$ что равносильно $2 (2x− 11) = 0,$ что равносильно $(2x− 11)(2x − 11) = 0.$

Произведение двух выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно 0 и оба выражения не теряют смысл. Отсюда заключаем, что

11 x = -2 = 5,5

– единственный корень – подходит по ОДЗ.

Ответ: 5,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#1426

Найдите корень уравнения

2 (5x+ 8) = 160x

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

После упрощения имеем $2 25x + 80x + 64 = 160x,$ что равносильно $2 25x − 80x+ 64 = 0,$ что равносильно $2 (5x− 8) = 0,$ что равносильно $(5x− 8)(5x − 8) = 0.$

8 x = 5 = 1,6

– единственный корень – подходит по ОДЗ.

Ответ: 1,6

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1425

Решите уравнение $x2− 11x + 28 = 0.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Показать ответ и решение

1 способ

Дискриминант данного уравнения

2 D = 121− 28⋅4= 121− 112= 9= 3

Тогда его корни

11+ 3 11− 3 x1 = --2--= 7, x2 =--2--= 4.

Ответ: $x= 7$ – больший корень уравнения.

2 способ

Найдем дискриминант:

D = b2 − 4ac= 112− 28⋅4= 121− 112> 0

Значит, уравнение имеет 2 корня.

Тогда можно применить теорему Виета:

{ x1+ x2 = 11 x1x2 = 28

Произведение и сумма корней положительны, значит, оба корня положительны. Подбором чисел, произведение которых равно 28, обнаружим, что 4 и 7 корни данной системы. Так как 7 — наибольший корень, запишем его в ответ.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#856

Решите уравнение

2 (1− x) + 1 = 2(1 − x)

Показать ответ и решение

1 способ.

Раскроем скобки:

2 2 1− 2x +x + 1 = 2 − 2x ⇔ x = 0 ⇔ x = 0

2 способ.

Преобразуем:

(1− x)2 − 2(1− x)+ 12 = 0 ⇔ (1− x − 1)2 = 0 ⇔ (− x )2 = 0 ⇔ x = 0

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#82

Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из них.

4 2 2 7x = 467

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

После умножения на 7 левой и правой частей имеем $2 4x = 324,$ что равносильно $2 x = 81,$ что равносильно $x = ±9$ – подходят по ОДЗ. Таким образом, больший из корней равен 9.

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#81

Решите уравнение

2 2 (6,25x + 11) = (6,25x + 9)

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

После упрощения имеем

2 2 (6,25x) + 137,5x+ 121 = (6,25x) + 112,5x+ 81 ⇔ 25x = − 40 ⇔ x = − 1,6

Ответ: -1,6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#80

Найдите корень уравнения

2 2 (4x+ 5) = (4x+ 4)

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

После упрощения имеем

2 2 16x + 40x + 25 = 16x + 32x + 16 ⇔ 8x = − 9 ⇔ x = − 1,125

Ответ: -1,125

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#79

Решите уравнение

2 2x − 7x+ 3 =0

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Показать ответ и решение

1 способ

Дискриминант данного уравнения $D = 49− 24= 25= 52.$ Корни

7 +5 7− 5 x1 =--4- = 3 и x2 = -4--= 0,5

ответ: $x = 0,5$ – меньший корень уравнения.

2 способ

Найдем дискриминант:

D = b2− 4ac= 72− 4⋅3⋅2= 49− 24 >0

Значит, уравнение имеет 2 корня.

Тогда можно применить теорему Виета:

( {x1 +x2 = − −7 {x1+ x2 = 3,5 ( 3 2 ⇔ x1x2 = 1,5 x1x2 = 2

Произведение и сумма корней положительны, значит, оба корня положительны. Подбором найдем, что $0,5$ и 3 являются корнями системы. Так как $0,5$ — наименьший корень, запишем его в ответ.

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#854

Найдите больший корень уравнения

2 x − x− 40200 = 0.

Показать ответ и решение

Данное уравнение является квадратным.

1 способ.

Дискриминант $D = 1+ 4 ⋅40200 = 160801.$ Найдем, квадрат какого числа равен $160 801.$ Заметим, что $2 400 = 160 000,$ следовательно, $√------- 160801$ чуть больше, чем $400.$

Подбором убеждаемся, что $2 401 = 160801.$ Следовательно, корни:

1+ 401 1 − 401 x1 = ---2---= 201 и x2 =---2---= − 200

Следовательно, больший корень – это $x = 201.$

2 способ.

Найдем корни по теореме Виета. Заметим, что их произведение равно $− 40200,$ то есть отрицательно. Следовательно, они разных знаков, например $a$ и $− b$ (где $a,b > 0$ ).

Заметим, что их сумма равна $1$ , следовательно, $a− b = 1.$ Попробуем найти $a$ и $b$ .

Заметим, что $40200 = 402⋅100 = 201 ⋅2⋅100.$ Таким образом, если взять числа 201 и 200, то их разность равна 1. Минус следует отнести к 200, то есть $x1 = 201$ и $x2 = − 200.$

Ответ: 201

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#17118

Решите уравнение. Если корней несколько, в ответе укажите наибольший корень.

(7 − 4x)2 = (2x+ 5)2

Показать ответ и решение

$[ [ ⌊ 1 (7− 4x)2 = (2x+5)2 ⇔ 7− 4x = 2x+ 5 ⇔ 6x = 2 ⇔ ⌈x = 3 7− 4x = − (2x+ 5) 2x = 12 x = 6$

Выбираем наибольший корень $x = 6.$

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#37307

Решите уравнение:

$3x2 + x − 4 = 0$

Корни введите в порядке возрастания, через запятую. Пример ответа — если Вы получили $2 3$ и $− 1,03$ ввести нужно -1,03,2/3 .

Показать ответ и решение

Заметим, что сумма коэффицентов равна 0, следовательно, один из корней уравнения равен 1. По теореме Виета, произведение корней равно $c = − 4 a 3$ , следовательно, второй корень равен -4/3.

Ответ: -4/3,1

Предыдущий раздел

Следующий раздел