Кубические уравнения —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 6. Решение уравнений

6.02 Кубические уравнения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#16741

Найдите корень уравнения $3 (x + 4) = − 125.$

Показать ответ и решение

Представим правую часть в виде куба и извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:

3 3 3 (x +4) = − 125 ⇔ (x +4) = (−5) x +4 = −5 ⇔ x = −9

Ответ: -9

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1432

Решите уравнение. Если оно имеет более одного корня, в ответе запишите больший из них.

3 (2x+ 1) = 27

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение $3 3 (2x +1) = 3$ стандартного вида, оно эквивалентно уравнению $2x+ 1 = 3,$ откуда заключаем, что $x = 1$ – подходит по ОДЗ.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#89

Найдите корень уравнения $(7x +11)3 = 64.$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из них.

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ: $x$ — произвольное. Решим задачу на ОДЗ.

Исходное уравнение $(7x + 11)3 = 43$ стандартного вида, оно эквивалентно уравнению $7x+ 11= 4.$ Отсюда заключаем, что $x = −1$ — подходит по ОДЗ.

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#90

Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из них.

3 (− x− 11) = 216

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение $3 3 (− x− 11) = 6$ стандартного вида, оно эквивалентно уравнению $− x− 11 = 6,$ откуда заключаем, что $x = − 17$ – подходит по ОДЗ.

Ответ: -17

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#88

Найдите корень уравнения $(3x +2)3 = −64.$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из них.

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ: $x$ — произвольное. Решим уравнение на ОДЗ.

Исходное уравнение $(3x + 2)3 = (−4)3$ стандартного вида, оно эквивалентно уравнению $3x+ 2= −4.$

Отсюда заключаем, что $x= − 2$ — подходит по ОДЗ.

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#87

Найдите корень уравнения $(2x +1)3 = −27.$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из них.

Показать ответ и решение

Исходное уравнение равносильно уравнению

3 3 (2x+ 1) =(−3) 2x+ 1 =− 3

Отсюда заключаем, что $x= − 2.$

Ответ: -2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#858

Решите уравнение $3 2 x − 5x − x + 5 = 0.$

В ответ запишите наибольший по модулю корень.

Показать ответ и решение

Разложим на множители левую часть:

x3 − 5x2 − x +5 = 0 ⇔ x2(x − 5)− (x− 5) = 0 ⇔ (x− 5)(x2 − 1) = 0 ⇔ ⇔ (x − 5)(x − 1)(x+ 1) = 0 ⇔ x1 = 5, x2 = 1, x3 = − 1

Наибольший по модулю корень – это $x = 5.$

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#526

Найдите корни уравнения. Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите сумму тех из них, которые больше $− 1.$

3 2 3x − 0,75x − 3x + 0,75 = 0

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

Выражение в левой части можно разложить на множители:

$pict$

Произведение нескольких выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Отсюда находим корни уравнения: $x1 = 1,$ $x2 = 0,5$ и $x3 = − 0,5$ – подходят по ОДЗ. Все они больше, чем $− 1.$ Их сумма равна 1.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#92

Найдите корни уравнения $2x3− 7x2+ 4x− 14= 0.$

Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите больший из них.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ — произвольное. Решим на ОДЗ:

Выражение в левой части можно разложить на множители:

3 2 2 2 2x − 7x + 4x − 14 = x(2x− 7)+ 2(2x − 7) =(2x− 7)(x +2)

Произведение нескольких выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Отсюда находим корень уравнения: $x = 3,5$ — подходит по ОДЗ.

Дискриминант уравнения $x2 +2 = 0$ отрицательный:

D = 0− 4⋅1 ⋅2 = −8,

следовательно, других корней нет.

Ответ: 3,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#91

Найдите корни уравнения. Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите больший из них.

3 2 3x + 9x + x + 3 = 0

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

Выражение в левой части можно разложить на множители:

3 2 2 2 3x + 9x + x +3 = 3x (x+ 3)+ 1⋅(x +3) = (x + 3)(3x + 1)

Произведение нескольких выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Отсюда находим корень уравнения: $x = − 3$ – подходит по ОДЗ.

Дискриминант уравнения $3x2 + 1 = 0$ отрицательный: $D = 0− 4⋅3 ⋅1 = − 12,$ следовательно, других корней нет.

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#1434

Решите уравнение. Если оно имеет несколько корней, в ответ запишите сумму тех из них, которые больше $− 10.$

3 2 − x − 5x + 4x + 20 = 0

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

Выражение в левой части можно разложить на множители:

3 2 2 2 − x − 5x +4x + 20 = − x (x + 5)+ 4(x+ 5) = (x+ 5)(− x + 4) = (x+ 5)(2 − x)(2 + x)

Произведение нескольких выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл.

Отсюда находим корни уравнения: $x1 = − 5,$ $x2 = 2$ и $x3 = − 2$ – подходят по ОДЗ. Все они больше, чем $− 10.$ Их сумма равна $− 5.$

Ответ: -5

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1433

Решите уравнение $x3− 2x2 − 16x +32 =0.$

Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите больший из них.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

Выражение в левой части можно разложить на множители:

3 2 2 2 x − 2x − 16x+ 32= x (x − 2)− 16(x− 2)= (x − 2)(x − 16) = (x − 2)(x− 4)(x+ 4)

Отсюда находим корни уравнения: $x1 = 2,$ $x2 = 4$ и $x3 = −4$ – подходят по ОДЗ. Больший корень $x= 4.$

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#859

Найдите целый корень уравнения

3 2 x + 4x = 3,5x +1,5

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в виде

3 2 x − 3,5x + 4x − 1,5 = 0

и заметим, что сумма коэффициентов равна нулю: $1 − 3,5 + 4− 1,5 = 0,$ следовательно, $x = 1$ является корнем уравнения. Значит, при разложении на множители левой части один из множителей должен быть $(x− 1).$ Преобразуем левую часть:

x3 − 1− (3,5x2 − 4x+ 0,5) = (x − 1)(x2 + x + 1)− 0,5(7x2 − 8x + 1) = = (x− 1)(x2 + x+ 1) − 0,5(x− 1)(7x− 1) = (x − 1)(x2 + x + 1− 0,5(7x − 1)) = 2 = (x− 1)(x − 2,5x+ 1,5) = (x− 1)(x− 1)(x− 1,5)

Следовательно, корнями уравнения будут $x1 = 1$ и $x2 = 1,5.$ Тогда целый корень – это $x = 1.$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#1697

Решите уравнение. Если оно имеет несколько корней, в ответ запишите наибольший из них.

3 x − 3x− 2 = 0

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

Можно угадать один из корней $x = 2.$ Знание этого корня позволяет вынести за скобку выражение $(x − 2)$ при помощи деления столбиком:

x3 + 0 ⋅x2 − 3x− 2 | x− 2 x3 − 2x2 |-x2 +-2x-+-1 ------2x2 − 3x | 2x2 − 4x | ------x− 2 | x− 2 | ---0- |

Значит,

x3 − 3x − 2 = (x2 + 2x+ 1)(x− 2) = (x + 1)2(x− 2)

Произведение нескольких выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Отсюда находим корни исходного уравнения: $x1 = 2$ и $x2 = − 1$ – подходят по ОДЗ. Наибольший из них $x = 2.$

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#1696

Решите уравнение. Если оно имеет несколько корней, в ответ запишите меньший из них.

3 2 x + 5x + 3x − 9 = 0

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

Можно угадать один из корней $x = 1.$ Знание этого корня позволяет вынести за скобку выражение $(x − 1)$ при помощи деления столбиком:

x3 + 5x2 + 3x − 9| x − 1 x3 − x2 |--x2-+6x-+-9 ----6x2 + 3x | 6x2 − 6x | -----9x-− 9 | 9x − 9 | ----0- |

Значит,

x3 +5x2 + 3x− 9 = (x2 + 6x+ 9)(x − 1) = (x+ 3)2(x + 1)

Произведение нескольких выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Отсюда находим корни уравнения: $x1 = − 3$ и $x2 = 1$ – подходят по ОДЗ. Меньший из них $x = − 3.$

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#637

Найдите корни уравнения. Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите произведение тех из них, которые меньше 0.

3 2 3x + 8x − 17x− 42 = 0

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

Можно угадать один из корней $x = − 2.$ Знание этого корня позволяет вынести за скобку выражение $(x + 2)$ при помощи деления столбиком:

3x3 + 8x2 − 17x− 42 | x+ 2 3x3 + 6x2 |--3x2 +-2x-− 21 ------2x2 − 17x | 2x2 + 4x | ---−-21x− 42 | − 21x− 42 | --------0 |

Тогда

3x3 + 8x2 − 17x− 42 = (3x2 + 2x− 21)(x + 2)

Выражение $3x2 + 2x − 21$ можно разложить на множители, найдя корни уравнения $3x2 + 2x− 21 = 0.$ Корни $x1 = − 3$ и $x2 = 73,$ тогда окончательно

( ) 3x3 + 8x2 − 17x− 42 = 3(x + 2)(x + 3) x − 7 3

Произведение нескольких выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Отсюда находим корни исходного уравнения:

x1 = − 2, x2 = − 3, x3 = 7 3

– подходят по ОДЗ. Произведение отрицательных корней равно $− 2⋅(− 3) = 6.$

Ответ: 6

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#374

Найдите корни уравнения. Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите сумму тех из них, которые больше 0.

3 2 2x − 11x + 8x+ 21 = 0

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

Можно угадать один из корней $x = − 1.$ Знание этого корня позволяет вынести за скобку выражение $(x + 1)$ при помощи деления столбиком:

2x3 − 11x2 + 8x+ 21 | x+ 1 2x3 + 2x2 |-2x2 −-13x-+21 ----−-13x2 + 8x | − 13x2 − 13x | -------21x+ 21 | 21x+ 21 | ------0- |

Значит,

2x3 − 11x2 + 8x + 21 = (2x2 − 13x +21)(x+ 1)

Выражение $2x2 − 13x+ 21$ можно разложить на множители, найдя корни уравнения $2x2 − 13x+ 21 = 0.$ Корни $x1 = 3,$ $x2 = 3,5,$ тогда окончательно

2x3 − 11x2 + 8x +21 = 2(x− 3)(x − 3,5)(x +1)

Произведение нескольких выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Отсюда находим корни исходного уравнения: $x1 = 3,$ $x2 = 3,5$ и $x3 = − 1$ – подходят по ОДЗ. Сумма больших 0 равна $3+ 3,5 = 6,5.$

Ответ: 6,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#373

Найдите корни уравнения. Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите меньший из них.

3 x − 27x− 54 = 0

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

Можно угадать один из корней $x = − 3.$ Знание этого корня позволяет вынести за скобку выражение $(x + 3)$ при помощи деления столбиком:

x3 + 0 ⋅x2 − 27x− 54 | x+ 3 x3 + 3x2 |-x2 −-3x-−-18 ----−-3x2 − 27x | − 3x2 − 9x | ----−-18x− 54 | − 18x− 54 | --------0 |

Значит,

x3 − 27x − 54 = (x2 − 3x− 18)(x+ 3)

Выражение $x2 − 3x − 18$ можно разложить на множители, найдя корни уравнения $x2 − 3x− 18 = 0.$ Корни $x1 = 6,$ $x2 = − 3,$ тогда окончательно

x3 − 27x− 54 = (x − 6)(x + 3)2

Произведение нескольких выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Отсюда находим корни исходного уравнения: $x1 = 6$ и $x2 = − 3$ – подходят по ОДЗ. Меньший из них $x = − 3.$

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#372

Найдите корни уравнения. Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите больший из них.

3 2 x + 9x + 33x + 38 = 0

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

Можно угадать один из корней $x = − 2.$ Знание этого корня позволяет вынести за скобку выражение $(x − (− 2)) = (x + 2)$ при помощи деления столбиком:

x3 + 9x2 + 33x +38 | x +2 x3 + 2x2 |-x2 +-7x-+19 ----7x2 + 33x | 7x2 + 14x | -----19x-+38 | 19x +38 | ------0- |

Значит,

x3 + 9x2 + 33x+ 38 = (x2 + 7x+ 19)(x + 2)

Рассмотрим отдельно уравнение

x2 + 7x + 19 = 0

Его дискриминант $D = 49− 4 ⋅ 19 < 0,$ значит у рассматриваемого уравнения нет корней. Произведение нескольких выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Отсюда находим единственный корень исходного уравнения: $x = − 2$ – подходит по ОДЗ.

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#371

Найдите корни уравнения. Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите больший из них.

3 2 x − 21x + 111x − 91 = 0

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

x3 − 21x2 + 111x − 91| x − 1 x3 − x2 |-x2 −-20x-+91 ----− 20x2 + 111x | − 20x2 + 20x | --------91x-− 91 | 91x − 91 | ------0- |

Значит,

x3 − 21x2 + 111x − 91 = (x− 1)(x2 − 20x+ 91)

Второй множитель также можно разложить в произведение линейных. Для этого находим корни уравнения $x2 − 20x + 91 = 0.$ Его корни $x1 = 7$ и $x2 = 13.$ Теперь разложение принимает окончательный вид:

x3 − 21x2 + 111x− 91 = (x2 − 20x + 91)(x − 1) = (x− 7)(x− 13)(x − 1)

Произведение нескольких выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Отсюда находим корни исходного уравнения: $x1 = 13,$ $x2 = 7$ и $x3 = 1$ – подходят по ОДЗ. Больший из них $x = 13.$

Ответ: 13

Предыдущий раздел

Следующий раздел