Задачи из сборника И.В. Ященко —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 13. Решение уравнений

13.02 Задачи из сборника И.В. Ященко

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#73456

а) Решите уравнение $4√3cos3x= cos(2x+ π) . 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] −4π;− 5π . 2$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024г. Вариант 3

Показать ответ и решение

а) По формуле приведения правая часть равенства равна $− sin2x.$ Следовательно, уравнение равносильно

4√3 cos3x+ 2sinxcosx= 0 √- 2 cosx(2 3cos x+ sinx)= 0 cosx(2√3(1− sin2x)+ sinx)= 0 ⌊ ⌈ cosx = 0 2√3sin2x− sinx − 2√3-= 0 ⌊ cosx = 0 || ||| sinx = √2- (не имеет реш ений) |⌈ 3√ - sinx = −--3 ⌊ 2 x= π-+ πn,n∈ ℤ || 2 || x= − π+ 2πm, m ∈ℤ ||⌈ 3 x= − 2π+ 2πk,k ∈ ℤ 3

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ 5π] −4π;− 2-,$ концы этой дуги и решения, которые лежат на ней.

$−−−− 4785ππππ 232$

Следовательно, на отрезке $[ ] − 4π;− 5π 2$ лежат числа $− 7π;− 8π;− 5π. 2 3 2$

Ответ:

а) $π+ πn,n ∈ℤ;− π+ 2πm,m ∈ℤ;− 2π+ 2πk,k ∈ ℤ 2 3 3$

б) $7π 8π 5π − -2 ;− -3 ;− 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#73459

а) Решите уравнение $( ) 4√3sin3 x= cos 2x+ 3π . 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 9π;6π . 2$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 4

Показать ответ и решение

а) Воспользуемся формулой приведения для правой части:

4√3 sin3x =sin2x √ - 2 2s⌊inx(2 3sin x − cosx)= 0 sin x= 0 ⌈ √- 2 √- 2 3 cos x+ cosx− 2 3 = 0 ⌊ ||sin x= 0 ||cosx= − 2√-- (не имеет решений) |⌈ √ -3 cosx= --3 ⌊ 2 |x =πn,n ∈ ℤ |⌈ x =± π-+2πm, m ∈ℤ 6

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[9π;6π], 2$ концы этой дуги и решения, которые лежат на ней.

$93π5π 5626ππ$

Следовательно, на отрезке $[ ] 9π-;6π 2$ лежат числа $5π; 35π;6π. 6$

Ответ:

а) $πn,n ∈ ℤ;± π-+ 2πm, m ∈ ℤ 6$

б) $35π 5π;-6-;6π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#73457

а) Решите уравнение $(4x2 +16x+ 15)(cosx⋅cos(π-+x) − 0,5) =0. 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ π ] −2π;−2- .$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024г. Вариант 5

Показать ответ и решение

а) По формуле приведения $cos(π-+x) = − sinx. 2$ Следовательно, уравнение равносильно

⌊ 2 |⌈4x + 16x+ 15= 0 − 1sin 2x − 1= 0 ⌊ 2 2 x =− 5 ||| 2 ||x =− 3 |⌈ 2 sin 2x = −1 ⌊ x =− 5 ||| 2 ||x =− 3 |⌈ 2 x =− π-+πn,n ∈ ℤ 4

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ π] −2π;− 2 ,$ концы этой дуги и решения, которые лежат на ней.

$−−−− 2π55ππ 224$

Следовательно, на отрезке $[− 2π;− π] 2$ лежат числа $− 5π;− 5. 4 2$

Ответ:

а) $− 5;− 3;− π+ πn,n ∈ℤ 2 2 4$

б) $5π 5 − -4 ;− 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#73460

а) Решите уравнение $(2x2− 15x+ 18)(sinx ⋅sin(x − π)+ 0,25) = 0. 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[π ] 2;2π .$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 6

Показать ответ и решение

а) Уравнение равносильно совокупности

⌊ 2x2− 15x+ 18= 0 |⌈ − sinx ⋅cosx = − 1 ⌊ 4 x = 3 || 2 |||x =6 ⌈ 1 sin 2x = 2 ⌊ 3 |x = 2 || ||x =6 ||x = π-+ πk, k ∈ℤ || 12 ⌈x = 5π+ πk, k ∈ ℤ 12

б) Отберем корни на числовой прямой. Для этого отметим на ней отрезок $[π ] 2;2π$ и решения, которые лежат на нем.

$π1317ππ 262π1122-$

Следовательно, на отрезке $[π-;2π ] 2$ лежат числа

13π 17π 12 ; 12 ; 6

Ответ:

а) $3; 2$ $6;$ $-π +πk; 12$ $5π +πk, 12$ $k ∈ ℤ$

б) $13π -12 ;$ $17π 12-;$ $6$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#73458

а) Решите уравнение $62x−1+ 2⋅25x−0,5 = 16⋅30x−1.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[0,5;4].$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024г. Вариант 7

Показать ответ и решение

а) Уравнение равносильно

1⋅62x+ 2⋅ 1 ⋅52x− 16⋅-1 ⋅6x⋅5x = 0 6 5 30

Разделим обе части равенства на положительное выражение $2x 5 ,$ затем сделаем замену $( )x 65 = t.$ Получим:

1t2− 16t+ 2 =0 ⇔ 5t2− 16t+ 12 = 0 6 30 5

Корнями полученного квадратного уравнения являются $t= 6 5$ и $t= 2.$ Сделаем обратную замену:

⌊( 6)x 6 ⌊ || 5 = 5 x= 1 ⌈( 6)x ⇔ ⌈ x= log 2 5 =2 1,2

б) Корень $x= 1$ принадлежит отрезку $[0,5;4].$

Далее заметим, что

log1,22 >log1,21,2= 1> 0,5

Сравним $log1,22$ с $4 :$

log62 ∨4 5 ( 6)4 2 ∨ 5 2 ⋅54 ∨64 1250 ∨1296

Таким образом, $log1,22 <4,$ следовательно, корень $x = log1,22$ также принадлежит отрезку $[0,5;4].$

Ответ:

а) $1;log 2 1,2$

б) $1;log1,22$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#45640

а) Решите уравнение

2sin2x− 3cos(− x)− 3= 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ 7π ] 2π; 2 .$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 11

Показать ответ и решение

а) Так как $sin2x= 1 − cos2x$ и $cos(− x)= cosx,$ то уравнение можно переписать в виде

2 2 2− 2cosx − 3 cosx − 3 = 0 ⇔ 2cosx + 3cosx + 1= 0

Сделаем замену $t =cosx,t∈ [− 1;1]:$

⌊t= − 1 2t2+ 3t+1 = 0 ⇔ |⌈ t= − 1 2

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ cosx = −1 x = π+ 2πk,k ∈ ℤ |⌈ ⇔ |⌈ cosx = − 1 x = ±2π + 2πn,n ∈ ℤ 2 3

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[2π; 7π], 2$ концы этой дуги и точки, которые лежат на ней.

$718π0ππ 23π2π33-$

Следовательно, на отрезке $[ 7π] 2π;-2$ лежат точки $8π 10π -3 ;3π;-3-.$

Ответ:

а) $π + 2πk,± 2π+ 2πn, 3$ где $k,n ∈ ℤ$

б) $8π 10π -3 ;3π;-3$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#45642

а) Решите уравнение

sin2x− 2sin(− x)= 1+ cos(−x)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ 7π ] − 2 ;−2π .$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 12

Показать ответ и решение

а) Так как $sin(−x)= − sinx$ и $cos(−x)= cosx,$ то уравнение равносильно

2sin xcosx + 2sinx − (1+ cosx)= 0 ⇔ 2sin x(cosx+ 1)− (1 +cosx)= 0 ⇔ (cosx +1)(2sinx − 1)= 0 ⇔ ⌊ | cosx = −1 ⌈ 1 ⇔ ⌊ sinx = 2 x= π+ 2πk,k ∈ ℤ || || x= π-+ 2πn,n ∈ ℤ || 6 ⌈ x= 5π + 2πm, m ∈ ℤ 6

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] − 7π2 ;− 2π ,$ концы этой дуги и точки, которые лежат на ней.

$−−−−2 73 1πππ9π 26$

Следовательно, на отрезке $[ ] − 7π;−2π 2$ лежат точки $− 19π;−3π. 6$

Ответ:

а) $π + 2πk, π+ 2πn, 5π +2πm, 6 6$ где $k,n,m ∈ ℤ$

б) $19π − -6- ;− 3π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#45644

а) Решите уравнение

4x+√x−1,5+ 3⋅4x−√x+1,5− 4x+1 = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[2;6].$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 13

Показать ответ и решение

а) Сделаем замену $4x = a,$ $4√x−1,5 =b.$ Тогда уравнение примет вид

ab +3 ⋅ a− 4a= 0 |⋅ b> 0 ⇔ b2− 4b+ 3= 0 ⇔ b= 1;3 b a

Сделаем обратную замену:

⌊ √x−1,5 ⌊√ - ⌊ |4 =1 ⌈ x− 1,5 = 0 ⌈ x= 2,25 ⌈ √x−1,5 ⇔ √x-− 1,5 = log 3 ⇔ x= log224 4 =3 4 4

б) $x =2,25$ лежит в отрезке $[2;6].$ Преобразуем $2 log424.$ С одной стороны:

log2424= (1,5+ log43)2 > (1,5+ 0,5)2 =4 > 2

С другой стороны:

2 1 2 1 2 361 log424 = 4 (2+ log26) < 4 (2 + 2,75) = 64 < 6

Следовательно, корень $2 x =log424$ также лежит в отрезке $[2;6].$

Ответ:

а) $2,25;log224 4$

б) $2 2,25;log424$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#45645

а) Решите уравнение

5x+√x−1+ 6⋅5x−√x+1− 5x+1 =0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[1;2,56].$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 14

Показать ответ и решение

а) Сделаем замену $5x = a,$ $5√x−1 = b.$ Тогда уравнение примет вид

ab +6 ⋅ a− 5a= 0 |⋅ b> 0 ⇔ b2− 5b+ 6= 0 ⇔ b= 2;3 b a

Сделаем обратную замену:

⌊ √x−1 ⌊√ - ⌊ | 5 = 2 ⌈ x− 1= log52 ⌈ x= log2510 ⌈ √x−1 ⇔ √x-− 1= log 3 ⇔ x= log215 5 = 3 5 5

б) Заметим, что $2 2 log510= (1+ log52) > 1.$ Также

( )2 ( )2 (1 +log52)2 = 1+ 1log54 < 1 + 1 = 2,25< 2,56 2 2 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 log2515 = (1+ log53)2 = 1+ 1log527 > 1+ 2 = 5 > 8 = 1,62 = 2,56 3 3 3 5

Следовательно, только корень $2 x = log510$ лежит в отрезке $[1;2,56].$

Ответ:

а) $log210;log215 5 5$

б) $2 log510$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#45647

а) Решите уравнение

25sin5x + 61+sin5x = 24sin5x+ 3⋅813+sin5x

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[5π 7π] 2 ;2 .$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 15

Показать ответ и решение

а) Сделаем замену $2sin5x = a,$ $3sin5x = b.$ Тогда $a ∈[1;2], 2$ $b∈ [1;3]. 3$ Уравнение примет вид

a5+ 6ab= a3b-+6a3 ⇔ --- --- a3(a2− 6)− ab(a2− 6)= 0 ⇔ ⌊ √- [1 ] | a= 6 — нет решений, так как a∈ 2;2 || a= −√6 — нет реш ений, так как a ∈[12;2] || [1 ] ⇒ |⌈ a= 0 — нет реш ений, так как a ∈ 2;2 a2 = b 2 a = b

Сделаем обратную замену:

sin5x sin5x sin5x 4 = 3 |:3 > 0 ⇔ ( )sin5x 4 = 1 ⇔ 3 sin5x = 0 ⇔ 5x = πn,n∈ ℤ x= πn,n ∈ℤ 5

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] 5π 7π 2 ; 2 ,$ концы этой дуги и точки, которые лежат на ней.

$5731111πππ4367ππππ 225555$

Следовательно, на отрезке $[ ] 5π-; 7π 2 2$ лежат точки $13π-; 14π-;3π; 16π-; 17π-. 5 5 5 5$

Ответ:

а) $πn,n∈ ℤ 5$

б) $13π 14π 16π 17π -5-;-5-;3π;-5-;-5-$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#45777

а) Решите уравнение $750cos3x+ 6 ⋅12513+cos3x = 55cos3x+ 301+cos3x.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ 7π 3π] − -4 ;− 4 .$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 16

Показать ответ и решение

а) Разложим основания степеней на множители:

750 =53 ⋅6, 125 = 53, 30= 5⋅6

Сделаем замены

[ ] 5cos3x = a, a∈ 1;5 5 [1 ] 6cos3x = b, b∈ 6;6

Тогда уравнение примет вид

a3b+ 30a3 = a5+ 30ab- ab(a2− 30)− a3(a2− 30)= 0 a(a2− 30)(b− a2)= 0 ⌊ [ ] |a =0 — нет решений, так как a∈ 15;5 || 2 [1 ] |⌈a = 30 — нет решений, так как a ∈ 5;5 a2 = b 25cos3x = 6cos3x |:6cos3x > 0 ( ) 25 cos3x = 1 6 cos3x = 0 3x = π+ πk, k ∈ ℤ 2 x = π-+ πk, k ∈ℤ 6 3

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] − 7π;− 3π- , 4 4$ концы этой дуги и принадлежащие ей решения.

$7375ππππ −−−− 34266π − 4$

Следовательно, на отрезке $[ 7π 3π-] − 4 ;− 4$ лежат точки

3π 7π 5π − 2 ; − 6 ; − 6

Ответ:

а) $π+ π-k, k ∈ ℤ 6 3$

б) $3π − -2 ;$ $7π − -6 ;$ $5π − -6$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#45835

а) Решите уравнение

log2(4x2)+ 3log (8x)= 1 2 0,5

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[0,15;1,5].$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 17

Показать ответ и решение

а) Так как $log2(4x2)= (log (2x)2)2 = 4log2(2x) 2 2 2$ и $log (8x)= − log(8x)= −(log 4 +log(2x)), 0,5 2 2 2$ то после замены $t= log2(2x)$ уравнение примет вид

2 7 4t − 3t− 7 = 0 ⇔ t= −1;4

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ 1 ⌊ 1 |log2(2x)= −1 | 2x= 2 |x = 4 ⌈ 7 ⇔ ⌈ 7 ⇔ ⌈ 3 4√ - log2(2x)= 4 2x= 24 x = 24 = 8

б) Корень $1 x= 4$ лежит в отрезке $[0,15;1,5].$ Число $√4- 8> 1.$ Сравним это число с $32 :$

4√8 ∨ 3 2 24√8 ∨3 4 4 2 ⋅8 ∨3 128 ∨81

Следовательно, $- √48> 32,$ значит, $- x= √48$ не лежит в отрезке $[0,15;1,5].$

Ответ:

а) $0,25; 4√8$

б) $0,25$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#45836

а) Решите уравнение $log2(8x2) − log(2x)− 1= 0. 2 4$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[0,4;0,8].$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 18

Показать ответ и решение

а) По свойствам логарифма имеем:

log22(8x2) =(log2(2⋅(2x)2))2 = = (log22+ 2log2(2x))2 = (1+ 2log2(2x))2 1 log4(2x) = 2 log2(2x)

Тогда после замены $t= log2(2x)$ уравнение примет вид

(1 +2t)2− 1t− 1= 0 2 8t2+ 7t= 0 ⇔ t= − 7;0 8

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ log2(2x)= − 7 2x= 2− 78 |⌈ 8 ⇔ |⌈ log2(2x)= 0 2x= 1 ⌊ 1 √- x= 1 ⋅ 28-= 82 ||⌈ 2 2 4 x= 1 2

б) Корень $x = 0,5$ лежит в отрезке $[0,4;0,8].$ Число $8√- 2 <2,$ следовательно,

1 8√- 1 4 ⋅ 2< 2

Тогда сравним $√ - 14 ⋅ 8 2$ с $0,4:$

√8- --2∨ 2 4√- 5 5 82∨ 8 8 8 5 ⋅2∨ 8 8 23 5 ∨ 2 6252∨ 10242 ⋅8

Следовательно,

1 8√ - 4 ⋅ 2< 0,4

Значит, корень $1 8√- x= 4 ⋅ 2$ не лежит в отрезке $[0,4;0,8].$

Ответ:

а) 0,5; $√ - 8-2 4$

б) 0,5

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#45837

а) Решите уравнение

2cosx⋅sin 2x= 2sin x+ cos2x

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ 9π ] 3π; 2 .$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 19

Показать ответ и решение

а) Преобразуем уравнение:

4sin xcos2x = 2sinx +cos2x ⇔ 2 2sin x(2cos x− 1)− cos2x = 0 ⇔ 2sin xcos2x − cos2x =0 ⇔ c⌊os2x(2sinx − 1)= 0 ⇔ cos2x = 0 |⌈ 1 ⇔ sinx = 2 ⌊ π π | x= 4-+ 2k,k ∈ℤ || π || x= 6-+ 2πn,n∈ ℤ |⌈ 5π x= -6 + 2πm,m ∈ ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] 3π; 9π , 2$ концы этой дуги и точки, которые лежат на ней.

$9111π5732πππ5π 3π24446$

Следовательно, на отрезке $[ ] 3π; 9π 2$ лежат точки $13π; 15π; 25π; 17π . 4 4 6 4$

Ответ:

а) $π+ π-k, π+ 2πn, 5π +2πm, 4 2 6 6$ где $k,n,m ∈ ℤ$

б) $13π 15π 25π 17π -4-;-4-;-6- ;4--$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#45838

а) Решите уравнение

2sin x⋅sin2x = 2cosx+ cos2x

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ 5π ] − 2 ;−π .$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 20

Показать ответ и решение

а) Преобразуем уравнение:

4sin2x cosx − 2 cosx − cos2x= 0 ⇔ 2 − 2cosx(1− 2sin x)− cos2x = 0 ⇔ − 2cosxcos2x− cos2x = 0 ⇔ c⌊os2x(2 cosx +1)= 0 ⇔ cos2x = 0 |⌈ 1 ⇔ cosx = −2 ⌊ π π | x= 4-+ 2n,n ∈ℤ || 2π || x= − 3-+ 2πk,k ∈ ℤ |⌈ 2π x= -3 + 2πm, m ∈ ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] − 5π;−π , 2$ концы этой дуги и точки, которые лежат на ней.

$−−−−−−π5π9π7π5π4π- 24443$

Следовательно, на отрезке $[ ] − 5π;−π 2$ лежат точки $− 9π;− 7π;− 4π;− 5π. 4 4 3 4$

Ответ:

а) $π+ π-n,− 2π +2πk, 2π + 2πm, 4 2 3 3$ где $k,n,m ∈ ℤ$

б) $9π 7π 4π 5π − -4 ;− -4 ;− 3-;−-4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#45839

а) Решите уравнение

( ) 2cos3(x− π)= sin 3π +x 2

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] 9π; 11π . 2 2$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 22

Показать ответ и решение

а) Пребразуем уравнение:

− 2cos3x = − cosx ⇔ 2 cosx(2cos x− 1)= 0 ⇔ ⌊cosx =0 |⌈ ⇔ cosx =± √1- ⌊ 2 |x = π-+πk,k ∈ℤ |⌈ 2 x = π-+ πn,n∈ ℤ 4 2

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[9π 11π ] -2 ;-2- ,$ концы этой дуги и точки, которые лежат на ней.

$2119191ππππ 4422$

Следовательно, на отрезке $[ ] 9π- 11π 2 ; 2$ лежат точки $9π 19π 21π 11π 2 ; 4 ; 4 ; 2 .$

Ответ:

а) $π+ πk, π-+ πn, 2 4 2$ где $k,n ∈ ℤ$

б) $9π 19π 21π 11π -2 ;-4 ;-4-;-2-$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#45840

а) Решите уравнение

3 ⋅9x+1− 5⋅6x+1+ 4x+1,5 = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[− π; π-]. 2 2$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 23

Показать ответ и решение

а) Преобразуем уравнение:

( )2x ( )x 27⋅9x − 30⋅6x+ 8⋅4x = 0 |:4x > 0 ⇔ 27⋅ 3 − 30⋅ 3 + 8= 0 2 2

Сделаем замену $( )x t = 32 >0.$ Тогда уравнение примет вид

27t2− 30t+ 8= 0

Дискриминант уравнения равен $2 D = 30 − 4⋅27⋅8= 9 ⋅4⋅25− 4⋅9⋅24= 4⋅9.$ Следовательно, корни уравнения $t= 49; 29.$ Сделаем обратную замену:

⌊ ( )x 3 = 4 ⌊ ||⌈ (2)x 9 ⇔ ⌈x = −2 3 = 2 x = −1 2 3

б) Так как $3 <π < 4,$ то $3< π <2, 2 2$ следовательно, на отрезке $[ ] − π; π 2 2$ лежит только корень $x =− 1.$

Ответ:

а) $− 2;− 1$

б) $− 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#45841

а) Решите уравнение $25x−0,5− 13 ⋅10x−1+ 4x+0,5 = 0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ π ] − 2;π .$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 24

Показать ответ и решение

а) Преобразуем уравнение:

1⋅25x− 13 ⋅10x +2 ⋅4x = 0 |: 4x > 0 5 10 10 (5 )2x (5)x 2⋅ 2 − 13 ⋅ 2 + 20 = 0

Сделаем замену $t =(52)x,$ тогда уравнение примет вид

2t2− 13t+ 20= 0 ⇔ t= 5;4 2

Сделаем обратную замену:

⌊ (5)x 5 ⌊ || (2) = 2 ⇔ |x =1 ⌈ 5 x = 4 ⌈x =log54 2 2

б) Так как $3 <π < 4,$ то

( 3 ) [ π- ] −2;3 ⊂ − 2;π

Число $( ) 1∈ − 32;3 .$ Следовательно, корень $x = 1$ лежит в отрезке $[− π2;π].$

Далее имеем:

1= log5 5 <log54 <log525 = 2 2 2 2 2 4

Тогда корень $x = log52 4$ также лежит в отрезке $[ π- ] −2 ;π .$

Ответ:

а) 1; $log 4 2,5$

б) 1; $log2,54$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#45842

а) Решите уравнение $sin 2x + cos2x =1.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ 7π ] − -2 ;−2π .$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 25

Показать ответ и решение

а) Данное уравнение решается с помощью формулы вспомогательного аргумента. Разделим обе части равенства на корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов перед синусом и косинусом, то есть на $√ ------ √- 12+ 12 = 2 :$

1 1 1 √2-sin2x + √2 cos2x= √2 ⇔ sin2x ⋅cos π-+ sin π⋅cos2x= √1 ⇔ 4 4 2 ( ) sin 2x + π- = 1√-- ⇔ 4 2 ⌊ π π ||2x + 4-= 4 + 2πk,k ∈ ℤ ⌈ π 3π ⇔ 2x + 4-= 4-+ 2πn,n∈ ℤ ⌊ ||x = πk,k ∈ ℤ ⌈ π x = 4-+πn,n ∈ ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] − 7π;−2π , 2$ концы этой дуги и точки, которые лежат на ней.

$−−−− 73 12ππ1ππ 24$

Следовательно, на отрезке $[ ] − 7π;−2π 2$ лежат точки $− 3π;− 11π;−2π. 4$

Ответ:

а) $πk, π-+ πn, 4$ где $k,n ∈ℤ$

б) $11π − 3π;− -4-;− 2π$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#45224

а) Решите уравнение $cos2x+ sin2x +1 =0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 9π] 3π;2- .$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 26

Показать ответ и решение

а) Решим уравнение двумя способами.

Способ 1.

Сделаем замену $2x = y$ и запишем уравнение в следующем виде:

1⋅cosy+ 1⋅sin y = −1

Воспользуемся формулой вспомогательного аргумента. Для этого разделим обе части равенства на корень из суммы квадратов коэффициентов перед синусом и косинусом, то есть на $√ ------ √- 12+ 12 = 2 :$