Тема 13. Решение уравнений
13.01 Задачи №13 из ЕГЭ прошлых лет
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение уравнений
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#63790

а) Решите уравнение            √ -       √-
2sin2x cosx +  3cos2x =  3.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [     ]
 5π;4π .
 2

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна, Москва

Показать ответ и решение

а) Так как 1= sin2x+ cos2x,  то уравнение равносильно

2sin2xcosx+ √3-cos2x = √3sin2x + √3cos2x
   2       √ -  2
2sin xcosx−  √3sin x =0
sin2x(2cosx−  3)= 0
⌊
|sinx= 0√-
⌈cosx = -3-
⌊       2
 x = πn,n∈ ℤ
⌈x = ±π-+ 2πk,k ∈ ℤ
      6

б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни.

5234π3πππ
 26

Таким образом, подходят корни 3π;  23π;
 6  4π.

Ответ:

а) πk;  ± π-+ 2πk,
  6  k ∈ ℤ

 

б) 3π;  23π ;
 6  4π

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#63789

а) Решите уравнение            √ -       √-
2sin2x cosx +  2cos2x =  2.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [       ]
 − 7π;− 2π .
   2

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна, Москва

Показать ответ и решение

а) Так как 1= sin2x+ cos2x,  то уравнение равносильно

2sin2xcosx+ √2-cos2x = √2sin2x + √2cos2x
   2       √ -  2
2sin xcosx−  √2sin x =0
sin2x(2cosx−  2)= 0
⌊
|sinx= 0√-
⌈cosx = -2-
⌊       2
 x = πk,k ∈ ℤ
⌈x = ±π-+ 2πk,k ∈ ℤ
      4

б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни.

−−−− 7 932ππππ
  24

Таким образом, подходят корни − 3π;  − 9π ;
  4  − 2π.

Ответ:

а) πk;  ± π-+ 2πk,
  4  k ∈ ℤ

 

б) − 3π;  − 9π;
  4  − 2π

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#63788

а) Решите уравнение             √ -
sinx ⋅cos2x −  2cos2 x+ sinx =0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [     ]
 3π;3π .
 2

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна, Москва

Показать ответ и решение

а) Воспользуемся формулой cos2x= 2cos2 x− 1:

 sinx(2cos2x − 1)− √2-cos2x +sinx= 0
            √-
2cos2xsin x−  2cos2x= 0
   2        √ -
 cos x(2sinx −  2)= 0
 ⌊cosx= 0
 |      √ -
 ⌈sinx = --2
         2
 ⌊x=  π+ πk, k ∈ ℤ
 ||    2
 ||x=  π+ 2πk, k ∈ℤ
 |⌈    4
  x=  3π-+ 2πk, k ∈ℤ
      4

б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни.

3591πππ1π
32244π-

Таким образом, подходят корни

3π; 9π; 5π; 11π
 2  4   2   4
Ответ:

а) π+ πk;
2  π+ 2πk;
4  3π + 2πk,
 4  k ∈ ℤ

 

б) 3π;
 2  9π;
4  5π-;
2  11π
 4

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#63274

а) Решите уравнение cosx⋅cos2x= √2 sin2x+ cosx.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ 5π    ]
 −-2 ;− π .

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна, Адыгея

Показать ответ и решение

а) Воспользуемся формулой cos2x= 1− 2sin2x  и получим

cosx (1 − 2 sin2x)= √2 sin2x+ cosx
   √ -  2       2
     2sin x( +2 sin xco)sx= 0
     sin2x √ 2+ 2cosx  = 0

Отсюда получаем

⌊                  ⌊
 sin x= 0;           x= πk;
|⌈        √-    ⇔   |⌈               где k ∈ℤ
 cosx= − -2,        x= ± 3π+ 2πk,
         2               4

б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни.

−−−−− 52 3 5πππππ+ 2πk
 244

Таким образом, подходят корни − 2π;   5π
− 4 ;  − π.

Ответ:

а) πk;  ± 3π +2πk,
   4  k ∈ ℤ

 

б) − 2π;    5π
− 4-;  − π

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#63273

а) Решите уравнение cosx⋅cos2x= √3 sin2x+ cosx.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [  5π]
 π;2- .

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна

Показать ответ и решение

а) Воспользуемся формулой cos2x= 1− 2sin2x  и получим

cosx (1 − 2 sin2x)= √3 sin2x+ cosx
   √ -  2       2
     3sin x( +2 sin xco)sx= 0
     sin2x √ 3+ 2cosx  = 0

Отсюда получаем

⌊                  ⌊
 sin x= 0;           x= πk;
|⌈        √-    ⇔   |⌈               где k ∈ℤ
 cosx= − -3,        x= ± 5π+ 2πk,
         2               6

б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни.

5275πππππ +2πk
 266

Таким образом, подходят корни π;  7π
 6 ;  2π.

Ответ:

а) πk;  ± 5π +2πk,
   6  k ∈ ℤ

 

б) π;  7π
6-;  2π

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#63272

а) Решите уравнение 2sin3x +√2-cos2x = 2sinx.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [     3π]
 −3π;−-2  .

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

а) Преобразуем уравнение:

  2 sin3x+ √2 cos2x =2 sinx
     (  2    )  √-   2
2sin x sin x− 1 +√ -2 cos x =0
  −2sin xcos2x +  2cos2 x= 0
     2  (        √-)
   cosx  −2sin x+  2  = 0

Отсюда получаем

                 ⌊    π
⌊                | x= 2-+ πk;
| cosx = 0;√-       ||    π
⌈       -2-  ⇔   || x= 4-+ 2πk;   где k ∈ ℤ
  sinx = 2 ,      ⌈    3π
                   x=  4 + 2πk,

б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни:

−−−−3π5373ππππ+2πk
 4224

Таким образом, подходят корни   5π   7π  3π
−  2 ;− 4 ;− 2 .

Ответ:

а) π+ πk;
2  π+ 2πk;
4  3π + 2πk,
 4  k ∈ ℤ

 

б)   5π
− -2 ;    7π
− -4 ;    3π
− -2

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#63271

а) Решите уравнение  2cos3x = √3sin2 x+ 2cosx.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [     5π]
 −3π;−-2  .

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

а) По основному тригонометрическому тождеству имеем:

2cos3x = √3(1 − cos2x)+ 2cosx

Раскроем скобки, перенесём слагаемое с минусом в левую часть, разложим на множители:

 2cos3 x= √3 − √3-cos2x + 2cosx
         √-       √ -
 2cos3 x+  3cos2x=   3+ 2cosx
cos2x(2cosx+ √3) = √3 +2cosx
  (       √ -)
   2cosx+   3 (cos2x − 1)= 0

Отсюда получаем

⌊        √-       ⌊
 cosx= − -3-       x = ±5π + 2πk
|⌈         2   ⇔   |⌈      6
 cosx= ±1          x = πk, k ∈ ℤ

б) Отберем подходящие корни с помощью неравенств:

1) − 3π ≤ πk ≤ − 5π ⇒  −3 ≤ k ≤ −2,5
               2
  k = −3  ⇒   x =− 3π

2) − 3π ≤ 5π +2πk ≤− 5π  ⇒   −3≤ 5 + 2k ≤ − 5
         6           2           6        2
      5         1
   − 3 6 ≤ 2k ≤ − 33 ⇒ k ∈ ∅

3) − 3π ≤ − 5π6 + 2πk ≤ − 5π2 ⇒ −3 ≤− 56 +2k ≤− 52

   − 2 1≤ 2k ≤ − 12 ⇒  k = − 1, x =− 5 − 2π
      6         3                   6

Таким образом, на отрезке [        ]
 −3π;− 5π
       2 лежат корни − 3π  и − 17π.
   6

Ответ:

а) πk;  − 5π +2πk;
   6  5π+ 2πk,
6  k ∈ℤ

 

б) − 3π;    17π
− -6-

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#58732

а) Решите уравнение 27x− 10 ⋅3x+1 + 81-= 0.
              3x

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [log72;log715].

Источник: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Показать ответ и решение

а) Домножим обе части уравнения на 3x ⁄= 0.  Получим

  x  x      2x+1
27 ⋅3 − 10⋅3    +81 =0

Преобразуем левую часть:

  x  x      2x+1       4x      2x
27 ⋅3 − 10⋅3    + 81= 3  − 10 ⋅3 ⋅3+ 81

Заметим, что 34x = 92x = (9x)2,  а 32x = 9x.  Сделаем замену 9x = t.  Тогда получим

pict

Сделаем обратную замену:

pict

б) Сравним полученные корни с концами отрезка [log72;log715].  Для этого представим их в виде логарифма по основанию 7:

pict

Теперь нам осталось сравнить √ -
  7  и √---
 343  с 2 и 15. Вместо этого мы можем сравнивать квадраты этих положительных чисел, то есть 7 и 343 с 4 и 225. Тогда имеем:

4< 7 <225 <343  ⇒   2 < √7< 15< √343-

Таким образом, на отрезке [log7 2;log7 15]  лежит только корень x = 0,5.

Ответ:

а) 0,5; 1,5

б) 0,5

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#57003

a) Решите уравнение      (       √ -       )
log13 cos2x − 9 2cosx− 8 = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [       ]
 −2π;− π .
      2

Источник: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Показать ответ и решение

а) Уравнение равносильно

        √-           0
cos2x− 9 2cosx − 8 = 13

Оказалось, что аргумент логарифма равен 130 = 1,  то есть положительному числу. Следовательно, ограничение «аргумент логарифма должен быть положительный» выполнено. Преобразуем это уравнение, воспользовавшись формулой косинуса двойного угла:

2cos2x− 9√2cosx− 10= 0

Сделаем замену t =cosx.  Тогда имеем:

      √-
2t2− 9 2t− 10= 0

D = 162+ 4⋅2⋅10 =242
    9√2-±-11√2-
t=      4
     √-  √ -
t= − -2; 5 2
      2

Сделаем обратну замену. Заметим, что        √ -
cosx ⁄=5  2,  значит,

        √-
        -2-           3π-
cosx= −  2   ⇔   x= ± 4 + 2πk, k ∈ ℤ

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку [− 2π;− π],
       2  с помощью тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку [      π]
 − 2π;− 2 ,  концы этой дуги и принадлежащие ей решения из серий пункта а).

  π5π3π
−−−−2π244-

Следовательно, на отрезке [       ]
 − 2π;− π-
       2 лежат корни

     5π   3π
x =− -4 ; −-4
Ответ:

а) ± 3π+ 2πk,
  4  k ∈ℤ

 

б) − 5π ;
   4  − 3π
   4

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#57000

a) Решите уравнение:    (√-   (     )          )
log3  2 cos  π− x + sin 2x+ 81 = 4.
           2

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [  5π]
 π;2- .

Источник: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Показать ответ и решение

а) Уравнение равносильно

√-   (π-   )              4
 2 cos  2 − x + sin 2x + 81= 3

Заметим, что в этом уравнении аргумент логарифма равен 34,  то есть положительному числу, следовательно, ограничение «аргумент логарифма должен быть положительный» выполнено. Преобразуем это уравнение:

√ -
  2sin(x√ +2 sinxcos)x= 0
sinx   2+ 2cosx = 0
⌊
⌈sinx =0 √ -
  cosx = −--2
⌊         2
| x= πk, k ∈ℤ
⌈      3π
  x= ± 4-+ 2πk, k ∈ ℤ

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку [  5π ]
 π;-2  ,  с помощью тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку [  5π ]
 π; 2  ,  концы этой дуги и принадлежащие ей решения из серий пункта а).

π552πππ
 24

Следовательно, на отрезке [  5π ]
 π; 2 лежат корни x = π;  5π
 4 ;  2π.

Ответ:

а) πk;  3π+ 2πk;
4  5π+ 2πk,
4  k ∈ℤ

 

б) π;  5π-;
4  2π

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#56115

а) Решите уравнение    (     √-           )
log4 22x−  3 cosx − sin2x = x.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [    ]
   7π
 π;2  .

Источник: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Показать ответ и решение

а) Данное уравнение равносильно

 2x  √-              x
2  −  3 cosx − sin2x= 4

Заметим, что в этом случае аргумент логарифма равен положительному числу 4x,  следовательно, он больше нуля, то есть выполнено ОДЗ уравнения. Преобразуем полученное уравнение, заметив, что 22x = 4x.

√3-cosx +2 sinxcosx =0
           √ -
c⌊osx(2sinx +  3)= 0
  cosx = 0
|⌈        √3
  sinx= − -2-
⌊ x= π-+ πk, k ∈ ℤ
||    2
|| x= − 2π + 2πk, k ∈ ℤ
|⌈      3
  x= − π-+ 2πk, k ∈ ℤ
       3

Полученные значения x  и есть ответ в пункте а).

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку [     ]
 π; 7π ,
    2  с помощью тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку [     ]
 π; 7π ,
    2  концы этой дуги и принадлежащие ей решения из серий пункта а).

π34535πππππ
 3322  717π0ππ
3π223-

Следовательно, на отрезке [  7π ]
 π;-2 лежат корни     4π
x = 3-;  3π
-2 ;  5π
-3 ;  5π
2-;  10π
 3  ;  7π
 2 .

Ответ:

а) π+ πk;
2  − 2π+ 2πk;
  3  − π+ 2πk,
  3  k ∈ℤ

 

б) 4π;
 3  3π;
2  5π-;
3  5π;
 2  10π;
 3  7π
 2

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#56114

а) Решите уравнение  2log23(2cosx) − 5log3(2cosx)+ 2= 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [    ]
 π; 5π .
   2

Источник: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Показать ответ и решение

а) Сделаем замену t= log3(2cosx).  Тогда уравнение примет вид

 2                    1
2t − 5t+ 2= 0 ⇔   t = 2;2

Сделаем обратную замену:

⌊
  log3(2 cosx)= 1       [2 cosx = √3
⌈            2   ⇔    2 cosx = 9
  log3(2 cosx)= 2

Второе уравнение не имеет решений, так как cosx ∈[−1;1].

Первое уравнение совокупности равносильно

      √ -
cosx= --3  ⇔   x = ±π-+ 2πk, k ∈ ℤ
       2            6

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку [     ]
 π; 5π ,
    2  с помощью тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку [  5π ]
 π;-2  ,  концы этой дуги и принадлежащие ей решения из серий пункта а).

511π13ππ
π266-

Следовательно, на отрезке [     ]
 π; 5π
    2 лежат корни

   11π     13π
x= -6-; x= -6-
Ответ:

а) ± π+ 2πk,
  6  k ∈ ℤ

 

б) 11π;
 6  13π
 6

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#65015

а) Решите уравнение                         (     )
log x ⋅log (4x2− 1)= log x-4x2-− 1-.
  3     3            3    3

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [log52;log527].

Источник: ЕГЭ 2023, резервная волна, Москва

Показать ответ и решение

а) Так как брать логарифм можно только у положительного числа, то имеем:

(|x > 0
||{4x2− 1> 0            {x > 0             1
|  (  2  )        ⇒      2       ⇒   x > 2.
||( x-4x-− 1-> 0         4x > 1
     3

Преобразуем правую часть уравнения:

     ( 2   )
log3 x-4x-−-1 =log3x+ log3(4x2− 1)− 1
       3

Тогда имеем:

         ( 2   )            (  2   )
log3x⋅lo(g3 4x(  −2 1 )=log)3x+ log3( 4x2 −)1 − 1
 log3 x log3 4x − 1 − 1 =log3 4x − 1 − 1
     (log3x − 1)(log3 (4x2− 1)− 1)= 0

Тогда имеем:

pict

Значит, x= 3  или x =1.

б) x  может принимать два значения. Давайте узнаем про каждое, принадлежит ли оно нужному отрезку.

1.
x= 1.
      1= log55
log52< log55 < log527

Значение x= 1  подходит.

2.
x= 3.
     3= log5 125
log52< log527 < log5125

Значение x= 3  не подходит.

Тогда ответ: x= 1.

Ответ:

а) 1; 3

б) 1

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#65014

а) Решите уравнение                        (    )
log x ⋅log x2−-1 = log x-x2-− 1-.
  4     4  2       4    8

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [log34;log349].

Источник: ЕГЭ 2023, резервная волна, Москва

Показать ответ и решение

а) Так как брать логарифм можно только от положительного числа, то имеем:

(x > 0
|||{ x2− 1
  -(2--> 0)
|||( x-x2−-1-
     8    > 0
{
 x2> 0     ⇒   x> 1
 x  >1

Преобразуем левую часть уравнения:

          2
log4 x⋅log4 x-− 1 = log4x ⋅(log4(x2 − 1)− 0,5) =
           2      (    )
       = log4x ⋅log4 x2− 1 − 0,5log4x

Преобразуем правую часть уравнения:

     (    )
   x--x2− 1             (2   )
log4    8    = log4x +log4x  − 1 − 1,5

Тогда получаем

         ( 2   )                     ( 2   )
log4x⋅log4 x − 1 − 0,5 log4x= log4x+ log4 x − 1 − 1,5
    log4x⋅log4(x2 − 1) =1,5log4x +log4(x2− 1) − 1,5
          (    )
      log4 x2− 1(log4 x− 1)− 1,5(log4x− 1)= 0
          (log x − 1)(log (x2− 1)− 1,5)= 0
             4        4

Тогда имеем:

pict

Значит, x= 4  или x =3.

б) Узнаем про каждое из двух значений x,  принадлежит ли оно нужному отрезку.

1.
x= 3.
     3 = log327
log34 < log327< log349

Значение x= 3  подходит.

2.
x= 4.
     4 = log381
log34 < log349< log381

Значение x= 4  не подходит.

Тогда указанному отрезку принадлежит корень x= 3.

Ответ:

а) 3; 4

б) 3

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#65013

а) Решите уравнение           (     )   √-      √-
sin 2x − 2cos x − π- =  3cosx−  3.
               2

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π   ]
 2-;3π .

Источник: ЕГЭ 2023, резервная волна

Показать ответ и решение

а) Воспользуемся формулой синуса двойного угла и формулой косинуса разности:

sin 2x − 2cos(x − π) =√3-cosx− √3
               2   √-      √ -
 2sin xcosx − 2sinx =  3cosx−   3
  2 sinx(cosx − 1) =√3 (cosx − 1)
            (       √-)
    (cosx− 1) 2sinx−  3  = 0

Тогда имеем:

pict

б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни:

378πππ
2323π3π

Таким образом, подходят корни 2π;  7π
-3 ;  8π
3-.

Ответ:

а) π+ 2πk;
3  2π + 2πk;
 3  2πk,  k ∈ℤ

 

б) 2π;  7π ;
 3  8π
 3

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#65012

а) Решите уравнение           (     )   √-      √-
sin 2x + 2cos x − π- =  3cosx+  3.
               2

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [     3π]
 −3π;−-2  .

Источник: ЕГЭ 2023, резервная волна, Татарстан

Показать ответ и решение

а) Воспользуемся формулой синуса двойного угла и формулой косинуса разности:

sin 2x + 2cos(x − π) =√3-cosx+ √3
               2   √-      √ -
 2sin xcosx + 2sinx =  3cosx+   3
  2 sinx(cosx + 1) =√3-(cosx +1)
            (       √-)
    (cosx+ 1) 2sinx−  3  = 0

Тогда имеем:

pict

б) Сделаем отбор корней неравенствами:

  • x= π+ 2πk,  k ∈ ℤ.  Тогда

    − 3π-≥ π +2πk ≥ −3π.
  2

    Разделим все части неравенства на π,  получим:

    − 3 ≥ 1+ 2k ≥ −3.
 2

    Вычтем единицу из всех частей и разделим все части неравенства на 2, получим

    − 5 ≥ k ≥ −2.
 4

    Так как k  — целое, то оно может быть равно только − 2.  В этом случае x= −3π.

  • x= π-+ 2πk,
   3  k ∈ ℤ.  Тогда

    − 3π ≥ π-+ 2πk ≥ −3π.
  2   3

    Разделим все части неравенства на π :

    − 3 ≥ 1+ 2k ≥ − 3.
  2   3

    Вычтем из всех частей 13  и разделим все части неравенства на 2:

    − 11-≥ k ≥ − 5.
  12        3

    Так как k  — целое, то k = −1.  В этом случае      5π
x = − 3 .

  • x= 2π + 2πk,
    3  k ∈ ℤ.  Тогда

    − 3π ≥ 2π+ 2πk ≥ − 3π.
  2    3

    Разделим все части неравенства на π :

      3   2
− 2 ≥ 3 + 2k ≥ − 3.

    Вычтем из всех частей 2
3  и разделим все части неравенства на 2:

     13       11         -1        5
−12 ≥k ≥ − 6   ⇒   −112 ≥k ≥ −16.

    Так как k  — целое, то мы не можем найти k  на заданном отрезке. В данном случае решений нет.

Итого, получим ответ:      5π-
x= − 3  или x =− 3π.

Ответ:

а) π+ 2πk;
3  2π + 2πk;
 3  π+ 2πk,  k ∈ℤ

 

б) − 5π ;
   3  − 3π

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#65011

а) Решите уравнение                  (      )
sin2x = sinx − 2sin x − 3π + 1.
                     2

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [     ]
 3π;3π .
 2

Источник: ЕГЭ 2023, резервная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

а) Воспользуемся формулой синуса разности:

             (        3π     3π     )
sin2x =sinx− 2  sinx⋅cos-2 − sin-2 ⋅cosx + 1

Воспользуемся формулой синуса двойного угла:

                 (        3π     3π     )
2sinx cosx = sinx− 2  sinx⋅cos 2 − sin 2 ⋅cosx  + 1

   2sinxcosx =sinx− 2sin x⋅0+ 2⋅(−1)⋅cosx+ 1
          2sin xcosx= sinx − 2cosx +1

        2 sinxcosx− sin x+ 2cosx− 1= 0
         sinx(2cosx − 1)+(2cosx− 1)= 0

            (sinx +1)(2cosx − 1) =0

Тогда имеем совокупность

pict

б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни:

375πππ
3233π

Таким образом, подходят корни

3π ; 5π; 7π
 2   3   3
Ответ:

а) − π+ 2πk;
  2  ± π+ 2πk,
  3  k ∈ ℤ

 

б) 3π;
 2  5π;
3  7π-
3

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#55519

а) Решите уравнение sin 2x − 2sinx +2 cosx − 2 = 0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [     ]
 3π; 9π .
     2

Источник: ЕГЭ 2022, основная волна

Показать ответ и решение

а) По формуле синуса двойного угла sin 2x = 2sinx cosx.  Тогда

2sinx cosx − 2sinx +2 cosx − 2 = 0

 2sinx(cosx− 1)+ 2(cosx− 1)= 0
    2(cosx − 1)(sinx +1)= 0
        [
         cosx − 1 =0
         sinx+ 1= 0
         [cosx =1
          sinx= − 1
     [
      x= 2πk, k ∈ ℤ
      x= − π2 + 2πk, k ∈ Z

б) Проведём отбор корней на числовой окружности:

PIC

Ответ:

а) − π+ 2πk;
  2  2πk,  k ∈ ℤ

 

б) 7π;
 2  4π

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#55518

а) Решите уравнение 2cos2x − 3sin(−x)− 3= 0.

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку [      ]
  5π;4π .
  2

Источник: ЕГЭ 2022, основная волна

Показать ответ и решение

а) По формуле косинуса двойного угла cos2x= 1− 2sin2x = 2cos2x − 1.

Отсюда cos2x = 1− sin2x.  Так как sin(−x)= − sinx,  то

 2cos2x − 3 sin(− x)− 3= 0
       2
2 − 2 sin x+ 3sin x− 3= 0
  2sin2x − 3sinx +1 = 0

Пусть sinx =t.  Тогда   2    2
sin x = t.  Решим уравнение относительно новой переменной:

    2
  2t − 3t+ 1 =0
D = 32− 4⋅2⋅1= 1

    t1,2 = 3±-1
          4
      t1 = 1
          1
      t2 = 2

Сделаем обратную замену:

               ⌊
⌊sinx = 1        x= π2 + 2πk, k ∈ ℤ
⌈          ⇔   |⌈x= π6 + 2πk, k ∈ ℤ
 sinx = 12        x= 5π6 +2πk, k ∈ ℤ

б) Проведём отбор корней на числовой окружности:

PIC

Ответ:

а) π+ 2πk;
6  5π + 2πk;
 6  π-+ 2πk,
2  k ∈ ℤ

 

б) 5π;
 2  17π
 6

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#55517

а) Решите уравнение cos2x+ sin(−x)− 1= 0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [    ]
 π-;2π  .
 2

Источник: ЕГЭ 2022, основная волна

Показать ответ и решение

а) По формуле косинуса двойного угла cos2x= 1− 2sin2x.  Так как sin(− x)= − sinx,  то

cos2x+ sin(−x)− 1= 1− 2sin2x − sinx− 1 =0

Решим уравнение:

1− 2sin2x − sinx− 1 =0

   2sin2x + sinx =0
  sin x(2 sinx+ 1)= 0
    [
     sinx = 0
     2sin x+ 1= 0
     [
      sin x= 0
      sin x= − 12
 ⌊
  x =πk, k ∈ ℤ
 |⌈x = 7π6-+ 2πk, k ∈ ℤ
  x = 116π-+2πk, k ∈ ℤ

б) Длина отрезка [π   ]
 2;2π равна     π
2π− 2-= 1,5π.

Рассмотрим решения вида x= πk.  Разность между соседними членами серии равна π,  значит, на отрезке [     ]
  π;2π
  2 не более двух корней. Это числа π  и 2π,  так как

π            π
2 ≤ π ≤ 2π и  2-≤ 2π ≤ 2π

Соседние члены серий x= 7π6 + 2πk  и x = 11π6-+ 2πk  отличаются на 2πk,  значит, в каждой серии не более одного решения уравнения, принадлежащего отрезку [π   ]
 -2;2π  .

π-≤ 7π≤ 2π  и  π-≤ 11π≤ 2π,
2   6          2    6

следовательно, эти числа — корни уравнения, принадлежащие данному отрезку.

Ответ:

а) πk;  7π+ 2πk;
6  11π-+ 2πk,
 6  k ∈ ℤ

 

б) π;  7π-;
6  11π;
 6  2π

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!