Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
а) По формуле приведения и формуле синуса двойного угла имеем:
б) Отберем корни:
. Следовательно,
. Следовательно,
. Следовательно,
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
а) По формуле синуса двойного угла имеем:
б) Отберем корни с помощью неравенств:
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение .
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку .
а) Вынесем множитель за скобки:
Заметим, что т.к. область значений синуса – это отрезок , то второе уравнение решений не имеет. Следовательно, решением данной совокупности является решение первого уравнения:
б) Отберем корни:
Т.к. , то , что равносильно .
Таким образом, целые , принадлежащие полученному промежутку, это . При этих значениях получаем корни .
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку .
а) Найдем ОДЗ: — произвольное. Решим на ОДЗ.
Воспользуемся формулой синуса двойного угла
По формуле косинуса двойного угла имеем:
Тогда получаем совокупность
б) Отберем корни с помощью неравенств:
1)
Отсюда получаем
2)
Отсюда получаем
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
a) Решите уравнение
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку
По формулам приведения можно преобразовать исходное уравнение к виду
Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Тогда или
Решения уравнения имеют вид , где
Решения уравнения имеют вид где
Следовательно, решения уравнения имеют вид
б) Отберем подходящие корни с помощью неравенств.
Так как то подходят значения при и и
Так как то среди этих подходящих нет.
Так как то подходит значение при
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку
а)
Перенесём в левую часть уравнения:
По ОТТ
По формуле синуса двойного угла
Вынесем за скобку:
Произведение равно 0 тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0:
Второе уравнение совокупности — однородное.
Если в рамках данного уравнения равен 0, то и одновременно равен 0. В таком случае получаем противоречие с ОТТ:
Разделим второе уравнение совокупности на
б)
Проведём отбор корней графическим методом:
Ни одна из точек серии не принадлежит отрезку.
Из серии на отрезок попадает ровно одна точка
Для того, чтобы точно определить её положение на окружности, сначала определим положение точки Она, очевидно, лежит в IV четверти из-за отрицательности аргумента арктангенса: откуда меньше
Отмерим такой же угол уже от точки и попадём в III четверть, где и будет лежать точка
Таким образом:
а) , где ;
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен
нулю, а другие при этом не теряют смысла. Уравнение определено, если
Рассмотрим два случая:
1)
Сделаем замену
Сделаем обратную замену:
1а)
Это уравнение не имеет решений, так как
1б)
и
2)
Все найденные решения удовлетворяют ограничению
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку Для отбора корней воспользуемся тригонометрической окружностью:
Вычислим явно все корни, принадлежащие данному отрезку.
а) ;
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку
а) Умножим уравнение на 2 и слагаемые из правой части перенесём в левую:
По формуле косинуса двойного угла следовательно
отсюда получаем два случая:
1)
2)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку Для отбора корней воспользуемся тригонометрической окружностью:
Вычислим явно все корни, принадлежащие данному отрезку.
а) ; ; ;
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) По формуле разности квадратов и по формуле приведения получаем:
б) Отберем корни неравенствами:
- 1)
- 2)
- 3)
а) где
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) По формуле двойного угла для синуса левая часть преобразуется в , следовательно, уравнение примет вид
б) Сделаем отбор корней по окружности.
,
а) где
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Найдем ОДЗ: откуда
На ОДЗ уравнение можно преобразовать:
Все серии решений удовлетворяют ОДЗ.
б) Отберем корни на окружности:
Таким образом, на данном отрезке лежат корни
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Комментарий.
Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Уравнение равносильно
б) Отберем корни по окружности:
Таким образом, указанному отрезку принадлежат корни
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Комментарий.
Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
a) Решите уравнение
б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку
а) По формулам приведения и формуле косинуса двойного угла имеем:
б) Рассмотрим корни вида Если они принадлежат отрезку то
Так как то или значит, корни и лежат на отрезке
Рассмотрим корни вида Если они принадлежат отрезку то
Таким образом, Значит, корень лежит на отрезке
Рассмотрим корни вида Если они принадлежат отрезку то
Значит, ни один корень вида не принадлежит отрезку
Тогда указанному промежутку принадлежат корни и
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку
а)
б) Учитываем, что Отберем корни из первой серии:
Отберем корни из второй серии:
Отберем корни из третьей серии:
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
a) Решите уравнение
б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку
a) Преобразуем левую часть уравнения с помощью формул приведения и синуса двойного угла:
Вынесем общий множитель за скобки:
Последнее уравнение равносильно совокупности
Решим первое из полученных уравнений при условии
Решим второе уравнение совокупности:
б) Найдем решения, которые принадлежат промежутку
a)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Комментарий.
Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку .
а) Перейдем от исходного уравнения к равносильной системе:
б) Отберем корни с помощью неравенств и с учетом :
Отсюда
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Комментарий
Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку .
а) Найдем ОДЗ: — произвольное. Решим на ОДЗ.
Перенесем все слагаемые в левую часть и вынесем общие множители за скобки:
б) Отберем корни с помощью неравенств:
1)
2)
3)
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку .
а) ОДЗ: . Решим на ОДЗ.
По формуле двойного угла для косинуса , значит:
Подставим полученный ответ для в :
– значит ответ нам подходит.
– значит ответ нам также подходит.
б) Отберем корни:
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все его корни, принадлежащие интервалу .
а) ОДЗ: – произвольное. Решим на ОДЗ.
Воспользуемся формулами двойного угла для синуса и косинуса :
б) Отберем корни:
1) .
Т.к.
2) Обозначим , тогда .
Т.к.
Т.к. в первой четверти котангенс убывает и , то
Следовательно,
Условно можно записать, что
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите наибольший отрицательный корень данного уравнения.
а) По формуле синуса тройного угла , следовательно:
б) Отберем корни.
Заметим, что среди найденных в каждой серии наибольших отрицательных корней самым большим является .
а)
б)