Тема 13. Решение уравнений
13.03 Тригонометрические: разложение на множители
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение уравнений
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2240

а) Решите уравнение

  ( π-  )
sin  2 +x  + sin 2x = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (   5π]
  0;--- .
    2

Показать ответ и решение

а) По формуле приведения и формуле синуса двойного угла имеем:

cosx+ 2sinx cosx= 0  ⇔   cosx(1+2sinx)=0  ⇔

                   ⌊x= − π + 2πn,n∈ ℤ
    ⌊sinx= − 1      ||    6
⇔   ⌈       2  ⇔   |||x= − 5π6 +2πk,k∈ ℤ
     cosx =0        ⌈   π
                    x= 2 +πm,m ∈ ℤ

б) Отберем корни:

 

0< − π +2πn≤ 5π ⇔   -1 <n ≤ 4  ⇒  n = 1
    6        2      12      3  . Следовательно, x = 11π-.
     6

 

    5π       5π      5      5
0< −6-+ 2πk≤ 2-  ⇔   12 < k≤ 3 ⇒   k= 1  . Следовательно,    7π
x= -6 .

 

   π       5π-       1
0< 2 + πm ≤ 2  ⇔  − 2 < m ≤ 2 ⇒  m = 0; 1; 2  . Следовательно,    π  3π 5π
x= 2; 2 ; 2 .

Ответ:

а) − π + 2πn; − 5π +2πk; π + πm; n,k,m ∈ ℤ
  6        6      2   

б) π 7π  3π 5π  11π
2;-6 ; 2-;-2 ;-6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#2238

а) Решите уравнение  sinx + sin2x= 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [0;2π].

Показать ответ и решение

а) По формуле синуса двойного угла имеем:

pict

б) Отберем корни с помощью неравенств:

pict
Ответ:

а)      2π
πk; ± 3 + 2πk, k ∈ ℤ

 

б) 0;  2π ;
 3  π;  4π ;
 3  2π

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#2048

а) Решите уравнение 5sinx + 3 sin2 x = 0  .

 

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку (− 7;0 )  .

Показать ответ и решение

а) Вынесем множитель sinx  за скобки:

                                                     ⌊
                              [                        sinx = 0
                               sin x = 0             |
sin x ⋅ (5 + 3sinx ) = 0  ⇒     5 + 3sin x = 0   ⇒    ⌈          5
                                                       sinx = − --
                                                                3

Заметим, что т.к. область значений синуса – это отрезок [− 1;1]  , то второе уравнение решений не имеет. Следовательно, решением данной совокупности является решение первого уравнения:

sin x = 0   ⇒    x =  πn,n ∈  ℤ

б) Отберем корни:

                      7
− 7 < πn < 0   ⇒    − -- < n < 0
                      π

Т.к. 2π <  7 < 3π  , то   3π      7      2π
− -π- < − π-<  − π--  , что равносильно          7
−  3 < − π-< − 2  .

 

Таким образом, целые n  , принадлежащие полученному промежутку, это n = − 2;− 1  . При этих значениях n  получаем корни x =  − 2π; − π  .

Ответ:

а) πn, n ∈ ℤ

б) − 2π; − π

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1749

а) Решите уравнение sin xsin2x = cosx

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку (      11π]
 − 7π;− -2- .

Показать ответ и решение

а) Найдем ОДЗ: x  — произвольное. Решим на ОДЗ.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла sin2x= 2sinxcosx:

                                         [
2sin2 xcosx − cosx = 0⇒ cosx(2sin2x− 1)= 0⇒   cosx= 0
                                          2sin2x − 1 = 0

По формуле косинуса двойного угла имеем:

cos2x= 1− 2sin2x⇒ 2 sin2x− 1= − cos2x

Тогда получаем совокупность

                  ⌊
[ cosx = 0          x1 = π-+ πn,n∈ ℤ
  − cos2x= 0  ⇒   ⌈    2π-  π-
                   x2 = 4 + 2m,m ∈ℤ

б) Отберем корни с помощью неравенств:

1)

−7π < x1 ≤ − 11π ⇒ −7,5< n ≤ −6 ⇒  n = −7;−6
            2

 

Отсюда получаем x= − 13π;− 11π.
      2    2

2)

           11π
−7π <x2 ≤ − 2  ⇒ −14,5< m ≤ −11,5  ⇒   m = −14;−13;−12

 

Отсюда получаем      27π  25π   23π-
x= −  4 ;− 4 ;−  4 .

Ответ:

а) π+ πn, π-+ π-m, n,m ∈ℤ
2      4   2

 

б) − 27π ;− 13π;− 25π;− 23π;− 11π
   4     2    4     4    2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#1674

a) Решите уравнение     2( 3π   )   √-
2sin   2 + x  =  3cosx.

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку [        ]
  7π
 − 2 ;− 2π .

Показать ответ и решение

По формулам приведения можно преобразовать исходное уравнение к виду

       2  √ -
2(− cosx) =   3cosx
2cos2x = √3cosx
    (      √ -)
cosx  cosx− --3 = 0
            2

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Тогда cosx= 0  или        √-
cosx = -3.
       2

Решения уравнения cosx = 0  имеют вид x= π-+ πk
   2  , где k ∈ℤ.

Решения уравнения cosx = a  имеют вид x= ±arccosa +2πk,  где k ∈ ℤ.

Следовательно, решения уравнения       √3
cosx = -2-  имеют вид      π
x = ±6-+ 2πk,k ∈ ℤ.

б) Отберем подходящие корни с помощью неравенств.

  7π  π-
− 2 ≤  2 + πk ≤ − 2π ⇔  −4 ≤k ≤ −2,5

Так как k ∈ℤ,  то подходят значения x  при k =− 4  и k =− 3:       7π
x = −-2  и      5π
x= − 2-.

− 7π≤ π-+ 2πn≤ − 2π   ⇔   − 11 ≤ n≤ − 13
  2    6                   6        12

Так как n ∈ℤ,  то среди этих x  подходящих нет.

− 7π ≤ − π-+ 2πn ≤ −2π ⇔   − 10 ≤n ≤ − 11
   2    6                    6       12

Так как n ∈ℤ,  то подходит значение x  при n = −1:  x= − 13π .
     6

Ответ:

а) π+ πk, ± π-+ 2πk, k ∈ ℤ
2       6

 

б) − 7π , − 5π-, − 13π
   2    2     6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#80089

а) Решите уравнение 1 +sinx = cos2 x.
              2

б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [  3π   π]
 − 2-;− 2-.

Показать ответ и решение

а)

Перенесём cos2 x
    2  в левую часть уравнения:

1 − cos2 x+ sin x = 0.
        2

По ОТТ sin2 x = 1− cos2 x :
    2          2

sin2 (x) + sinx = 0.
     2

По формуле синуса двойного угла            x   x
sin x = 2 sin 2 cos2 :

  2 x-     x-   x-
sin  2 + 2sin2 cos2 = 0.

Вынесем    x
sin 2  за скобку:

     (             )
sin x-⋅ sin x-+ 2cos x = 0.
   2     2       2

Произведение равно 0 тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0:

⌊
     sin x-= 0,
⌈   x   2   x
 sin 2 + 2 cos 2-= 0.

Второе уравнение совокупности — однородное.

Если в рамках данного уравнения    x
cos2  равен 0, то и    x
sin 2  одновременно равен 0. В таком случае получаем противоречие с ОТТ:  2   2
0 + 0  ⁄= 1.

Разделим второе уравнение совокупности на    x
cos2 :

⌊ sin x-= 0,
⌈    2
 tg x-+ 2 = 0.
   2

⌊     x-
⌈      2 = πn,n ∈ ℤ,
 x-= arctg (− 2)+ πn,n ∈ ℤ.
 2

[
       x = 2πn,n ∈ ℤ,
 x = 2 arctg(− 2)+ 2πn,n ∈ ℤ.

б)

Проведём отбор корней графическим методом:

PIC

Ни одна из точек серии x = 2πn,n ∈ ℤ  не принадлежит отрезку.

Из серии x = 2arctg(− 2)+ 2πn,n ∈ ℤ  на отрезок попадает ровно одна точка 2 arctg(− 2).

Для того, чтобы точно определить её положение на окружности, сначала определим положение точки arctg (− 2).  Она, очевидно, лежит в IV четверти из-за отрицательности аргумента арктангенса: − 2 < − 1,  откуда arctg(− 2)  меньше − π.
  4

Отмерим такой же угол уже от точки arctg(− 2)  и попадём в III четверть, где и будет лежать точка 2 arctg(− 2).

Таким образом:

2arctg(− 2) = arctg(− 2)+ arctg(− 2) = 2 arctg(− 2)+ 2π ⋅0.

Ответ:

а) x = 2πn,x = 2arctg (− 2)+ 2πn  , где n ∈ ℤ  ;

б) 2 arctg(− 2).

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#78010

а) Решите уравнение          √-
(cos2x− 13 2 sinx+ 13)⋅log13(sin22x)= 0.

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку [     ]
 3π; 9π .
     2

Показать ответ и решение

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысла. Уравнение определено, если sin22x> 0.  Рассмотрим два случая:
1)

cos2x− 13√2sin x+ 13= 0,

1− 2sin2 x− 13√2-sin x+ 13= 0,

−2sin2x− 13√2sin x+ 14= 0.

Сделаем замену t =sinx:

        √-
−2t2− 13 2t+ 14= 0,

      √-
2t2+ 13 2t− 14= 0,

      √ -
D = (13  2)2 − 4 ⋅2 ⋅(− 14) =338+ 112= 450,

       √ -  √---      √-    √-      √ -
t1 = −13-2−--450 = −13-2−-15-2-= −-28--2= − 7√2,
        2 ⋅2            4          4

       √ -  √---      √-    √-    √ -  √ -
t1 = −13-2+--450 = −13-2+-15-2-= 2--2= --2.
        2 ⋅2            4         4     2

Сделаем обратную замену:
1а)

        √-
sinx = −7 2.

Это уравнение не имеет решений, так как    √-
− 7 2< − 1.
1б)

      √2
sinx = 2-,

x= π-+ 2πn, n ∈ℤ
   4

и

x=  3π-+ 2πn, n ∈ ℤ.
    4

2)

       2
log13(sin 2x)= 0,

  2      0
sin 2x =13 ,

sin22x= 1,

sin2x= ±1,

2x = π-+πn,  n ∈ℤ,
     2

    π- πn-
x = 4 + 2 .

Все найденные решения удовлетворяют ограничению   2
sin 2x > 0.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку [   9π]
 3π;-2 .  Для отбора корней воспользуемся тригонометрической окружностью:

PIC

Вычислим явно все корни, принадлежащие данному отрезку.

x1 = π+ π-⋅6= 13π,
     4  2      4

     π- π-    15π
x2 = 4 + 2 ⋅7= 4 ,

x1 = π+ π-⋅8= 17π.
     4  2      4
Ответ:

а) x = π-+ πn,  n∈ ℤ
    4   2  ;
б) 13π- 15π- 17π
 4 ; 4 ; 4

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#78007

а) Решите уравнение

cos4x+-1     11π
   2    = cos 6  ⋅cos2x.

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку [  7π  5π]
 − 2-;−-2  .

Показать ответ и решение

а) Умножим уравнение на 2 и слагаемые из правой части перенесём в левую:

              11π
cos4x+ 1− 2cos 6 ⋅cos2x= 0.

По формуле косинуса двойного угла            2
cos2t= 2cos t− 1,  следовательно

                 √-
2cos22x− 1+ 1 − 2 ⋅-3-⋅cos2x =0,
                 2

   2     √-
2cos 2x −  3⋅cos2x= 0,

              √-
cos2x ⋅(2cos2x−  3)= 0,

отсюда получаем два случая:
1)

cos2x= 0,

     π
2x = 2-+πn,  n ∈ℤ,

x = π+ πn-;
    4   2

2)

        √ -
2cos2x−   3= 0,

       √ -
cos2x= --3,
        2

      π-
2x = ±6 + 2πn,  n ∈ℤ,

x = ±-π +πn.
     12

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку [        ]
 − 7π-;− 5π .
   2    2  Для отбора корней воспользуемся тригонометрической окружностью:

PIC

Вычислим явно все корни, принадлежащие данному отрезку.

     π- π-        13π
x1 = 4 + 2 ⋅(−7)= − 4 ,

x2 = π+ π-⋅(−6)= − 11π ,
     4  2          4

     π             35π
x3 = 12-+ π⋅(−3)= − 12-,

x4 = −-π +π ⋅(− 3)= − 37π.
      12             12
Ответ:

а) π+ πn-
4   2  ; x= ± π-+ πn
     12  ; n ∈ ℤ  ;
б)   13π  37π   35π-  11π
−  4 ;− 12 ;− 12 ;− 4

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#42152

а) Решите уравнение sin4 x− cos4 x= cos(x− π-).
    4      4         2

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [     ]
 − 3π;π .
   2

Показать ответ и решение

а) По формуле разности квадратов и по формуле приведения получаем:

(            ) (            )
 sin2 x+ cos2 x ⋅ sin2 x− cos2 x  =sinx  ⇔
     4      4       4      4
     x      x    x
− cos2 = 2 sin2 cos 2 ⇔
   x (    x    )
cos2 ⋅2 sin2 + 1 = 0  ⇔
⌊
 cos x = 0
||   2        ⇔
⌈sin x = − 1
⌊   2    2
 x = π+ 2πn,n∈ ℤ
||
||x = − π-+ 4πm,m ∈ ℤ
||      3
⌈x = − 5π + 4πk,k ∈ ℤ
       3

б) Отберем корни неравенствами:

1)
  3π                    5
−  2 ≤ π+ 2πn≤ π  ⇔   − 4 ≤n ≤ 0  ⇒   n =− 1;0   ⇒   x= −π;π
2)
− 3π ≤ − π-+ 4πm ≤π   ⇔   −-7 ≤ m ≤ 1  ⇒   m = 0  ⇒   x =− π-
   2    3                 24       3                      3
3)
  3π    5π                1      2
− -2 ≤ −-3 +4πk ≤ π  ⇔   24 ≤ k ≤ 3 ⇒   k ∈ ∅  ⇒   x ∈∅
Ответ:

а) π + 2πn, − π+ 4πm, − 5π-+ 4πk,
          3         3  где n,m,k ∈ℤ

б)       π
− π;− 3;π

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#42149

а) Решите уравнение                    (       )
cos3xsin3x = cos π-cos 12x+ 3π .
               3          2

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [       ]
 − 3π;− π-.
   4   4

Показать ответ и решение

а) По формуле двойного угла для синуса левая часть преобразуется в 1sin6x
2  , следовательно, уравнение примет вид

1        1
2 sin6x = 2 ⋅sin12x ⇔

sin6x= 2sin 6xcos6x   ⇔
sin6x(2 cos6x− 1)= 0  ⇔
⌊
| sin6x = 0
⌈        1   ⇔
  cos6x = 2
⌊
|⌈ 6x= πn,n ∈ℤ          ⇔
  6x= ± π+ 2πm,m ∈ ℤ
⌊       3
| x= π-n,n∈ ℤ
|⌈     6
  x= ± π-+ πm, m ∈ℤ
       18  3

б) Сделаем отбор корней по окружности.

−−xxxxxxx12345673ππ-
  44

      5π
x1 = − 18,        π
x2 = − 3,        7π
x3 = −18,       π
x4 = −2-,        11π
x5 = − 18  ,       2π
x6 = − 3-,  x7 =− 13π.
       18

Ответ:

а) πn,±-π + πm,
6   18   3  где n,m ∈ ℤ

 

б)   5π   π   7π  π   11π  2π   13π
− -18 ;− 3;− 18;−2-;− 18-;−-3 ;− 18-

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#41107

а) Решите уравнение 4sin2(x − π)= ctgx.
         2

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 5π;− 4π].

Показать ответ и решение

а) Найдем ОДЗ: sinx⁄= 0,  откуда x ⁄= πn,n∈ ℤ.

На ОДЗ уравнение можно преобразовать:

4cos2x=  cosx-  ⇔
         sinx
      (        1  )
 cosx ⋅ 4cosx− sinx-  =0  ⇔

 ⌊
 ⌈cosx= 0       ⇔
  4cosxsin x= 1
 ⌊
 ⌈cosx= 0    ⇔
  2sin 2x= 1
 ⌊
 |x = π+ πn,n ∈ℤ
 ||    2
 ||x = π-+ πm,m ∈ ℤ
 |⌈    12
  x = 5π+ πk,k ∈ ℤ
      12

Все серии решений удовлетворяют ОДЗ.

б) Отберем корни на окружности:

      ππ5π
−−−−−54455πππππ −++ 21212-

 

Таким образом, на данном отрезке лежат корни   59π   55π-  9π
−  12 ;− 12 ;− 2 .

Ответ:

а) π+ πn; π-+ πm; 5π + πk, n,m,k ∈ℤ
2      12      12

 

б)   59π   55π  9π
− -12 ;− 12-;−-2

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#38172

а) Решите уравнение    (      )       (     )
sin  2x+ 5π  − 3cos x− 7π  = 1+ 2sin x.
         2             2

 

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− π;π].
   3

Показать ответ и решение

а) Уравнение равносильно

cos2x+ 3sin x= 1+ 2sin x  ⇔   1− 2sin2x + sinx− 1 =0  ⇔
                      [              ⌊x= πn, n∈ ℤ
                       sinx = 0       |   π
sinx(2sin x− 1)= 0  ⇔    sinx = 12   ⇔   ⌈x= 65π+ 2πn, n ∈ℤ
                                      x=  6 +2πn, n∈ ℤ

б) Отберем корни по окружности:

PIC

Таким образом, указанному отрезку принадлежат корни x= 0; π; 5π-; π.
      6  6

Ответ:

а) πn, π-+ 2πn, 5π + 2πn, n∈ ℤ
    6        6

 

б) 0; π; 5π ; π
   6  6

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#22951

a) Решите уравнение     √-   (7π    )
1−  2sin  2 − x + cos2x= 0.

б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку [      ]
 11π
  2 ;7π .

Показать ответ и решение

а) По формулам приведения и формуле косинуса двойного угла имеем:

   √ -   (7π   )
1 −  2sin  -2 − x + cos2x = 0
     √-
  1+  2 cosx +2cos2x− 1= 0
        2    √-
     2cosx +  2cosx= 0
        (       √ -)
    cosx 2cosx+   2 = 0
pict

б) Рассмотрим корни вида x = π+ πk.
    2  Если они принадлежат отрезку [      ]
 11π;7π ,
  2  то

  11π ≤ x≤ 7π
   2
11π ≤ π+ πk ≤7π
 2    2
11  1         1
2 − 2 ≤ k ≤ 7− 2

   5 ≤k ≤ 6,5

Так как k ∈ℤ,  то k = 5  или k = 6,  значит, корни π-      11π
2 +5π =  2  и π-      13π
 2 + 6π = 2  лежат на отрезке [11π   ]
  2 ;7π .

Рассмотрим корни вида x= 3π + 2πk.
    4  Если они принадлежат отрезку [      ]
  11π-;7π  ,
   2  то

   11π
   -2- ≤ x≤ 7π
11π   3π
-2- ≤ 4-+ 2πk ≤ 7π

11 − 3≤ 2k ≤7 − 3
 2   4          4
    19≤ k ≤ 25-
    8       8

Таким образом, k = 3.  Значит, корень 3π+ 6π = 27π-
4         4  лежит на отрезке [     ]
 11π-;7π  .
  2

Рассмотрим корни вида x= 3π + 2πk.
    4  Если они принадлежат отрезку [      ]
  11π-;7π  ,
   2  то

    11π ≤ x≤ 7π
     2
11π ≤ − 3π + 2πk ≤ 7π
 2      4
 11 + 3≤ 2k ≤7 + 3
  2   4          4
     25      31-
     8 ≤ k ≤ 8
      1      7
     38 ≤ k ≤ 38

Значит, ни один корень вида      3π
x= − 4-+ 2πk  не принадлежит отрезку [11π   ]
 -2-;7π .

Тогда указанному промежутку принадлежат корни 11π
-2-,  13π
-2-  и 27π
-4-.

Ответ:

а) π-      3π
2 + πk; ± 4 +2πk, k ∈ ℤ

 

б) 11π; 13π; 27π-
 2    2    4

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#17140

а) Решите уравнение           3
5sinx − 4sin x= 2 sin(2x).

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку [        ]
 − 7π;−2π .
   2

Показать ответ и решение

а)

      5sinx − 4 sin3x= 2sin(2x)
        (      2 )
    si(nx 5(− 4 sin x)=) 4sin xcosx
sinx  1+ 4 1− sin2x  − 4sinx cosx = 0
  sin x(1+ 4cos2x) − 4 sinxcosx= 0
        (   2           )
    sin x 4cos x − 4 cosx +1 =0
pict

б) Учитываем, что k ∈ ℤ.  Отберем корни из первой серии:

   7π
 − 2  ≤πk ≤ −2π
  − 3,5 ≤k ≤ −2
⌊
  k = − 3, x = −3π
⌈
  k = − 2, x = −2π

Отберем корни из второй серии:

− 7π-≤ π-+ 2πk ≤ −2π
  2   3
    7  1
  − 4 ≤ 6 + k ≤ −1
    23        1
   −12 ≤ k ≤ −16
       k ∈ ∅

Отберем корни из третьей серии:

  7π    π
− 2- ≤− 3-+2πk ≤ −2π
    7    1
  − 4 ≤− 6 +k ≤ −1

    − 19≤ k ≤− 5
      12       6
   k = −1, x= − 7π
               3
Ответ:

а) πk;    π-
± 3 + 2πk,  n∈ ℤ

 

б) − 3π;  − 7π;
  3  − 2π

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#15823

a) Решите уравнение   √-  2( 3π   )
2 3sin    2 +x  + sin2x =0.

б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку [     ]
   3π-
 − 2 ;0 .

Показать ответ и решение

a) Преобразуем левую часть уравнения с помощью формул приведения и синуса двойного угла:

√ -  2
2 3cos x+ 2sinx cosx = 0

Вынесем общий множитель за скобки:

       √-
2cosx⋅( 3 cosx +sinx)= 0

Последнее уравнение равносильно совокупности

⌊ √-
⌈  3cosx+ sinx = 0
  cosx = 0

Решим первое из полученных уравнений при условии cosx⁄= 0 :

√-                   √-
 3cosx+ sinx = 0  ⇔    3 +tgx = 0
      √ -           π-
tg x= −  3  ⇔   x= − 3 +πn, n∈ ℤ

Решим второе уравнение совокупности:

                 π
cosx= 0  ⇔   x = 2 + πm, m ∈ ℤ

 

б) Найдем решения, которые принадлежат промежутку [      ]
 − 3π;0 .
   2

x= − π-+πn :
     3
− 3π ≤ − π-+ πn≤ 0 ⇔   − 7 ≤n ≤ 1
⌊  2    3      ⌊         6      3
 n = 0          x = − π
⌈          ⇒   ⌈     34π
 n = −1         x = −-3

   π-
x= 2 + πm :
  3π   π                        1
− -2 ≤ 2 + πm ≤ 0 ⇔   − 2≤ m ≤ −2
⌊               ⌊
⌈m = −1         ⌈x= − π2
 m = −2    ⇒     x= − 3π-
                      2
Ответ:

a)   π-              π-
− 3 + πn, n∈ ℤ; x = 2 +πm, m ∈ℤ

 

б) − 3π ,− 4π,− π,− π
   2    3   2  3

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#11729

а) Решите уравнение

2sin2-x−-sin-x
 2cosx− √3-  = 0

 
б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку [     ]
 3π-
  2 ;3π .

Показать ответ и решение

а) Перейдем от исходного уравнения к равносильной системе:

pict

б) Отберем корни с помощью неравенств и с учетом k,m ∈ ℤ  :

                                  ⌊
3π-≤ πk ≤ 3π  ⇔    3 ≤ k ≤ 3  ⇔   ⌈k = 2, x = 2π
 2                 2               k = 3, x = 3π

3π-≤  5π-+ 2πm ≤ 3π   ⇔    3≤  5-+ m ≤ 3   ⇔    1≤ m  ≤ 13
 2    6                   4   12      2        3       12

Отсюда            17π-
m  = 1, x = 6 .

Ответ:

а)           5π
πk, k ∈ ℤ; 6-+ 2πm, m ∈ ℤ

 

б) 2π; 3π; 17π-
         6

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Комментарий

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#2714

а) Решите уравнение

           √ -              √-
2cos2x sinx −  3sinx + 2cos2x =  3

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку [ π- 3π)
 − 2;2 .

Показать ответ и решение

а) Найдем ОДЗ: x  — произвольное. Решим на ОДЗ.

Перенесем все слагаемые в левую часть и вынесем общие множители за скобки:

               √ -                              √-
2cos2x(sinx + 1) −  3(sinx+ 1)= 0⇒ (sin x+ 1)(2cos2x−  3)= 0  ⇒

                      ⌊      π
    ⌊                 |x1 = − 2-+2πn, n∈ ℤ
    ⌈ sinx = −1√-       ||x =  π-+ πm, m ∈ℤ
⇒     cos2x = -3-  ⇒   |⌈ 2   12
              2        x3 = − π-+ πk, k ∈ ℤ
                             12

б) Отберем корни с помощью неравенств:

1)

 π-      3π                                    π-
−2 ≤ x1 < 2   ⇒   0≤ n< 1  ⇒   n = 0  ⇒   x= − 2

2)

− π-≤ x2 < 3π ⇒   −-7 ≤m  < 17-  ⇒   m = 0;1   ⇒   x= π-; 13π
 2        2        12       12                       12  12

3)

  π-      3π        -5      19                       -π 11π
− 2 ≤ x3 < 2  ⇒   − 12 ≤k < 12  ⇒   k =0;1  ⇒   x = −12; 12
Ответ:

а) − π+ 2πn, π-+ πm, − π-+ πk, n,m,k ∈ℤ
  2       12        12

 

б) − π-;− π-; π-; 11π; 13π
   2  12 12  12  12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#2480

а) Решите уравнение

cos2x ⋅ (tg2x + 1) =-------1------
                    cos2 x − sin2 x

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку [   π]
 0; --
    2 .

Показать ответ и решение

а) ОДЗ: cos2x − sin2 x ⁄= 0  . Решим на ОДЗ.

По формуле двойного угла для косинуса cos2x − sin2x =  cos2x  , значит:  

                     1           cos2x(sin2x +  cos2x)      1
cos2x (tg2x  + 1) − ------=  0 ⇒  ----------------------−  ------=  0 ⇒
                   cos2x                 cos2x            cos2x  

                                 {                                ( [
cos2x sin 2x + cos2 2x − 1            cos2x sin 2x − sin22x =  0    |{  sin 2x = 0
--------------------------= 0 ⇒                                ⇒     cos 2x − sin 2x = 0    ⇒
         cos 2x                      cos2x ⁄=  0                   |(
                                                                    cos2x ⁄= 0  

( [                     ( ⌊
|{  2x =  πn,n ∈  ℤ      ||{   2x = πn, n ∈ ℤ
   tg2x =  1         ⇒    ⌈       π-
|(                       ||   2x =  4 + πm, m  ∈ ℤ
  cos2x ⁄=  0            ( cos 2x ⁄= 0   

Подставим полученный ответ для 2x  в cos 2x  :
cos(πn ) = ±1  ⁄= 0  – значит ответ                 π
2x =  πn ⇒  x = --n,n ∈ ℤ
                2  нам подходит.

 

                   √ --
   ( π       )       2
cos  --+ πm    = ± ----⁄= 0
     4              2  – значит ответ       π               π   π
2x =  --+ πm  ⇒  x =  --+ --m, m ∈  ℤ
      4               8   2  нам также подходит.

 

б) Отберем корни:

    π     π                                    π
0 ≤ --n ≤ -- ⇒  0 ≤ n ≤ 1 ⇒  n = 0;1 ⇒  x = 0; --
    2      2                                   2

     π   π      π      1         3                  π
0 ≤  --+ --m  ≤ --⇒  − --≤  m ≤  --⇒  m =  0 ⇒  x = --
     8   2      2      4         4                  8
Ответ:

а) π   π    π
--n,--+  --m, m, n ∈ ℤ
2   8    2

 

б) 0; π; π-
   8  2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#2479

а) Решите уравнение sin2 2x + sin4x + cos 4x = 0.

б) Найдите все его корни, принадлежащие интервалу (− 1;0)  .

Показать ответ и решение

а) ОДЗ: x  – произвольное. Решим на ОДЗ.

Воспользуемся формулами двойного угла для синуса sin2α =  2sinα cos α  и косинуса cos2α =  cos2α − sin2α  :  

   2                        2        2              2
sin  2x + 2 sin 2x cos2x + cos 2x −  sin  2x = 0 ⇒  cos 2x + 2 sin 2x cos 2x = 0 ⇒  

                               [
cos2x (cos2x + 2 sin 2x) = 0 ⇒   cos 2x = 0           ⇒
                                cos 2x + 2sin 2x = 0  

⌊                        ⌊      π   π
  2x = π-+ πn, n ∈ ℤ      x1 =  --+ --n,n ∈ ℤ
⌈      2              ⇒  |⌈      4   2
  ctg2x  = − 2             x2 = − 1-arcctg2 + πm, m  ∈ ℤ
                                 2           2   

б) Отберем корни:

1) − 1 < x  < 0 ⇒  − 2-−  1-< n < − 1-
        1         π    2         2  .

 

Т.к.      7    2    4      2   1      15                     π
π <  --⇒  -->  --⇒  − --− --<  − ---⇒  n = − 1 ⇒  x = − --
     2    π    7      π   2      14                     4

 

2) Обозначим arcctg2 =  α  , тогда                   2-   α-       α-
− 1 < x2 < 0 ⇒  − π +  π < m  < π  .

 

Т.к. 3 < π <  4 ⇒  1-< 1-<  1-⇒  − 2-< − 2- < − 1-
              4   π    3      3     π      2

 

Т.к. в первой четверти котангенс убывает и 2 >  1  , то     π         α    1
α < --⇒  0 <  --<  --
    4         π    4

 

Следовательно,   2-     2-  α-     1-
− 3 <  − π + π  < − 4

 

Условно можно записать, что                                      1
− 0,...<  m <  0,...⇒  m  = 0 ⇒  x = − --arcctg2
                                     2

Ответ:

а) π    π     1          π
--+  -n, − -arcctg2 + --m, n, m ∈  ℤ
4    2     2          2

 

б)   π-   1-
− 4 ;− 2arcctg2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#2277

а) Решите уравнение

sin-3x-+-sin-x-=  0
  sin x − 1

б) Найдите наибольший отрицательный корень данного уравнения.

Показать ответ и решение

а) По формуле синуса тройного угла sin 3x = 3 sin x − 4sin3x  , следовательно:

             3                           2
4sin-x −-4sin-x-            4-sin-x(1 −-sin--x)            sin-x(1 −-sin-x)(1 +-sin-x)
   sin x − 1    =  0   ⇔        sinx − 1      = 0   ⇔             sin x − 1         = 0
Данное уравнение равносильно системе:
(                        ⌊
|{ sinx ⁄=  1               x =  πm, m  ∈ ℤ
  [ sin x = 0        ⇔    |
|(                        ⌈       π-
    sin x = − 1            x =  − 2 + 2πn, n ∈ ℤ

б) Отберем корни.

 

πm  < 0   ⇔    m  < 0   ⇒    mmax  = − 1   ⇒    xmax  = − π

 

−  π-+ 2πn <  0   ⇔    n <  1-  ⇒    nmax =  0   ⇒    xmax = − π-
   2                        4                                  2

 

Заметим, что среди найденных в каждой серии наибольших отрицательных корней самым большим является   π
− --
  2  .

Ответ:

а)    π
−  --+ 2πn;  πm,   n, m ∈  ℤ
   2

б)   π
− 2-

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!