Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Рассмотрим оператор
проекции на плоскость .
Найти какой-нибудь его аннулирующий многочлен.
Ясно, что этот оператор удовлетворяет соотношению
потому что спроецировать два раза на плоскость - это то же самое, что спроецировать однократно. Следовательно, многочлен будет аннулировать наш оператор .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В пространстве всех многочленов степени не выше чем 100 рассмотрим оператор
трёхкратного дифференцирования , сопоставляющий каждому многочлену многочлен .
Найти какой-нибудь его аннулирующий многочлен.
Ясно, что оператор трёхкратного дифференцирования на пространстве многочленов не выше 100
удовлетворяет, например, соотношению , поскольку в 34 степени этот оператор
превращается в оператор 102-кратного дифференцирования, а при 102-кратном дифференцировании
любой многочлен степени не выше 100 превращается в ноль, то есть - это нулевой оператор.
Поэтому аннулирующим многочленом исходного оператора будет, например, многочлен
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В пространстве всех многочленов степени не выше найти ядро, базис ядра, образ, базис образа
оператора:
1. , действующего по правилу
2. , действующего по правилу
3. Дифференцирования , действующего по правилу
1. По определению - это все такие многочлены, что
Пусть многочлен имеет вид
Но , то есть
Следовательно,
Но ясно, что это возможно тогда и только тогда, когда все коэффициенты многочлена
равны нулю. То есть сам многочлен
- нулевой.
Таким образом, в ядре лежит только нулевой многочлен.
Следовательно, , , то есть в ядре в качестве
базиса нужно взять пустое множества (по определению это единственный базис нульмерного
пространства), а в образе в качестве базиса сгодится любой базис всего пространства ,
например
2. Пусть многочлен имеет вид
Но , то есть
Следовательно,
Но ясно, что это возможно тогда и только тогда, когда все коэффициенты многочлена
равны нулю.
То есть
Таким образом, в ядре лежат те и только те многочлены
у которых все коэффициенты, кроме , равны нулю, а - любое. То есть это в точности
константы.
Таким образом, , , то есть в ядре в качестве базиса
нужно взять многочлен, которым можно породить все константы, например, многочлен
а в образе в качестве базиса сгодится любой базис, которым можно породить все многочлены вида
Например сгодится базис
3. Пусть многочлен имеет вид
Но , то есть
Следовательно,
Но ясно, что это возможно тогда и только тогда, когда все коэффициенты многочлена
равны нулю.
То есть
Таким образом, в ядре лежат те и только те многочлены
у которых все коэффициенты, кроме , равны нулю, а - любое. То есть это в точности
константы.
Таким образом, , , то есть в ядре в
качестве базиса нужно взять многочлен, которым можно породить все константы, например,
многочлен
а в образе в качестве базиса сгодится любой базис, которым можно породить все многочлены вида
Например сгодится базис
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть - матрица, полученная из матрицы при помощи каких-то ЭП метода Гаусса, скажем, ЭП столбцов. Обязательно ли матрицы и являются матрицами одного и того же оператора, но записанными в разных базисах? (то есть обязательно ли матрицы и - подобны)?
Разумеется, это неверно.
Изменение матрицы линейного оператора по закону
это вовсе не то же самое, что просто элементарные преобразования столбцов матрицы.
Элементарные преобразования - это куда более, так сказать, вольная операция.
ЭП сохраняют только множество решений системы линейных уравнений, в то время как при смене
базиса должны сохраняться определитель, ранг, след, да и на самом деле много чего ещё.
Контрпример построить легко, можно, например, взять единичную матрицу и умножить первый её
столбец на 2. Это вполне себе нормальное элементарное преобразование в методе Гаусса, оно
допустимо.
Однако матрицы и не подобны (например потому, что у
них разные определители).
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Линейный оператор
задан в стандартных базисах матрицей
В выбран новый базис:
Найти матрицу оператора относительно новых базисов, считая, что в базис не меняли.
Запишем матрицу перехода в - для этого нужно по столбцам записать координаты новых базисных векторов
в старом (т.е. стандартном) базисе. Матрица будет такой:
Поскольку базис в не менялся, то в нём матрица перехода, очевидно, единичная.
Таким образом, по формуле матрицы линейного оператора относительно новых базисов получаем, что
новая матрица находится из формулы
Находим обратную матрицу к матрице :
Следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Линейный оператор
задан в стандартных базисах матрицей
В выбран новый базис:
Найти матрицу оператора относительно новых базисов, считая, что в базис не меняли.
Запишем матрицу перехода в - для этого нужно по столбцам записать координаты новых базисных векторов
в старом (т.е. стандартном) базисе. Матрица будет такой:
Поскольку базис в не менялся, то в нём матрица перехода, очевидно, единичная.
Таким образом, по формуле матрицы линейного оператора относительно новых базисов получаем, что
новая матрица находится из формулы
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Верно ли, что для любых двух ненулевых векторов существует такой линейный оператор
что переводит вектор в вектор ?
Это верно. Пусть . Тогда обязательно можно среди векторов стандартного базиса
выбрать такие вектор, что вместе с вектором эта система векторов будет образовывать базис
в .
(Поскольку любую линейно независимую систему векторов можно дополнить до базиса)
Пусть, для простоты, до базиса вектор дополняют до базиса вектора .
То есть набор
- это базис в .
Рассмотрим тогда оператор , переводящий вектор в вектор , а остальные векторы
оставляющий на месте. То есть оператор задается правилами:
Но тогда в базисе этот оператор будет иметь матрицу
Далее, пусть оператор переводит вектор в вектор , а остальные векторы оставляющий на месте. То есть оператор задается правилами:
Но тогда в базисе этот оператор будет иметь матрицу
Но тогда оператор
будет действовать так: он оставляет, разумеется, все на месте, а вектор сначала
переводит в , а затем переводит в вектор .
То есть, итого, он переводит вектор в вектор , как и нужно.
Задаваться он будет, очевидно, в базисе матрицей
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Верно ли, что для любых двух векторов существует такой линейный оператор
что переводит вектор в вектор ?
Это неверно, потому что если взять в качестве , а в качестве , то невозможно будет перевести в никаким линейным преобразованием, потому что нулевой вектор обязан при линейном отображении переходить в нулевой.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Верно ли, что если - линейное отображение и - линейно зависимая система векторов в , то - линейно зависимая система векторов в ?
Это верно. Пусть - линейно зависимы в . Это означает, что найдется такая линейная комбинация
Но тогда применим к этому последнему равенству :
Далее, в силу того, что - линейно, то, во-первых,
А, во вторых, , поэтому получим:
Что в точности означает, что - линейно зависима в .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Верно ли, что если - линейное отображение и - линейно независимая система векторов в , то - линейно независимая система векторов в ?
Это неверно. Возьмём, например, в качестве отображение, которое все вектора пространства отправляет в нулевой вектор. То есть задано правилом
Но тогда, какую бы линейно независимую систему векторов из мы бы ни взяли, после применения к ней мы получим систему
из всех нулей, которая, очевидно, линейно зависима в .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть и - два линейных отображения, имеющих в некотором базисе
матрицы, соответственно, и .
Какую матрицу в том же базисе будет иметь линейное отображение ? А какую - ?
По определению, матрица обладает тем свойством, что для любого вектора выполнено
Аналогично, матрица обладает тем свойством, что для любого вектора выполнено
Но тогда, если , то
То есть, получаем, что матрица
по определению является матрицей отображения . То есть композиции отображений
соответствует умножение матриц.
Аналогично показывается, что отображению будет соответствовать матрица
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Рассмотрим пространство многочленов степени не выше пятой и его базис . Найти матрицы следующих операторов относительно этого базиса:
- 1.
- дифференцирования
- 2.
- сдвига
- 3.
Если , то . и тогда в данном нам базисе
- это вектор .
А сам базис записывается так:
Во всех пунктах оператор будет отображать пространство в то же . То есть
. Следовательно, матрицы этих операторов будут иметь размеры (так как
6 - размерность ).
Известно, что столбцом матрицы будет вектор , где - базисный вектор
пространства. Используем это, чтобы решить задачу:
- 1.
- Оператор дифференцирования:
Для имеем .
А .
То есть получаем:
Отсюда матрица
- 2.
- Оператор сдвига:
Для имеем .
А .
То есть получаем:
Отсюда матрица
- 3.
- Оператор :
для всех
Отсюда матрица
Ответ.
- 1.
- 2.
- 3.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть - базис пространства . Доказать, что всякая линейная функция имеет вид
, где - координаты вектора в базисе , - некоторые фиксированные константы , полностью определяющиеся только самой линейной функцией .
Пусть - линейная функция на , принадлежит , , где - базис
.
Тогда по определению линейной функции:
.
Обозначим - какая-то фиксированная константа.
Получаем, что для любого выполнено:
.
Что и требовалось доказать.
Замечание. Это утверждение на самом деле представляет собой лишь частный случай
теоремы о том, что любое отображение между конечномерными пространствами при
выборе базисов задаётся некоторой матрицей.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В линейном пространстве вещественных матриц порядка рассмотрим функцию следа
(след матрицы - это сумма стоящих на её диагонали элементов). Является ли эта функция линейной?
Согласно определению операции сложения матриц и функции , имеем:
Аналогично для умножения матрицы на число:
Таким образом, функция следа является линейной.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Какие из следующий отображений
пространства всех многочленов степени не выше в себя же являются линейными:
- 1)
- ;
- 2)
- ;
- 3)
- ;
- 4)
- ;
- 5)
- ;
- 1)
- Пользуясь правилом сложения функций (в частности, многочленов) и умножения их на
число, имеем:
следовательно отображение линейно.
- 2)
- Пользуясь правилом дифференцирования суммы функций (в частности, многочленов) и
вынесения константы, имеем:
следовательно отображение линейно.
- 3)
- Рассмотрим , тогда и
следовательно отображение не является линейным.
- 4)
- Рассмотрим отдельно отображение . Пусть
для определенности .
Тогда
т.е. .
Аналогично проверяется второе свойство , что доказывает линейность отображения . Поскольку дифференцирование – линейная операция (см. п. 2)), исходное отображение линейно как композиция линейных.
- 5)
- Пусть
для определенности .
Тогда
т.е. . Аналогично доказывается, что , следовательно отображение линейно.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть - линейное отображение между и , а - линейное отображение между и . Доказать, что тогда их композиция
будет линейным отображением между и .
1. Проверим первую аксиому линейности: для любых :
Где мы воспользовались сначала линейностью , а затем линейностью .
Следовательно, удовлетворяет первой аксиоме линейности.
2. Проверим вторую аксиому линейности: для любых :
Где мы воспользовались сначала линейностью , а затем линейностью .
Обе аксиомы проверены.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Доказать, что если - линейное отображение между линейными пространствами и если - нулевой вектор в пространстве , а - нулевой вектор в пространстве , то обязательно .
Где мы воспользовались первой аксиомой линейности для .
Далее, вычтем из обеих частей вектор .
Получим
Что и требовалось доказать.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Бывает ли такое отображение , что - не линейно, однако для любого и для любого выполнено
?
Да, например, можно взять , заданное формулой .
Тогда для любого и для любого будет выполнено
Однако - не линейно, поскольку , , но
То есть нарушается первая аксиома линейности отображения.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В пространстве многочленов степени не выше трёх найти матрицу перехода от базиса к базису .
По определению матрицы перехода, в ней по столбцам должны быть записаны координаты новых базисных векторов в старом базисе. Сначала явно выразим новый базис через старый:
|
Теперь запишем это в виде матрицы, учитывая порядок базисных векторов:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Линейный оператор в базисе имеет матрицу
Найти его матрицу в базисе
.
Запишем матрицы перехода из стандартного базиса в каждый из данных:
Нам нужна матрица перехода .
Обозначим матрицу оператора в новом базисе за .