Пусть - линейная функция на , принадлежит , , где - базис .

Тогда по определению линейной функции:
.
Обозначим - какая-то фиксированная константа.

Получаем, что для любого выполнено:
.
Что и требовалось доказать.

Замечание. Это утверждение на самом деле представляет собой лишь частный случай теоремы о том, что любое отображение между конечномерными пространствами при выборе базисов задаётся некоторой матрицей.