Раз векторное произведение нам известно, обозначим его за : . Далее, пользуемся аксиомами векторного произведения и тем свойством, что векторное произведение любого вектора с самим собой даёт ноль, поскольку равна нулю площадь соответственного паралеллограмма:

1.

2.

3.

Давай возьмём вектор и умножим его скалярно на вектор . Получим:

Но смешанное произведение равно нулю, если в нем есть два повторяющихся вектора, поскольку смешанное произведение считается как определитель из координат входящих в него векторов, а определитель с двумя равными строчками (или столбцами - неважно) равен нулю.

Таким образом, получаем, что первое и третье слагаемое в последней сумме равны нулю и, тем самым,

Теперь допустим, как и сказано в условии, что

Но тогда получаем, что

(Скалярное произведение нулевого вектора слева с каким угодно вектором справа равно нулю).

Но тогда . А, значит, векторы образуют параллелепипед нулевого объема. Но такое может быть только если они компланарны. Что и требовалось доказать.

Во-первых, очевидно, что искомая площадь равна

C другой стороны, если посчитать половину длины векторного произведения из условия, то получится:

И мы видим, что получилось одно и то же выражение с точностью до изменений направлений векторов на противоположные, что не влияет на длину векторного произведения. Следовательно, мы доказали нашу формулу.

Ясно, что длина половина векторного произведения равна площади треугольника, натянутого на векторы и . Поэтому при работе с площадьми треугольников, натянутых на вектора, мы можем пользоваться всеми известными нам свойствами векторного произведения.

Будем обозначать через площадь треугольника, натянутого на векторы и .

Нарисуем картинку:

Тогда ясно, что если для краткости обозначить допустим, медиану, опущенную из вершины за , а медиану, опущенную из вершины за , то:

Собственно, этого нам и будет достаточно:

Но ясно, что

(площадь получается с отрицательным знаком из-за того, что векторы записаны в другом порядке, и при этом, как мы помним, знак векторного произведения меняется на противоположный)

(это очевидно, такие треугольники схлопываются в точку)

Таким образом,

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим векторы .
, , .

Ясно, что, с одной стороны, объем этого тетраэдра равен (как площади параллелепипеда, натянутого на векторы ). Давайте это вычислим.

Значит, .

С другой стороны, по формуле объема тетраэдра,

Но . ,

. Значит, . Тогда

Ясно, что координаты вектора равны .
Пусть теперь четвертая вершина параллелограмма имеет координаты . Тогда вектор имеет координаты . Но при этом ясно, что вектор и вектор равны - они имеют одинаковую длину и направление:

Следовательно, равны должны быть и их координаты:

Откуда находим, что точка имеет координаты .

Далее, рассмотрим векторы .
, .

Ясно, что, с одной стороны, площадь этого параллелограмма равна .

Давайте это вычислим.

Значит, .

С другой стороны, по формуле площади параллелограмма,

Но . Таким образом,

Осталось лишь что? Правильно - сложить эти три равенства, полученные по формуле Лагранжа. И получить то, что нужно.

По формуле имеем

Действительно,


И мы всё доказали.

Ясно, что площадь треугольника на этих трёх точках будет равна половине площади параллелограмма, построенной на векторах и

и Таким образом,

Сделаем общее наблюдение, что, во-первых, если поменять два вектора в репере местами, то ориентация у этого репера сменится. И если один из векторов репера развернуть в другую сторону (т.е. вместо взять ), то ориентация репера тоже сменится. Это наблюдение и поможет нам решить нашу задачу.

a) Cменили векторы местами, значит будет отрицательная ориентация;
b) Умножили один из векторов на то есть развернули в другую сторону, значит будет отрицательная ориентация;
с) Сменили вектора местами, а затем один из них умножили на то есть мы дважды сменили ориентацию, то есть она не изменилась. Значит, положительная ориентация;
d) Ориентация коллинеарной пары не определена

По определению, единичный вектор с направлением - это вектор, направленный "туда же" куда и но имеющий длину А чтобы сохранить направление вектора но сделать его длину равной нужно просто умножить его на
В нашем случае мы будем умножать на Таким образом, единичый вектор, имеющий то же направление, что и вектор - это вектор (традиционно обозначающийся как ) с координатами

a) По определению скалярного произведения, Таким образом, в данном случае получаем:
b) По тем же соображениям, что и в a) получаем, что в данном случае
c) В случае, когда векторы и ортогональны, их скалярное произведение равно поскольку Т.е. в данном случае
d) По условию, векторы и сонаправлены, т.е. Значит, в данном случае,
e) Аналогично предыдущему пункту. Только теперь векторы и противоположно направлены, а, значит, их скалярное произведение будет произведением их длин со знаком минус (т.к. ). Значит, в данном случае

Скалярное произведение между векторами и заданных своими координатами в ортонормированном репере, считается по формуле :

Следовательно, из определения скалярного произведения легко извлекается, что угол между векторами считается как Далее мы будем пользоваться этой формулой

1) По формуле, которую мы только что получили, надо сначала найти длины векторов и Это мы делаем стандартным образом по теореме Пифагора: ;
Откуда уже найдём искомый угол:
2) Аналогично и во втором пункте мы считаем по формуле:

Для наглядности нарисуем картинку:

Итак, по определению скалярного произведения, Длины сторон и нам известны. А косинус угла между ними находится по формуле из теоремы косинусов:

Следовательно,

Здесь тоже хорошей помощью будет картинка:

Искомая точка, обозначим её через обязана обладать свойством, что:

Проведём через вершину и искомую точку отрезок т.е. точка — это точка пересечения этого отрезка с
Итак, пусть точка делит сторону так, что а точка делит так, что
Тогда, по формулам деления отрезка в данном отношении, получим выражения для радиус-векторов точек и :

Но тогда, поскольку мы хотим, чтобы то должно быть, что: (если три раза прибавить вектор идущий из начала координат в точку )

Таким образом, из этих двух соотношений следует, если мы подставим выражения для и что

Для удобства давайте считать, что начало координат у нас расположено в точке то есть, иными словами, что

Тогда из предыдущего равенства, если мы перенесём всё в одну часть, следует, что:

Однако ж вектора и являются сторонами треугольника. Значит, раз они не лежат на одной прямой, то они линейно независимы. Значит, нулевой вектор через них может выражаться только тривиальным образом. То есть в нашем самом последнем равенства оба коэффициента перед и равны И мы, таким образом, получаем, что Откуда уже нетрудно получить, что а Вспомним, что а точка делит так, что Значит, - середина а - делит сторону в отношении к считая от вершины Следовательно, - точка пересечения медиан.
Ответ: - точка пересечения медиан треугольника

Нарисуем для наглядности картинку:

Нетрудно понять, что если от конца вектора отложить вектор то получится удвоенный вектор То есть, а, значит,
По аналогичным соображениям, получим, что

А если отложить от начала вектора (то есть от конца ) вектор то получится удвоенный вектор Таким образом,
Аналогично,

1) По определению, система векторов, состоящая только из двух векторов является линейно зависимой, если такие, что они не равны одновременно, и, к тому же Но раз и не равны одновременно то кто-то из них не равен Пусть, для определённости, это будет Тогда условие эквивалентно (поделим на ) тому, что Следовательно, вектора и - коллинеарны (возьмём ).
2) Тот факт, что система из трёх векторов линейно зависима, эквивалентен тому, что один из этих векторов, пускай линейно выражается через остальные. То есть, иными словами, такие, что Но это и значит, что лежит в плоскости, натянутой на вектора и Следовательно, будучи приведёнными к одному началу, вектора будут лежать в одной плоскости. То есть они по определению компланарны.
3) У этого факта есть красивое геометрическое доказательство. Попробуйте придумать его самостоятельно. А мы ограничимся вот каким алгебраическим рассуждением. Допустим, мы рассуждаем в трёхмерном пространстве, то есть наши четыре вектора живут в (в случае двумерного пространства доказательство будет аналогичным, и даже более простым.)
Итак, раз мы находимся в трёхмерном пространстве, то там есть базис из трёх стандартных ортов Разложим по этим ортам наши вектора:




Теперь мы хотим понять, являются ли эти вектора линейно зависимыми или нет?

По определению, они являются линейно зависимыми, если такие, что:
Или, если вместо векторов подставить их выражения через базисные, получим:

А теперь, если в этом последнем равенстве привести подобные члены при и записать его в координатах, то получится такая вот система линейных уравнений на :

Осталось только заметить, что такая система всегда имеет решение (и даже не одно) - напоминаем, что все коэффициенты вида нам даны - это коэффициенты векторов а вот являются неизвестными.

Почему же такая система всегда имеет решение? Очень просто - уравнений в ней меньше, чем неизвестных, а в правой части стоят одни сплошные нули. Из курса линейной алгебры вы узнаете, что в таких случаях система всегда имеет решение. Но мы покажем сейчас это наглядно.

Из последнего уравнения выразим ту альфу, перед которой коэффициент не равен (если такой не нашлось, то мы имеем тривиальное уравнение и его можно просто вычеркнуть и работать уже не с последним, а с предпоследним уравнением).
Итак, предположим всё таки, что в последнем уравнении перед какой-то из коэффициент не равен Для определенности, пусть это то есть Тогда имеем:
Далее, подставляя эту в первое и второе уравнение, получаем:

Таким образом, у нас теперь осталось только два уравнения и три неизвестных Проделав абсолютно аналогичный трюк, выразив одну из оставшихся трёх альф, перед которой новый коэффициент после приведения подобных не равен через остальные, мы оставим только уравнение с двумя неизвестными, которое будет иметь вид (пусть эти две неизвестные, для определённости, это и ):

Разумеется, такое уравнение всегда имеет решение, и даже бесконечно много (мы имеем целую "прямую" решений, выражающую через или наоборот).

Возвращаясь к нашему первоначальному вопросу: поскольку система

всегда имеет решение, то это означает, что всегда найдутся такие что: То есть, по определению, cистема из четырёх векторов всегда линейно зависима.

Необходимость. Пусть система векторов является линейно зависимой. Тогда, по определению, такие не все равные одновременно нулю, что Но раз какая-то из то можно записать, во-первых, что: (в сумме векторов в правой части равенства уже отсутствует т.к. мы перенесли его налево). С другой же стороны, раз то можно на это самое поделить обе части равенства и получить выражение для через остальные векторы системы Итак, поделив на получим:

Что и требовалось доказать.

Достаточность. Итак, пусть такой, что он выражается через остальные векторы системы, то есть такие (здесь нет ), что Но тогда, перебросив направо, получим, что Таким образом, мы получили нетривиальное выражение нулевого вектора через систему следовательно, она по определению линейно зависима.

Контрольный вопрос: а почему в последнем равенстве нулевой вектор действительно выражается нетривиальным образом, то есть не через все нулевые коэффициенты?

Доказательство вновь проведём методом пристального вглядывания в картинку.

Таким образом,

Однако это последнее выражение, как ни странно, может быть и отрицательным, если мы поменяем векторы и местами (тогда наша картинка как бы встанет на бок). Поэтому, чтобы у нас площадь не вышла отрицательной, мы ставим модуль и получаем в конечном итоге, что