Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике найти такую точку, чтобы сумма векторов, идущих из этой точки к вершинам треугольника, была равна - нулевому вектору.
Здесь тоже хорошей помощью будет картинка:
Искомая точка, обозначим её через обязана обладать свойством, что:
Проведём через вершину и искомую точку отрезок т.е. точка — это
точка пересечения этого отрезка с
Итак, пусть точка делит сторону так, что а точка делит
так, что
Тогда, по формулам деления отрезка в данном отношении, получим выражения для
радиус-векторов точек и :
Но тогда, поскольку мы хотим, чтобы то должно быть, что: (если три раза прибавить вектор идущий из начала координат в точку )
Таким образом, из этих двух соотношений следует, если мы подставим выражения для и что
Для удобства давайте считать, что начало координат у нас расположено в точке
то есть, иными словами, что
Тогда из предыдущего равенства, если мы перенесём всё в одну часть, следует,
что:
Однако ж вектора и являются сторонами треугольника. Значит, раз они
не лежат на одной прямой, то они линейно независимы. Значит, нулевой вектор
через них может выражаться только тривиальным образом. То есть в нашем самом
последнем равенства оба коэффициента перед и равны И мы, таким
образом, получаем, что Откуда уже нетрудно получить, что
а Вспомним, что а точка делит так, что
Значит, - середина а - делит сторону в отношении к
считая от вершины Следовательно, - точка пересечения медиан.
Ответ: - точка пересечения медиан треугольника
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!