Упорядочим числа по возрастанию

также написано на доске, поэтому

тоже написано на доске, поэтому

Таких чисел всего 2019.

Пример набора из 2021 чисел, где 2019 нулей, а сумма любых двух также написана на доске:

Выберем трех самых слабых детей и двух самых сильных детей. Если три слабых проиграли двум сильным, то наше предположение неверно. Если же три слабых победили, то и любые три ребенка победят двух самых сильных. Тогда и любые три ребенка победят любых двух.

Предположим, что может, то есть распределение по цветам будет таким в некотором порядке:

Тогда будем следить за разностью между количеством серых и количеством бурых хамелеонов. Изначально она равна -2, то есть не кратна 3, а в конце равна 0, 45 или то есть кратна 3.

Заметим, что за каждую операцию разность либо не меняется (если встретились серый и бурый), либо увеличивается на 3 (если встретились бурый и малиновый), либо уменьшается на 3 (если встретились серый и малиновый). Тогда остаток при делении на 3 нашей разности не меняется и не может стать нулем.

Отметим, что за каждые два последовательных прыжка лягушка смещается на нечетное число дециметров.

Разобьем прыжки лягушки на пары: первый и второй, третий и четвертый и так далее. Последний прыжок на 101 дециметр оставим без пары. Тогда мы получим 50 пар прыжков и за каждую пару лягушка смещается на нечетное число дециметр.

Тогда за 50 пар, то есть за четное число пар, лягушка сместится на четное число дециметров. Последним же прыжком лягушка прыгает на нечетное число дециметров, значит, в сумме с предыдущими прыжками лягушка сместится на нечетное число дециметров.

Таким образом, от начального положения лягушка смещается на нечетное число дециметров. Если бы она могла вернуться в начальную точку, то сместилась на 0 дециметров, и это число четное. Значит, лягушка не может оказаться в той же точке, в которой она начала путешествие.

За одно написанное сочинение Гарри съедает нечетное число лягушек. Поэтому чтобы посчитать, сколько всего лягушек съест Гарри за 11 сочинений, нужно сложить 11 нечетных чисел. Их сумма будет нечетна, так как это 5 пар нечетных чисел, дающих в сумме четное число, и еще одно нечетное число без пары. Но число 24 четное, поэтому Гарри не мог съесть в точности 24 лягушки за 11 написанных сочинений.

За одно разученное заклинание ребята получают лягушек. Поэтому общее число лягушек, которые они получат, должно делиться на 10. Но в итоге оказалось, что у ребят лягушек, а это число не делится на 10. Значит, при выдаче лягушек они ошиблись.

Рассмотрим ученика , который ушел раньше всех, и ученика , который пришел позже всех, они должны были встретиться, значит, любой другой ученик присутствовал все время между приходом и уходом . Выбрав произвольный момент на этом временном промежутке, получаем требуемое.

Рассмотрим самую правую верхнюю клетку. Не умаляя общности, скажем, что она принадлежит горизонтальной доминошке. Тогда под этой клеткой должна быть обязательно вертикальная доминошка (иначе мы нашли квадратик ). Следовательно, правее этой доминошки стоит обязательно горизонтальная (как на рисунке). Продолжая рассуждать дальше, получаем такую ”лесенку”, в конце которой обязательно найдется квадратик .

Занумеруем сектора числами от 1 до 6. Допустим, что единицы стоят в первом и третьем секторах, при этом общность решения не теряется.

Сумма чисел, стоящих в нечетных секторах, вначале равна 2, а в четных секторах равна 0. Так как мы добавляем по единице одновременно в сектора с четным и нечетным номерами, то разность между этими суммами по-прежнему будет равна 2, и, следовательно, числа нельзя сделать равными.

Докажем, что количество белых лягушек всегда нечетно. Рассмотрим ход Гермионы, пусть она указала на линию, в которой было четное число белых лягушек. Тогда черных лягушек в этой линии также было четное число, так как в сумме белых и черных лягушек там . Поэтому после перекрашивания белых лягушек снова станет четное число, значит, четность количества белых лягушек на всей доске не изменится. Аналогично если Гермиона указывает на линию, в которой было нечетное число белых лягушек, то и черных лягушек в этой линии нечетное число. Значит, после перекрашивания белых лягушек в этой линии останется нечетное количество, поэтому и на всей доске четность количества белых лягушек не изменится.

Обратим внимание, что изначально количество лягушек во всех кучах делится на 3. Покажем, что это свойство сохранится.

Когда мы делим пополам кучу, в которой количество лягушек было четным и делилось на 3, мы получим две кучи, в которых также количество лягушек делится на 3. Когда мы объединяем две кучи, причем в обеих количество лягушек делилось на 3, то и суммарное число лягушек в новой куче будет делиться на 3.

Значит, ни при каком действии свойство «количество лягушек во всех кучах делится на 3» не пропадает. Поэтому и в конце это свойство будет выполняться.

С другой стороны, так как всего лягушек 51, а ребят трое, то при делении всех лягушек на три равные кучи должно получить три кучи по лягушек. Но число 17 не делится на 3, значит, добиться такого количества лягушек в кучах не удастся.

Раскрасим доску в шахматном порядке так, чтобы все угловые клетки были черными. Тогда черных клеток , а белых — . При этом каждая лягушка при прыжке меняет цвет клетки, на которой она стоит. Поэтому все лягушки с черных клеток окажутся на белых клетках, то есть лягушек окажутся на клетках. Если при этом никакие две лягушки не окажутся в одной клетке, то лягушек не больше, чем клеток, а их . Поэтому какие-то две лягушки обязательно окажутся в одной клетке.

Посмотрим, как меняется общее число камней. При использовании заклинания “Добавляйтус” количество камней увеличивается на и уменьшается на , значит, в итоге увеличивается на . При использовании заклинания “Забирайтус” количество камней уменьшается на и на , то есть в итоге уменьшается на . Числа и делятся на , как и изначальное количество камней . Поэтому у Рона общее число камней всегда будет делиться на . С другой стороны, спрашивается, может ли стать камней . Так как это число на не делится, то добиться указанного числа камней в кучах не получится.

Для любого набора из чисел на доске рассмотрим следующую величину сумму всех чисел, уменьшенную на Проверим, что это — инвариант. В наборе из условия имеем:

Пусть через некоторое количество ходов на доске осталось чисел, при этом их сумма равна Тогда получаем

Если мы заменим какие-то два числа и на число то сумма оставшихся на доске числа станет равна

Тогда имеем:

Значит, после 19 операций, когда на доске останется одно число мы получим

Таким образом, на доске останется число

Рассмотрим три суммы — первого и четвертого чисел, второго и пятого чисел, третьего и шестого чисел. Вначале эти суммы были равны соответственно

Заметим, что при выполнении первой операции, описанной в условии, каждая из этих трех сумм возрастает на 1, а при выполнении второй операции — каждая из сумм уменьшается на 1.

Таким образом, эти три суммы никогда не станут равными. Отсюда следует, что все шесть чисел также не могут стать равными.

После каждого размена одной монеты число монет увеличивается на 4. Так как не делится на 4, то ответ: нет, нельзя.

а) Чтобы игральная карта оказалась рубашкой вверх, необходимо сделать нечетное число поворотов, а для того, чтобы оказаться на прежнем месте — четное. Ответ: нет.

б) Чтобы игральная карта оказалась рубашкоц вниз и вверх ногами, нужно совершить нечетное число пар поворотов по двум разным ребрам, а количество пар таких поворотов, чтобы карта оказалась на прежнем месте — четно. Ответ: нет.

Можно заметить, что при описанных действиях наборы чисел в строках и столбцах не меняются.

Тогда в какой-то строке всегда в некотором порядке будут числа в другой — в третьей —

Во второй таблице это не так, поэтому получить её Илье не удастся.

После каждого хода Юры количество плюсов меняется на 1, а количество минусов либо остается прежним, либо уменьшается на 2. Следовательно, останется минус.

После каждого разлома количество кусочков увеличивается на 1, следовательно, после 1-го разлома их будет 2, после 2-го — 3 и т.д., значит, после 39-го их будет 40 (по одной плитке в каждом).