Разобьем квадрат на 25 квадратиков Предположим, что в каждый квадратик Крош попал хотя бы дважды. Тогда всего выстрелов было не менее а по условию их было 49. Значит, есть квадрат, в который Крош попал не более одного раза. Тогда в этом квадрате как раз и можно выделить уголок из трех клеток, ни в одну из которых Крош не попал.

Заметим, что остатков при делении на 99 всего 99 штук: от 0 до 98.

Если среди данных чисел есть два, которые дают одинаковые остатки при делении на 99, то их разность делится на 99. Предположим, что таких чисел на доске нет. Тогда каждому из 99 остатков соответствует не более одного числа. Но и чисел в таком случае не больше 99, а на доске их 100.

Мы пришли к противоречию, значит, разность между какими-то двумя написанными числами все же делится на 99.

В каждой посчитанной Ёжиком сумме по 10 слагаемых. Минимально возможная такая сумма равна а максимальная равна

Таким образом, всего различных значений для сумм, посчитанных Ёжиком,

Но сумм, которые посчитал Ёжик, двадцать две: 10 по вертикалям, 10 по горизонталям и 2 по диагоналям. Если бы все эти суммы были различны, то у Ёжика получилось бы 22 различных значения, но, как мы поняли выше, различных значений всего 21.

Значит, какие-то две суммы, посчитанные Ёжиком, равны.

Предположим, что ни одно из условий не выполнилось. Тогда количество ног у этих инопланетян принимает не больше 7 различных значений, и каждое значение принимается не больше 7 раз. Тогда всего инопланетян не больше, чем Но по условию их 50. Значит, мы пришли к противоречию, и по крайней мере одно из условий задачи точно выполнится.

Отметим, что разность делится на 10 в том случае, если числа оканчиваются на одну и ту же цифру. Всего есть 10 цифр, и на каждую цифру может оканчиваться только одно из выписанных чисел. Значит, выписанных чисел не больше, чем цифр, то есть не больше 10. Поэтому указанных в условии 11 натуральных чисел не существует.

а) На каждой грани написано одно из пяти чисел: 0, 1, 2, 3 или 4. Но граней всего шесть, и значит, на некоторых двух гранях будут написаны совпадающие числа.

б) Решение такое же, только на каждой грани написано одно из пяти чисел .

Всего существует три различных остатка при делении на 3 — 0, 1 или 2. Так как , то по обобщенномау принципу Дирихле (остатки — это клетки, числа — это кролики) найдется как минимум одна клетка, в которой будет находиться по крайней мере кролика. То есть найдется три числа, имеющие одинаковый остаток при делении на 3. Следовательно, их сумма будет делиться на 3.

Правильный шестиугольник можно разбить на шесть правильных треугольников со стороной 1. Тогда хотя бы в одном из этих треугольников будет лежать две отмеченные точки. Расстояние между ними не будет превосходить стороны треугольника.

а) Действительно, предположим, что в каждой из аудиторий сидят не более двух учеников из этой школы. Но тогда во всех девяти аудиториях сидят не больше таких школьники — противоречие. Значит, в какой-то аудитории сидят по крайней мере три ученика из этой школы.

б) Нет, неверно. Например, все эти школьники могли оказаться в одной аудитории.

В условии требуется, чтобы значения сумм ( строк, столбцов и две диагонали) были различны. Каждая из этих сумм состоит из слагаемых, принимающих одно из значений , , . Поэтому каждая из сумм принимает целочисленное значение в диапазоне от до . Всего возможных значений сумм — . Поскольку , какие-то две из сумм обязательно принимают равные значения.

Пронумеруем людей от 1 до 100 и разобьем на пары: , , , . Тогда в каждой паре находятся люди, сидящие диаметрально противоположно друг другу. Всего таких пар — 50 штук, а мужчин больше 50. Следовательно, по принципу Дирихле найдутся хотя бы два мужчины, номера которых оказались в одной паре. Значит, они сидят напротив друг друга.

Сумма трех чисел, каждое из которых может равняться или , может равняться числам — всего семь разных сумм. Следовательно, варианты суммы – это клетки, суммы по строкам, столбцам или диагоналям — кролики. Тогда по принципу Дирихле, расположить 8 кроликов по 7 клеткам можно только таким образом, чтобы по крайней мере в одной клетке было хотя бы два кролика.

Разобьем остатки при делении на 100 на 50 групп: , , , , , . Так как чисел больше 50. найдутся два числа, которые попадут в одну группу. Следовательно, либо их сумма (если это первые 49 пар) будет делиться на 100, либо их разность и сумма будет делиться на 50, значит, выражение будет делиться либо на 100, либо на

Рассмотрим 1988 степеней двойки. Тогда среди них есть как минимум два числа, имеющие одинаковые остатки при делении на 1987 (так как таких остатков всего — 1987 штук — это 0, 1, , 1986). Следовательно, разность двух найденных чисел с одинаковыми остатками при делении на 1987 делится на 1987.

Пусть в компании человек. Тогда у каждого человека имеется от до друзей. Таким образом, количество друзей может принимать различных значений: . Поэтому если бы человек имели различное число друзей, то в компании присутствовало бы по одному человеку, имеющему друзей. С другой стороны, если есть человек, имеющий друга, то он дружит со всеми, следовательно, нет человека, который имеет 0 друзей. Противоречие.

Всего существует 11 остатков при делении на 11: 0, 1, , 10. Пусть остатки — это клетки, а числа — это кролики. Тогда по принципу Дирихле, так как кроликов больше клеток, найдется хотя бы одна клетка, в которой будет по крайней мере два кролика.

Пусть все собрали разное количество орехов. Тогда всего собрано не менее орехов, что больше 200.

Если людей, родившихся в один месяц, не более трех, то всего не более человек.

В 9 кучках, в которых количество шариков попарно различныро, суммарно как минимум шариков, что меньше 44.

У нас имеется 16 клеток, где каждая соответствует возрасту от 20 до 35, и 20 туристов-кроликов, которые требуется рассадить по клеткам. Так как кроликов больше, чем клеток, то по принципу Дирихле найдется хотя бы одна клетка, в которой будет сидеть по крайней мере два кролика.