Показательные: сведение к квадратному или кубическому уравнению —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Показательные: сведение к квадратному или кубическому уравнению

Тема 13. Решение уравнений

13.08 Показательные: сведение к квадратному или кубическому уравнению

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2785

а) Решите уравнение

22x+1 − 3 ⋅ 2x+2 + 14 = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[1;3].$

Показать ответ и решение

а) Так как $22x+1 = 22x ⋅ 21 = (2x )2 ⋅ 2$ , $2x+2 = 2x ⋅ 22$ , то при помощи замены $2x = t$ , $t > 0$ , уравнение сведется к виду:

-- -- 2t2 − 12t + 14 = 0 ⇔ t2 − 6t + 7 = 0 ⇔ t = 3 − √2, t = 3 + √ 2 1 2

Оба корня положительные, следовательно, подходят под условие $t > 0$ . Сделаем обратную замену:

⌊ x √ -- ⌊ √ -- 2 = 3 − 2 x = log2(3 − 2) ⌈ x √ -- ⇔ ⌈ √ -- 2 = 3 + 2 x = log2(3 + 2)

б) Отберем корни. Если $x ∈ [1;3]$ , то $t ∈ [2;8]$ .
Так как $1,4 < √2-< 1,5$ , то $t ∈ (1;2) 1$ , $t ∈ (4;5) 2$ . Следовательно, только $t 2$ входит в отрезок $[2;8]$ . Значит, только корень $√ -- x = log2(3 + 2)$ входит в отрезок $[1;3]$ .

Ответ:

а) $√ -- log2(3 ± 2)$

б) $-- log (3 + √ 2) 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#2537

а) Решите уравнение

9x+1 − 2 ⋅ 3x+2 + 5 = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $( ) log 3;√5-- . 3 2$

Показать ответ и решение

а) Так как $ax+y = ax ⋅ ay$ , то уравнение можно переписать в виде:

9 ⋅ 9x − 2 ⋅ 32 ⋅ 3x + 5 = 0

Так как $x x 2 9 = (3 )$ , то заменой $x 3 = t$ , $t > 0$ , данное уравнение сводится к квадратному:

2 9t − 18t + 5 = 0

Корнями этого уравнения будут $5- t1 = 3$ и $1- t2 = 3$ . Следовательно:

1) $3x = 1- ⇔ x = − 1 3$

2) $3x = 5- ⇔ x = log 5- 3 3 3$ .

б) Отберем корни.
Так как $log3 32 > log31 = 0$ , то $log3 32 > − 1$ , следовательно, $x = − 1$ не входит в промежуток.
Заметим, что $log 3 < log 5 32 3 3$ , так как $3< 5 2 3$ и основание логарифма $3 > 1$ .
Следовательно, осталось сравнить $5 log3 3$ и $√ -- 5$ .
Очевидно, что, если $a < b$ , то $a b 3 < 3$ .
Воспользуемся этим свойством:

5 √ -- log3 -- ∨ 5 35 √- 3log3 3 ∨ 3 5 √- 5- ∨ 3 5 3 √ - √- 5 ∨ 3 ⋅ 3 5 = 31+ 5

Так как $√ -- 1 + 5 > 2$ , то $√- 31+ 5 > 32 = 9$ , следовательно, между данными числами должен стоять знак $<$ .
Таким образом, число $5 log3 3$ больше левого конца промежутка и меньше правого, следовательно, лежит в данном промежутке.

Ответ:

а) $5 − 1; log3 -- 3$

б) $5 log3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#42309

а) Решите уравнение $4x+ √x− 1,5+ 3⋅4x− √x+1,5− 4x+1 = 0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[2;6].$

Показать ответ и решение

а) Сделаем замену $2x+√x−1,5 = t$ , $2x−√x+1,5 = p$ , тогда уравнение примет вид

t2+ 3p2− 4tp =0 |:p2 > 0 tp⇔=y y2− 4y+ 3= 0 ⇔ y =1;3

Тогда

t x+√x−1,5−x+√x−1,5 2√x− 3 y = p = 2 = 2

⌊ √ - ⌊ ⌊ 22 x−3 = 1 2√x-− 3= 0 x = 9 |⌈ √ - ⇔ ⌈ √ - ⇔ |⌈ 4 22 x−3 = 3 2 x− 3= log23 x = log2424

б) Поскольку $2 < 9< 6, 4$ то первый корень принадлежит отрезку $[2;6].$ Сравним второй корень с правым концом этого отрезка:

log 24⋅log 24 ∨6 4 4 ( log24)log424 6 4 4 ∨4 24log424 ∨46 24log424 < 25log432 = 52⋅52 = 55 = 3125 < 4096 =46

Тогда с учетом $log2424 > log2416= 4$ получаем, что второй корень также лежит в указанном отрезке.

Ответ:

а) $9;log224 4 4$

б) $9 2 4;log4 24$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#42154

а) Решите уравнение $3⋅9x+1− 5⋅6x+1 +4x+1,5 = 0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ π- π] −2 ;2 .$

Показать ответ и решение

а) Уравнение равносильно

27⋅9x− 30⋅6x+ 8⋅4x = 0 |:4x > 0 ⇔

(3)2x ( 3)x ⇔ 27⋅ 2 − 30 ⋅ 2 +8 = 0

Сделаем замену $(3)x 2 = t> 0,$ тогда уравнение примет вид

27t2− 30t+ 8= 0

Найдем дискриминант:

2 2 2 2 D = 30 − 4⋅27⋅8= 3 ⋅2 ⋅(25− 24) =6

Следовательно, корни равны

30−-6 4 30+-6 2 t= 2⋅27 = 9, t = 2⋅27 = 3

Сделаем обратную замену:

⌊ (3)x 4 ⌊ | 2 = 9 x = −2 |⌈ ( )x ⇔ ⌈ 3 = 2 x = −1 2 3

б) Сравним корень $x= − 2$ с левым концом указанного отрезка:

− 3,2 − π 3,1 <π < 3,2 ⇒ −2< --2- < -2-

Тогда $x = −2$ не принадлежит отрезку $[ π π ] − 2;2- .$

Сравним корень $x= −1$ с концами указанного отрезка:

−π-< −3,1 <− 1< 0< π- 2 2 2

Тогда $x = −1$ принадлежит указанному отрезку.

Ответ:

а) $− 2;− 1$

б) $− 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#40656

а) Решите уравнение $8x+ 8= 3⋅4x+ 3⋅2x+1.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[1;e].$

Показать ответ и решение

а) Сделаем замену: $t =2x,$ $t >0 :$

t3+ 8= 3t2 +6t ⇔ (t+ 2)(t2 − 2t+ 4)= 3t(t+ 2) ⇔

⇔ (t+ 2)(t2− 5t+ 4)= 0 ⇔ t= −2;1;4

С учетом ограничения на $t$ сделаем обратную замену:

⌊ 2x = 1 ⌈ x ⇔ x= 0;2 2 = 4

б) Запишем цепочку неравенств:

0 < 1< 2< 2,7< e

Отсюда следует, что лишь корень $x= 2$ лежит в указанном отрезке.

Ответ:

а) $x ∈ {0;2}$

б) $x ∈{2}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#40654

а) Решите уравнение $8x− 3⋅4x− 2x+ 3= 0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[3 ] 2;2 .$

Показать ответ и решение

а) Сделаем замену $t= 2x,$ $t> 0.$ Тогда уравнение примет вид

t3− 3t2− t+ 3= 0 ⇔ (t− 3)(t2− 1) =0 ⇔ t=±1; 3

С учетом ограничения на $t$ сделаем обратную замену:

⌊ 2x = 1 ⌈ x ⇔ x =0;log23 2 = 3

б) Сравним полученный логарифм с левым концом указанного отрезка:

3 log23 ∨ 2 log29 ∨3 log29 ∨log28

Таким образом, $log 3> 3 , 2 2$ но также $log 3 < log 4= 2, 2 2$ следовательно, $x = log23$ лежит в указанном отрезке. При этом $x = 0$ не лежит в этом отрезке.

Ответ:

а) $x ∈ {0;log 3} 2$

б) $x ∈{log23}$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#18559

Решите уравнение: $4 ⋅25x+0,5 − 60⋅5x−1 + 1 = 0$
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− 3;− 1]$ .

Показать ответ и решение

$pict$

Пусть $x t = 5$ , тогда, сделав замену, получим

$pict$

Сделаем обратую замену:

$pict$

б) Проверим принадлежит ли каждый из корней отрезку $[− 3;− 1]$ . Сравним $− 1$ и $− log5 2$ :

$pict$

Получаем $− log52 > − 1$ , следовательно этот корень вне промежутка. Далее сравним $− 1 − log52$ и $− 1$ :

$pict$

Далее, если $− 1 − log52 > − 3$ , то это число будет в промежутке.

$pict$

Тогда $− 1 − log52$ пишем в ответ.

Ответ:

a) $− 1− log 2;− log 2 5 5$
б) $− 1− log 2 5$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#1204

а) Решите уравнение $27x− 4⋅3x+2 +35−x =0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[log7 4;log7 16].$

Показать ответ и решение

а) Запишем слагаемые левой части исходного уравнения в виде

x x3 x+2 x 2 5−x 5 x 27 = (3 ), 3 = 3 ⋅3, 3 = 3 :3

Тогда после замены $3x = t, t> 0,$ уравнение примет вид:

5 t3− 4⋅9⋅t+ 3-= 0|⋅t> 0 ⇔ t4− 36t2+ 35 = 0 t

Данное уравнение является биквадратным и решается как квадратное относительно $t2.$

Найдем дискриминант:

2 5 4 4 √ -- 2 D = 36 − 4⋅3 = 3 ⋅4(4 − 3)= 3 ⋅4 ⇒ D = 3 ⋅2= 18

Найдем корни:

2 2 t = 27, t =9

Тогда с учетом $t> 0$ получаем решения:

t= 3√3, t= 3

Сделаем обратную замену:

x = log 3√3 = log (332) = 3, x = log 3 =1 3 3 2 3

б) Отберем корни. Так как $y = log7x$ — возрастающая функция, то чем больше $x,$ тем больше $y.$ Тогда имеем:

log74 < log77= 1 < log716

Значит, $x= 1$ лежит в отрезке $[log 4;log 16]. 7 7$

Далее представим $3 x = 2$ в виде логарифма: $3 √ - 2 = log77 7.$

Сравним $√- 7 7$ с числом 16:

7√7 ∨ 16 ⇔ (7√7)2 ∨ 162 ⇔ 343 ∨ 256

Таким образом, имеем

7√7-> 16 ⇔ log (7√7)> log 16 7 7

Тогда корень $x = 3 2$ не входит в отрезок $[log74;log716].$

Ответ:

а) $3 1;2$

б) $1$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#1203

а) Решите уравнение $16x+0,25− 41⋅4x−1+ 9= 0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $(0;1).$

Показать ответ и решение

а) Перепишем левую часть уравнения в виде:

16x⋅160,25− 41⋅4x⋅4−1+ 9= 42x⋅24⋅0,25− 41 ⋅4x ⋅ 1+ 9= 2 ⋅42x− 41 ⋅4x+ 9 4 4

Тогда уравнение после замены $4x = t$ примет вид квадратного уравнения:

2 41 2 2t − 4 t+9 = 0 ⇔ 8t− 41t+ 36= 0

Найдем дискриминант:

D = 412 − 4 ⋅8⋅36= 1681 − 1152 =529= 232

Следовательно, $t1 = 4,$ $t2 = 9. 8$ Так как показательная функция всегда положительна, то $t> 0,$ значит, оба корня нам подходят:

⌊ x ⌊ |4 = 4 |x = 1 ⌈ x 9 ⇔ ⌈ ( 9) 3 4 = 8 x = log4 8 = log49− log22(2 )= log49 − 1,5

б) Отберем корни. Видно, что $x= 1$ не входит в промежуток. Предположим, что $(9) log4 8$ входит в промежуток $(0;1) :$

( 9) 0 < log4 8 < 1 ( ) log41 <log4 9 < log44 8 9 1 < 8 <4

Полученное неравенство верно, следовательно, $(9) log4 8 ∈ (0;1).$

Ответ:

а) $1;log 9 − 1,5 4$

б) $log49− 1,5$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#40663

а) Решите уравнение

4√x+1,5− 13 ⋅2 x√−x1−1 + 20= 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $(0;1).$

Показать ответ и решение

а) Найдем ОДЗ уравнения: $x≥ 0,x⁄= 1.$ Сделаем замену $t= 2√x,$ $t> 0.$ Тогда, так как $√x−1 √- x−1 = x+ 1$ , то уравнение примет вид

41,5t2− 26t+ 20 =0 ⇔ 2 4t − 13t+10 =0 ⇔ t= 5;2 ⇒ 4 √x-= log2 5;1 4

Тогда с учетом ОДЗ $x = log25. 24$

б) Так как $5 log24 ∈(0;1)$ , то корень $25 x= log24$ лежит на указанном промежутке.

Ответ:

а) ${ } x ∈ log25 24$

б) ${ } x ∈ log22 5 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#40662

а) Решите уравнение $22x+1− 15⋅2x+ 10= 6|2x−1 − 1|.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− 2;− 1].$

Показать ответ и решение

а) Сделаем замену $t= 2x,$ $t> 0:$

2t2 − 15t+ 10= |3t− 6| ⇔ ( ⌊ |||{ ⌈3t− 6= 2t2− 15t+ 10 3t− 6= −2t2+ 15t− 10 ⇔ |||( 2 2t− 15t+ 10≥ 0 (| ⌊t= 1 ||||| || { |⌈t= 8 ||| t= 3± √7 |||( ( 15−√145] [ 15+√145 ) t∈ −∞; --4--- ∪ --4--;+ ∞

Оценим выражения с корнями:

Сравним $3 − √7$ и $1 : 2$
$√- 1 3− 7 ∨2 3− 0,5∨ √7 6,25 < 7$
Значит, $3 − √7 < 1. 2$
Сравним $15 − √145 ---4-----$ и $1 2 :$
$√ --- 15-−--145∨ 1 4 2 15− √145∨ 2 √--- 13∨ 145 169> 145$
Значит, $√--- 15-−--145> 1 . 4 2$
Сравним $√--- 15-−--145- 4$ и $1 :$
$√--- 15−--145- 4 ∨ 1 15− √145∨ 4 √--- 11∨ 145 121< 145$
Значит, $--- 15-−-√145- 4 < 1.$
Сравним $√ - 3+ 7$ и 6. Очевидно, что $√ - √ - 3 = 9> 7,$ значит, $√- 3+ 7 < 6.$
Сравним $√--- 15-+--145- 4$ и $7 :$
$15+ √145 ---4----∨ 7 √ --- 15+ 145 ∨28 √145-∨13 145< 169$
Значит, $√--- 15-+--145< 7. 4$

Таким образом,

√- 1 15− √145- 3− 7< 2 <----4----< 1 √ --- 3+ √7 < 6< 15-+--145< 7< 8 4

Тогда $t= 1$ и $t= 3+ √7$ не удовлетворяют неравенству системы, а $√ - t= 3 − 7$ и $t= 8$ удовлетворяют.

Отсюда $( √ -) x= log2 3 − 7$ и $x= 3.$

б) Так как $− 2 < −1< 3,$ то корень $x= 3$ не лежит в отрезке $[−2;−1].$

По пункту а) имеем $3− √7 < 12.$ Сравним $3− √7$ и $14 :$

√- 3− 7 ∨ 1 √4- 3− 1 ∨ 7 4 √ - 11 ∨ 7 4 121 ∨7 16 121∨ 7⋅16 121> 112

Значит, $3− √7> 1. 4$ Тогда

1 < 3− √7 < 1 ⇒ − 2< log (3− √7)< −1 4 2 2

Тогда корень $√- x = log2(3 − 7)$ лежит в указанном отрезке.

Замечание.

Отобрать подходящие решения совокупности в пункте а) можно непосредственной подстановкой в квадратное неравенство системы.

Ответ:

а) $x ∈ {log (3− √7-);3} 2$

б) $√- x ∈{log2(3− 7)}$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2