Логарифмические: сведение к простейшему уравнению —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Логарифмические: сведение к простейшему уравнению

Тема 13. Решение уравнений

13.09 Логарифмические: сведение к простейшему уравнению

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#17168

а) Решите уравнение $√ -2---- log3 x − 2x= 2.$

б) Найдите все корни данного уравнения, принадлежащие отрезку $[− 8;11].$

Показать ответ и решение

а) По определению логарифма имеем:

∘ -2---- log3 x − 2x = 2 ∘x2-− 2x = 32 x2− 2x = 92 2 x − 2x− 81= 0 √ -- x= 1± 82

б) Очевидно, что

√-- √ -- 1+ 82> − 8, 1− 82 < 11

Далее имеем:

$pict$

Таким образом, корень $√ -- 1 + 82$ попадает в требуемый промежуток.

Кроме того, имеем:

$pict$

Таким образом, корень $√ -- 1 − 82$ не попадает в требуемый промежуток.

Ответ:

а) $√ -- 1 ± 82$

б) $√ -- 1+ 82$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#11885

Решите уравнение $log x2 = log (6x − 8) x−1 x−1$

Показать ответ и решение

$pict$

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#75431

а) Решите уравнение

--x2 −-4 2 ln(x− 1) = (x − 6)⋅logx−1 e+ 1.

б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $[eπ − 1;π2].$

Показать ответ и решение

а) Запишем ограничения, определяющие ОДЗ:

( |{ ln(x − 1) ⁄= 0, x− 1 > 0, |( x− 1 ⁄= 1.

(| {x − 1 ⁄= 1, |(x > 1, x ⁄= 2.

( |{ x ⁄= 2, x > 1, |( x ⁄= 2.

Таким образом, $x ∈ (1;2)∪ (2;+ ∞).$

Используя формулу перехода к новому основанию $--1- loga c = logca,$ преобразуем правую часть уравнения. Напомним, что $lnx$ — это натуральный логарифм $x,$ то есть логарифм $x$ по основанию $e.$

x2 − 4 1 -------- = (x2 − 6)⋅------- + 1, ln(x − 1) ln(x− 1)

-x2 −-4- (x2 −-6) ln(x−-1) ln (x − 1) = ln (x − 1) + ln(x− 1),

x2 − 4 = x2 − 6+ ln(x− 1),

2 = ln(x− 1),

lne2 = ln(x − 1),

e2 = x − 1,

x = e2 + 1.

б) Единственный корень уравнения, левая и правая граница отрезка — иррациональные числа. Проведём необходимые сравнения:

Предупреждение: без данных сравнений даже за верный ответ поставят 0 баллов как за недостаточно обоснованное решение.

eπ− 1 ≤ e2 + 1 ≤ π2,

2 2 eπ ≤ e + 2 ≤ π + 1.

Перейдём к системе. Рассмотрим, верна ли она при найдённом значении $x$ :

{e π ≤ e2 + 2, 2 2 e + 2 ≤ π + 1.

Заметим, что $2,7 ≤ e ≤ 2,8$ и $3,1 ≤ π ≤ 3,2,$ откуда имеем:

{ eπ < 2,8 ⋅3,2 = 8,96 < 9,29 = 2,72 + 2 < e2 + 2, 2 2 2 2 e + 2 < 2,8 + 2 = 9,84 < 10,61 = 3,1 + 1 < π + 1.

Система верна, следовательно, корень лежит на отрезке.

Ответ:

а) $e2 + 1,$
б) $e2 + 1$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#72971

а) Решите уравнение

x x log3(9 + 9)= x+ log3 (28− 2⋅3 ).

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− √2;√2].$

Показать ответ и решение

а) Воспоьзуемся формулами для логарифмов:

x x x log3(9 + 9)= log33 + log3(28− 2⋅3 ),

x x x log3(9 + 9)= log3(3 (28 − 2 ⋅3)),

2x x 2x 3 + 9= 28⋅3 − 2⋅3 ,

2x x 3⋅3 − 28⋅3 + 9= 0.

Замена $t= 3x :$

3t2− 28t+9 = 0,

3t2− 28t+9 = 0,

решая квадратное уравнение, находим его корни: $t1 = 13$ и $t2 = 9.$

Обратная замена:

1) $1 t1 = 3,$ $x −1 3 =3 ,$ $x = −1;$

2) $t2 = 9,$ $x 2 3 = 3 ,$ $x =2.$

Проверим полученные корни, подставив их в начальное уравнение:

При $x= − 1:$

− 1 −1 log3(9 +9) =− 1+ log3(28− 2⋅3 ),

( ) log3 1 + 9 = log3 1+ log3(28− 2⋅3−1), 9 3

82 1 ( 2) log3 9-= log33 + log3 28 − 3 ,

82 1 82 log3 9 = log33 + log3 3 ,

( ) log3 82 =log3 1 ⋅ 82 , 9 3 3

log3 82= log3 82, 9 9

получили верное числовое равенство, следовательно, $x = −1$ является корнем уравнения.

При $x= 2 :$

log3(92+ 9)= 2+ log3(28− 2⋅32),

log (81+ 9) =log 9+ log (28− 18), 3 3 3

log 90= log 9 +log 10, 3 3 3

log390= log3(9 ⋅10),

log390= log390,

получили верное числовое равенство, следовательно, $x = 2$ является корнем уравнения.

б) Отберем корни на промежутке $√- √- [− 2; 2]:$

$√- √- x= − 1∈ [− 2; 2],$ так как $√- √- √- − 2< − 1 <0 < 2.$

$√ -√ - x= 2 ∕∈[− 2; 2],$ так как $√ - 2 > 2.$

Ответ:

а) $x = −1;x= 2;$

б) $x =− 1$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#72970

а) Решите уравнение

2 2 log3(x− 2)+ log3(x− 4) =0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[π;4,5].$

Показать ответ и решение

а) Найдем ОДЗ:

{x − 2 > 0 2 (x− 4) > 0

{ x> 2 x⁄= 4

Итоговая ОДЗ: $x∈ (2;4)∪ (4;+ ∞).$

Внесем 2 в степень логарифма и запишем сумму логарифмов, как логарифм от произведения подлогарифмических выражений:

2 2 log3(x− 2) +log3(x − 4) = 0,

log3((x− 2)2(x− 4)2)= log31,

(x− 2)2(x− 4)2 = 1,

(x − 2)2(x − 4)2− 1 =0.

Применим формулу разности квадратов:

((x − 2)(x− 4)− 1)((x− 2)(x− 4)+ 1)= 0,

(x2− 6x+ 8− 1)(x2− 6x+ 8+ 1)= 0,

(x2− 6x+ 7)(x2− 6x+ 9)= 0,

(x2− 6x+ 7)(x− 3)2 = 0.

Получаем два случая:
1) $x2 − 6x +7 = 0$ и 2) $(x− 3)2 = 0.$

Корнями первого уравнения являются числа $√ - x1 = 3+ 2$ и
$√ - x2 =3 − 2.$ Корнем второго уравнения является число $x3 = 3.$

Проверим, входят ли найденные корни в ОДЗ.

$√ - x1 = 3+ 2> 4,$ так как $√- 2 >1,$ следовательно, $x1 ∈$ ОДЗ.

$x = 3− √2. 2$ Сравним $3 − √2$ и $2 :$

√- 3− 2 ∨2,

√ - − 2∨ −1,

√ - √ - − 2< − 1,

√- 3− 2< 2,

поэтому $x2$ не входит в ОДЗ и является посторонним корнем.

$x = 3 3$ очевидно входит в первый интервал, определяющий ОДЗ.

б) Отберем корни на промежутке $[π;4,5].$

Мы знаем, что $3 < π < 4,$ тогда $x3 = 3 < π,$ поэтому $x3 ∕∈ [π;4,5].$

Корень $x1 = 3+ √2> 4 >π$ , так как $√2> 1.$

Тогда сравним $x2$ и $4,5:$

3+ √2-∨4,5,

√2∨ 1,5,

2< 2,25,

поэтому $√ - 3+ 2< 4,5,$ следовательно, $√- 3+ 2 ∈[π;4,5].$

Ответ:

а) $√- x = 3;x = 3+ 2;$

б) $√ - x =3 + 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#72969

Решите уравнение

1 3 lg(5− x)− 3 lg(35− x) =0.

Показать ответ и решение

Внесем $13$ внутрь логарифма и перенесем второй логарифм в правую часть:

lg(5− x)= lg(35− x3)13,

3∘ -----3-- lg(5− x)= lg (35 − x ),

3∘ -----3-- 5 − x = (35− x ),

3 3 (5 − x)= 35− x ,

2 3 3 125− 75x+ 15x − x = 35− x ,

2 15x − 75x+ 90= 0,

2 x − 5x+ 6= 0.

По теореме Виета корнями являются: $x1 =2$ и $x2 = 3.$

Так изначально мы не накладывали никаких условий, то необходимо провести проверку полученных корней:

1.

Подставим $x1 = 2$ в исходное уравнение:

lg(5− 2)− 1lg(35− 23) =0, 3

lg3− lg(35 − 8)13 = 0,

lg3 − lg3= 0.

0= 0.

Получили верное числовое равенство, следовательно, $x = 2 1$ является корнем нашего уравнения.

2.

Подставим $x2 = 3$ в исходное уравнение:

1 3 lg(5− 3)− 3 lg(35− 3) =0,

13 lg 2− lg(35− 27) = 0,

lg2 − lg2= 0,

0= 0.

Получили верное числовое равенство, следовательно, $x = 3 2$ является корнем нашего уравнения

Ответ:

$x = 2;x = 3$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#72968

Решите уравнение

log9(x +1)− log9(1− x)= log9(2x+ 3).

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

(| x+ 1> 0 { 1− x> 0 |( 2x+ 3> 0

( |{x > −1 |(x < 1 x > −1,5

Итоговая ОДЗ: $x∈ (−1;1)$

Так как в ОДЗ мы определили, что $x= 1$ не входит в область допустимых значений, т.к $x$ строго меньше 1, то мы можем преобразовать левую часть уравнения, не боясь потерять корни:

log9 x+-1= log9(2x+ 3), 1− x

x-+1- 1 − x = 2x+ 3,

x-+-1+-(2x-+3)(x−-1)= 0, 1 − x

2 x-+1-+-2x--+3x-− 2x-− 3 = 0. 1 − x

С учетом, что $x⁄= 1,$ знаменатель можно отбросить:

2x2 +2x − 2 = 0,

x2 +x − 1 = 0.

Посчитаем дискриминант: $D = 1+ 4= 5,$ $√ -- √ - D = 5,$
$√- x1 = −1+--5-, 2$
$−1− √5 x2 = ---2---.$

Для определения принадлежности корней к ОДЗ сравним:

1.

$x1$ и $1:$

−1 + √5 ---2--- ∨1,

√- −1 + 5∨ 2,

√ - 5∨ 3,

$5< 9,$ откуда $0< −1+√5 < 1, 2$ следовательно, $x 1$ входит в ОДЗ и является корнем нашего уравнения.

2.

$x2$ и $− 1:$

√- −-1−--5 ∨− 1, 2

− 1− √5 ∨− 2,

√ - − 5∨ −1,

$− √5 < −√1,$ откуда $−1−√5 < −1, 2$ следовательно, $x 2$ не входит в ОДЗ и является посторонним корнем.

Ответ:

$√- -5-− 1 x = 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#72967

Решите уравнение

log5(3x− 11)+ log5(x− 27)= 3+ log58.

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

{3x − 11 > 0 x − 27 > 0

{ 11 x > 3 x > 27

Итоговая ОДЗ: $x∈ (27;+ ∞)$

Для решения уравнения преобразуем его:

log5((3x− 11)(x − 27))= log5125+ log5 8,

log5((3x− 11)(x− 27))= log5(125⋅8),

(3x − 11)(x − 27) =125⋅8,

3x2− 11x− 81x+ 11⋅27= 1000,

3x2− 11x − 81x +297 − 1000= 0,

3x2− 92x− 703= 0.

Посчитаем дискриминант: $2 D = 92 +4 ⋅3⋅703 = 16900,$ $√ -- D = 130,$
$92+ 130 x1 = --6----= 37,$
$x = 92−-130-= − 19 2 6 3$ — посторонний корень, т.к. не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ:

$x = 37$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#42153

а) Решите уравнение $(x2 +2x − 1)⋅(log (x2− 3)+log (√3-− x)) = 0. 2 0,5$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− 2,5;−1,5].$

Показать ответ и решение

а) Найдем ОДЗ:

( { x2− 3> 0 √- ( √- ⇔ x< − 3 3 − x > 0

Решим на ОДЗ.

⌊ ⌈ (x + 1)2 = 2 log (x2− 3)− log(√3 − x) =0 ⇒ ⌊ 2 √- 2 x= −1 ± 2 || √ - √ - ⇒ ⌈ log (x−-√-3)(x+---3) = 0 ⌊ 2 3− x x= −1 ± √2 ⌈ √- ⇒ log2(−x− 3) =0 ⌊ √- ⌈ x= −1 ± √2 x= −1 − 3

Под условие $√ - x< − 3$ подходят корни $√- √ - x= − 1− 3;−1− 2.$

б) Так как $1,7< √3-< 1,8$ , то $− 2,8< −1 − √3-< −2,7$ и первый корень не принадлежит отрезку $[−2,5;−1,5].$

Так как $√- 1,4< 2 < 1,5,$ то $√ - − 2,5< −1 − 2< −2,4$ и второй корень принадлежит указанному отрезку.

Ответ:

а) $− 1− √3;−1− √2$

б) $√ - − 1− 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#40630

а) Решите уравнение

( ) log2 5x − 3- = 0 x−198x0+91 10

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ e ] 10;1 .$

Показать ответ и решение

а) ОДЗ:

( || x2−-18x-+-91-> 0 ( ||||| 90 ||| (x − 9)2+ 10> 0 { x2−-18x-+-91- { 2 ||| 90 ⁄= 1 ⇔ ||| (x − 9) ⁄= 80 ⇔ |||| 3 ( x> 0,06 (5x − 10 > 0 ⇔ x∈ (0,06;9+ 4√5)∪ (9+ 4√5; +∞ )

На ОДЗ уравнение равносильно

-3 5x− 10 = 1 ⇔ x= 0,26

Подходит по ОДЗ.

б) Корень $x= 0,26$ не лежит в указанном отрезке, так как $e> 2,7.$

Ответ:

а) $x ∈ {0,26}$

б) $x ∈∅$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#40629

а) Решите уравнение

log (x3+ 10x2+15x)⋅log(x+ 6)= log (3x2+ 5x) x+6 2 2

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[−√10;0].$

Показать ответ и решение

а) ОДЗ:

( ( ||| x+ 6> 0 ||| x >− 6 |||{ x+ 6⁄= 1 |||{ x ⁄=− 5 ⇔ √-- √-- ⇔ ||||| x3+ 10x2+ 15x >0 ||||| x(x− (−5− 10))(x − (−5 + 10)) >0 |( 3x2 +5x > 0 |( x(3x+ 5)> 0 √-- ⇔ x∈ (−6;−5)∪ (− 5;− 5+ 10)∪ (0;+∞ )

На ОДЗ уравнение равносильно

log2(x3+ 10x2+ 15x) =log2(3x2+ 5x) ⇒ x(x2+ 10x + 15)= x(3x+ 5) ⇔ x(x2+ 7x + 10) =0 ⇔ x= − 5;− 2;0

Корни $x= −5;0$ не подходят по ОДЗ.

б) Корень $x= −2$ лежит на указанном отрезке, так как $√-- 10 > 3$ .

Ответ:

а) $x ∈ {− 2}$

б) $x ∈{−2}$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#40628

а) Решите уравнение

log (x − 2)2 = logx 1(x− 2)2 2x+3 6+2

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− 2;− lg 11].$

Показать ответ и решение

а) ОДЗ:

(|| 2x+ 3> 0 |||| |||{ 2x+ 3⁄= 1 ({x >− 3 (x− 2)2 >0 ⇔ 2 |||| x 1 (x ⁄=− 1;2;3 ||||| 6 + 2 > 0 ( x6 + 12 ⁄= 1

Пусть $(x− 2)2 = 1$ , тогда уравнение примет вид $0= 0$ . Решениями $(x− 2)2 = 1$ являются $x= 1;3$ . Так как $x= 3$ не подходит по ОДЗ, то $x= 1$ является решением исходного уравнения.

При $2 (x− 2) ⁄=1$ можно преобразовать уравнение:

-------1------= -------(11------) ⇒ log(x−2)2(2x+ 3) log(x−2)2 6(x+ 3) (1 ) log(x−2)2(2x+-3)−-log(x−2)2(-6(x-+-3)) = 0 ⇒ log(x− 2)2(2x +3)⋅log(x−2)2 16(x+ 3) log(x−2)2-21x-+3- ----------------6(x-+3)(1-----) = 0 ⇒ log(x−2)2(2x+ 3)⋅log(x−2)2 6(x+ 3) ( ||| log(x−2)2-21x+-3- = 0 |{ 6(x +3) || log(x−2)2(2x + 3) ⁄=0 ⇒ ||( (1 ) ( log(x−2)2 6(x+ 3) ⁄= 0 || -2x+-3- =1 ||{ 16(x+ 3) | 2x+ 3⁄= 1 ⇒ |||( 1 6(x+ 3)⁄= 1 x = − 15 11

Корень подходит по ОДЗ.

б) На указанном отрезке лежит $15 x = −11$ , так как

15 − 11 < − lg11 15> 11lg11 lg1015 >lg1111 15 11 10 > 11

Ответ:

а) $x ∈ {− 15;1} 11$

б) ${ 15} x ∈ − 11$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#40627

а) Решите уравнение

log x+ log x = log x ⋅log x 2 3 2 3

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ln2;3].$

Показать ответ и решение

а) ОДЗ: $x > 0.$

Преобразуем уравнение

log x + log 2⋅log x = log x ⋅log x ⇔ 2 3 2 2 3 log2x ⋅(1 +log32− log3x)= 0 ⇒ ⌊ ⌈ log2x= 0 ⇔ log3x= log33+ log32 ⌊ ⌈ x= 1 x= 6

Оба корня подходят по ОДЗ.

б) Так как $ln2 <1$ , то на отрезке $[ln2;3]$ лежит корень $x= 1.$

Ответ:

а) $x ∈ {1;6}$

б) $x ∈{1}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#40626

а) Решите уравнение

3x2⋅log (2 +3x)− 6xlog1√32-+-3x= 3x2+ 2x 3 3

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ −1 ] −e ;0 .$

Показать ответ и решение

а) ОДЗ:

2+ 3x> 0 ⇔ x > − 2 3

Преобразуем уравнение:

2 2 3x ⋅log3(2+ 3x)+ 2xlog3(2+ 3x)= 3x +2x ⇔ (log3(2+ 3x)− 1)(3x2+ 2x) =0 ⇒ ⌊ ⌈log3(2+ 3x)= 1 ⇒ x(3x+ 2)= 0 ⌊ |2+ 3x= 3 ||x =0 ⇔ ⌈ 2 x =− 3 x = − 2;− 1;0 3 3

Корень $2 x = −3$ не подходит по ОДЗ.

б) Корень $x = 0$ лежит в отрезке $−1 [−e ;0].$ Так как $1 1 − e < − 3$ , то $1 x− 3$ также лежит в этом отрезке.

Ответ:

а) $x ∈ {0}$

б) $x ∈{0}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#40625

а) Решите уравнение

log (9− 16x4)= 2+ -----1----- 3−4x2 log2(3− 4x2)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[0;1].$

Показать ответ и решение

а) ОДЗ:

( || 3− 4x2 > 0 (| √3- √3- |{ 2 |{− 2 < x< 2 || 3− 4x ⁄= 1 ⇔ || 1 |( 9− 16x4 > 0 (x ⁄= ±√2-

Преобразуем уравнение на ОДЗ:

log3−4x2(9− 16x4) = log3− 4x2(3− 4x2)2+log3− 4x22 ⇒ 4 ( 2 2) log3−4x2(9− 16x) = log3− 4x2 2(3− 4x) ⇒ 9 − 16x4 =2(3− 4x2)2 ⇔ (3− 4x2)(3 +4x2)= 2(3− 4x2)2 ⇔ (3− 4x2)(12x2− 3)= 0 ⇔ √ - x = ±--3;±1 2 2

Корни $x± √3 2$ не подходят по ОДЗ.

б) На отрезке $[0;1]$ лежит корень $x= 1. 2$

Ответ:

а) $x ∈ {− 0,5;0,5}$

б) $x ∈{0,5}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#40624

а) Решите уравнение

( ) ( ) 2log x + -6--- = log --3--− -2--- + 3 12 x− 5 12 x − 2 x− 3

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[3;10].$

Показать ответ и решение

а) ОДЗ:

( ( ||{x + -6--> 0 ||{ (x-−-2)(x−-3)> 0 x− 5 ⇔ x− 5 ⇔ x ∈(2;3)∪(5;+∞ ) ||( -3--− --2--> 0 ||( ---x−-5----> 0 x− 2 x − 3 (x − 2)(x− 3)

На ОДЗ уравнение преобразуется:

((x−-2)(x-− 3))2 ( ---x-−-5---) 3 log12 x− 5 − log12 (x− 2)(x− 3) = log1212 ⇒ ((x−-2)(x-− 3))3 3 log12 x− 5 = log1212 ⇒ ( ) (x−-2)(x-− 3) 3 = 123 ⇔ x − 5 (x-− 2)(x−-3)= 12 ⇒ x− 5 2 x − 17x+ 66= 0 x = 6;11

Оба корня подходят по ОДЗ.

б) На отрезке $[3;10]$ лежит корень $x= 6.$

Ответ:

а) $x ∈ {6;11}$

б) $x ∈{6}$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#40623

а) Решите уравнение

log1(−x − 1) +log1(1 − x) − log 1 (7+ x)= 1 2 2 √2

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 2 ] −e ;− e .$

Показать ответ и решение

а) ОДЗ:

( ||− x− 1> 0 |{ ||1 − x > 0 ⇔ − 7< x< − 1 |(7 +x > 0

На ОДЗ уравнение равносильно

log1(− x− 1)+ log1(1− x)= log1 1+ log− 1(7+ x)2 ⇒ 2 2 ( 2 2 ) 2 log1((− x− 1)(1− x))= log1 1(7+ x)2 ⇒ 2 2 2 x2− 14x− 51= 0 ⇔ x= − 3;17

Корень $x = 17$ не подходит по ОДЗ.

б) Так как $2 2 − e < − 2 = −4$ , $− e >− 3$ , то корень $x = −3$ лежит в отрезке $[ ] − e2;−e .$

Ответ:

а) $x ∈ {− 3}$

б) $x ∈{−3}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#40622

а) Решите уравнение

( ) ( ) ( ) 1lg x + 1 − lg x + 1 = 1lg x− 1 − lg x 2 8 2 2 2

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− 1;1].$

Показать ответ и решение

а) ОДЗ:

(|| x+ 1 >0 |||| 81 { x+ 2 >0 ⇔ x> 1 ||| x− 12 >0 2 |||( x> 0

На ОДЗ уравнение равносильно

( 1) ( 1) ( 1) lg x + 8 +2 lgx = lg x− 2 +2 lg x+ 2 ⇒ ( 2( 1) ) (( 1)2( 1) ) lg x x+ 8 = lg x+ 2 x− 2 ⇒ ( 1) ( 1)2 ( 1 ) x2 x+ 8 = x+ 2 x −2 ⇔ 3x2− 2x− 1= 0 ⇔ 1 x =− 3;1

Корень $x = − 13$ не подходит по ОДЗ.

б) Корень $x= 1$ лежит в отрезке $[−1;1].$

Ответ:

а) $x ∈ {1}$

б) $x ∈{1}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#40306

а) Решите уравнение

2log (2x)+log (x2+ 1− 2x)= 4 8 8 3

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− 2;2].$

Показать ответ и решение

а) ОДЗ:

( ( { 2x> 0 { x> 0 ( 2 ⇔ ( x − 2x+ 1> 0 x⁄= 1

Решим уравнение

6 6 4 log8(2x) + log8(x − 1)= log88 ⇒ (2x(x − 1))6 = 212 ⇔ ⌊ ⌈ 2x(x− 1)= 22 ⇔ 2x(x− 1)= −22 ⌊ x2− x− 2= 0 ⌈ x2− x+ 2= 0 ⇔ ⌊ x= 2 ⌈ x= − 1

Корень $x = −1$ не подходит по ОДЗ.

б) Корень $x= 2$ лежит в отрезке $[−2;2].$

Ответ:

а) $x ∈ {2}$

б) $x ∈{2}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#40246

а) Решите уравнение

-log25-+ lg(x+ 10)= 1+ lg(21x− 20)− lg(2x − 1) log210

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[0;1].$

Показать ответ и решение

а) ОДЗ:

( ||x+ 10> 0 |{ 20 ||21x− 20> 0 ⇔ x > 21 |(2x− 1> 0

На ОДЗ уравнение равносильно

lg5 +lg(x + 10)+ lg(2x − 1)= lg10+ lg(21x− 20) ⇔ lg(5(x+ 10)(2x− 1)) =lg(10(21x− 20)) ⇔ 5(2x2+ 19x − 10) =10(21x− 20) ⇔ 2x2− 23x+ 30= 0

$2 2 D = 23 − 240 =289 =17$ , следовательно,

23±-17 3 x= 4 ⇔ x = 10;2

Под ОДЗ подходят оба корня.

б) Оба корня лежат вне отрезка $[0;1],$ так как $3 10> 2 > 1.$

Ответ:

а) $x = 10; 3 2$

б) $x ∈∅$

Предыдущий раздел

Следующий раздел