Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
и найдите сумму его корней, принадлежащих отрезку .
Источники:
Подсказка 1
Работать с произведением косинусов неудобно. Какие преобразования можно сделать, чтобы облегчить решение?
Подсказка 2
Воспользуемся формулами преобразования произведения в сумму и сделаем замену. А что если рассмотреть выражение как функцию?
Подсказка 3
Функция слева приобретет вид f(t) = 2t^2-1 + cos(2t). Исследуем же ее!
Подсказка 4
Какой является эта функция и где она монотонна?
Подсказка 5
Функция f возрастает на [0;1] и является четной. Если пристально посмотреть, какие же t нам подходят? А какие из них попадают в наш отрезок?
Пользуясь формулами преобразования произведения в сумму, получаем
Пусть , тогда левая часть уравнения равна . Функция возрастает на (так как ) >0 при ) и является чётной, причём . Следовательно, корнями уравнения на отрезке являются числа . Возвращаясь к переменной , находим
Так как
то на указанный отрезок попадают корни и . Их сумма равна .
.
Сумма корней равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Источники:
Подсказка 1
Справа внутри синуса есть какой-то π/8, что не очень приятный угол, а еще там сам синус в квадрате. Чем можно воспользоваться в таком случае?)
Подсказка 2
Например, формулой понижения степени! Тогда там появится 1-cos(2x+π/4), что уже лучше. Раз мы тут преобразовали к двойному углу, то может слева так тоже выйдет?
Подсказка 3
Если раскрыть скобки в левой части, то получится 2√2(sin²x-cos²x) - 2√2sinx⋅cosx, что очень хорошо раскладывается на двойные углы) Осталось достаточно приятное уравнение, которое не доставит вам проблем)
Раскроем скобки и в правой части воспользуемся формулой понижения степени:
Домножим на и выделим формулы двойных углов:
Если то получим, что что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Значит, можно поделить на имеем:
Откуда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Источники:
Подсказка 1
Какое некрасивое выражение стоит в правой части, очень хочется от него избавиться...
Подсказка 2
Давайте приведем слагаемые в аргументе к общему знаменателю, поделим числитель и знаменатель на 2, тогда в числителе получится что-то красивое! Сворачивайте!
Подсказка 3
Знаменатель тоже можно преобразовать по тригонометрическим формулам. Ого, оказывается эта страшилка равна единице, значит арккосинус равен нулю!
Подсказка 4
Левая часть легко раскладывается на линейные множители, ну а ноль арккосинуса мы знаем (x=1). Решаем неравенство!
Подсказка 5
Не забывайте, пожалуйста, об ОДЗ! Арккосинус требует соблюдения всех условий!
Так как
то получается неравенство
Левая его часть определена при поэтому На этом отрезке первый сомножитель
неотрицателен при и отрицателен при Второй сомножитель всегда неотрицателен и равен нулю при
Поэтому
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите систему
Источники:
Подсказка 1
Посмотрите на эту систему. Что в этой системе кажется наиболее инородным? Модуль. Что мы привыкли делать с ним? Раскрывать по определению(чаще всего именно так, потому что работать напрямую с модулем, зачастую, затруднительно). Сделайте тоже самое.
Подсказка 2
Если раскрыть модуль с минусом, то из первого уравнения выходит, что либо ctg(x)=0 , либо ctg(y)=1/2. Но ctg(x)!=0, так как тангенс тоже должен быть определен. Поэтому ctg(y)=1/2. Значит tg(y)=2. Подставляя это во второе уравнение найдем первую серию решений(не забывая проверить то, что модуль был раскрыт верно и ОДЗ выполнено). Теперь осталось раскрыть модуль другим способом.
Подсказка 3
Второй случай не дает ответов сразу. У нас получается выражение, где все завязано на котангенсах, но при этом, если мы планируем в явном виде подставить выражение, к примеру , tg(x) во второе уравнение, то нам надо связь из котангенсов переделать в связь на тангенсы. Как это сделать?
Подсказка 4
Для начала, можно выразить ctg(y) через ctg(x), а потом перевернуть дробь(которая будет получена при выражении ctg(y) ) и заменить ctg(x) на 1/tg(x). И получим в явном виде , выраженное через tg(x), значение tg(y) . Остается подставить это во второе уравнение и найти его корни, после чего проверить так ли мы раскрыли модуль и учесть ОДЗ.
ОДЗ: , и , .
Из второго уравнения на ОДЗ следует, что .
Раскроем модуль одним способом:
, поэтому . Значит, . Подставим это во второе уравнение:
Тогда . Осталось подстановкой проверить, что для полученного решения модуль был раскрыт верно.
Теперь раскроем модуль другим способом.
Домножим на :
Если , то и при подстановке это не подходит.
Если , то и при подстановке это не подходит.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Заметим, что если подходит, то и подходит. Тогда давайте считать, что .
Так же если , больше 0 и подходит, то и подходит. Значит можно считать, что .
Теперь заметим, что не подходит, так как тогда .
Нарисуем график для . На этом интервале нам подходят . Значит на интервале нам подходит только . Осталось распространить это на всю прямую. Значит .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Источники:
По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим
причём равенство возможно только если
При этом , причём равенство возможно только если . Найденные серии пересекаются по множеству
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Источники:
Пусть .
По ОДЗ и .
Правая скобка больше нуля, значит, и подходит.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите наименьшее значение при условии
Источники:
Так как при любых значениях верны неравенства:
то
А так же в силу в итоге получаем, что левая часть уравнения
всегда не меньше правой части, а равенство может достигаться если только если в каждом из неравенств выше достигается равенство. То есть уравнение равносильно системе:
На заданных в условии промежутках
получаем
Нетрудно видеть, что минимальное значение модуля разности равно
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством
Источники:
Подсказка 1
Мы работаем с арксинусом/арккосинусом -> они должны существовать, отсюда получаем ограничение на х. Затем увидим, что левая часть равна π/2 (почему?).
Подсказка 2
Обработав условие на у, получаем, что |y| и |x| ограничены сверху, и если мы перенесем доступные нам значения х и у на координатную плоскость, то получим прямоугольник, площадь которого легко считается.
ОДЗ: .
Заметим, что .
Значит, нас интересует фигура и .
Это прямоугольник и . Его площадь .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Источники:
Подсказка 1
Давайте поработаем со скобкой слева. Подумаем, чему она вообще равна: для этого найдем cos(arcsin(3/5)), потому что закрадывается мысль, что на самом деле эти арксинус и арккосинус равны между собой по модулю. Остается обратить внимание на то, какого знака этот арксинус.
Подсказка 2
И да, так оно и оказывается, что скобка равна нулю. Значит, уравнение по сути независимо от х, и нам остается убедиться в том или опровергнуть то, что правая сторона равна π. Для этого, во-первых, надо понять, в каких пределах находится правая скобка.
Подсказка 3
Заметим, что по сути мы складываем три арктангенса с положительными аргументами, значит, их сумма положительна и сверху ограничена 3π/2. Из этого понимаем, что все-таки это выражение вполне может быть равно π (если бы оно было, например, от -π/2 до π/2, то тогда оно бы точно не равнялось π - значит, мы бы сразу ответ дали). Тогда посчитаем tg(2arctg(3)), используя формулу тангенса двойного угла, а затем посчитаем тангенс от всей правой части. Кажется, теперь мы смогли решить эту задачу!
Так как , а , то . Тогда уравнение выглядит как , то есть надо проверить, либо это тождество и подходят любые значения , либо это неверное равенство, так что решений нет.
Очевидно, что по определению арктангенса и так как аргумент положительный. При этом
Значит, и . Пересекая эти условия, получаем .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Источники:
Запишем тангенс и котангенс по определению и приведём к общему знаменателю:
На ОДЗ уравнение равносильно
Теперь проверим, что все значения входят в ОДЗ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Источники:
Подсказка 1
Найдем ОДЗ выражения и поймем, что если число больше 1, то оно и в 7 степени больше 1. Значит, можем без проблем взять корень седьмой степени от левой и правой части.
Подсказка 2
Задумаемся над тем, что если число от нуля до единицы, то при возведении его в любую натуральную степень оно становится только меньше, чем было до этого. Отсюда следует, что sin(x) > sin²(x), так же и с косинусом.
Подсказка 3
Да, из корня синуса получив синус, а из синуса - квадрат синуса, сделав аналогично с косинусом, мы сделали оценку на выражение слева, и оно почти всегда больше единицы. Остается понять, в каких точках достигается равенство и их исключить :)
Функция монотонно возрастает, поэтому условие эквивалентно
Первое решение.
В силу области значений синуса и косинуса оба слагаемых в левой части неотрицательны, причём равны нулю тогда и только тогда, когда синус или косинус обращаются в ноль. Остальные значения , при которых левая часть неравенства определена, подходят. То есть по тригонометрической окружности нам подходит первая четверть, где значения синуса и косинуса положительны.
Второе решение.
Будем рассматривать только , равенство достигается на границах. Заметим, что для произвольного выполнено
Но тогда при (где синус и косинус не принимают значения ) выполнено
То есть для всех точек, кроме граничных, неравенство выполнено.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Источники:
Подсказка 1
Вот наверняка у вас возникал вопрос: зачем учить формулы понижения степени? Ответ: для того, чтобы сейчас же понизить эти десятые степени! Помним, что sin¹⁰(x) = (sin²(x))⁵. Там начнет фигурировать и пятая степень двойки - на нее стоит домножить левую и правую части.
Подсказка 2
Заменим cos(2x) на t, а затем, не стесняясь, раскроем скобки с пятыми степенями. Вы же понимаете, что при раскрытии они будут почти идентичны? Только слагаемые с нечетной степенью будут отличаться знаками, следовательно, при сложении они просто пропадут!
Подсказка 3
Далее будет очень удобно сделать замену t² = p, тогда мы получим квадратное уравнение, решим его и сделаем обратную замену, таким образом постепенно и дорешаем задачу.
Первое решение.
По формуле понижения степени уравнение равносильно
После замены и раскрытия скобок имеем (нечётные степени косинуса взаимноуничтожаются):
Из этого квадратного относительно уравнения получаем или . Отсюда , так что .
Второе решение.
Выразим две суммы с меньшими степенями через
Теперь выразим через них левую часть
Теперь подставим всё это в изначальное равенство
Остаётся только первый корень, который и идёт в ответ.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите систему уравнений
Источники:
Преобразуем второе уравнение системы
Квадратичная функция принимает в точке наибольшее значение, равное . То есть левая часть неравенства не превосходит , а правая часть . Значит равенство возможно только в случае
При всех таких значениях в первом уравнении исходной системы имеем тождество, поэтому полученные пары — решения системы.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Источники:
Подсказка 1
Мы видим, что аргументы косинусов в числителе являются степенями двойки. Это значит, что через какой-то из косинусов можно выразить все остальное. Подумайте, через какой из косинусов это удобнее всего выражать и сделайте это(очевидный плюс того, чтобы выразить все через что-то одно - это то, что потом можно будет сделать замену и это станет обычным уравнением).
Подсказка 2
Действительно, все можно выразить либо через cos^2(x), либо(что почти тоже самое из-за формулы двойного угла) через cos(2x). Поскольку квадратное уравнение решать легче, чем биквадратное, то выразим все через cos(2x) и получим, что выражение сверху это -4cos^2(2x)+4cos(2x)+3=0. Осталось найти корни этого и выбрать из них только те, что подходят под ОДЗ.
Преобразуем числитель
Решая квадратное уравнение, получаем , то есть .
Осталось учесть ОДЗ: , отсюда из положительных корней подходят только первые : .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите систему уравнений
Источники:
Подсказка 1.
Пока выглядит страшно. Давайте попробуем сделать выражение покрасивее и одно, а не два. Домножим первое уравнение на 2, вычтем его из второго.
Подсказка 2.
Пока выглядит страшно до сих пор, вспоминаем, что мы знаем про косинусы и синусы в квадрате - тригонометрическое тождество. В этой задаче оно нам пригодится в таком виде = (1- cos²(x)) = sin²(x). Давайте используя это преобразуем 2sin²(y)cos^2(x), ведь его трудно оценивать.
Подсказка 3.
А теперь наша цель все же сделать оценку! Для этого давайте перенесем направо что-то, чтобы правая часть точно была неотрицательной. Например, sin³(y). Если все правильно, у нас получится такое:
Первое решение.
При второе уравнение приобретает вид
Правая часть этого уравнения не меньше двух, а левая не больше двух, так как поэтому равенство может достигаться только при , что эквивалентно системе
равносильной
При подстановке убеждаемся, что эти значения и удовлетворяют ещё и первому уравнению системы.
Второе решение.
Домножим на 2 первое уравнение системы:
Вычтем первое уравнение из второго
Применим основное тригонометрическое тождество
В итоге так как получается, что
то должно выполняться
что равносильно
Подставляя в исходную систему находим
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Источники:
Подсказка 1
Видим справа в аргументах косинуса большие и неприятные значения 7х и 11х. Причём они никак не выражаются через друг друга... Тогда с правой частью мы пока никак не поработаем. А слева у нас произведение косинусов. Давайте попробуем расписать их через формулу.
Подсказка 2
Ага, получилось, что слева теперь тоже 11x и 7x. И видим, что 11х хорошо сокращается. Ура! У нас осталось только кубическое уравнение относительно cos(7x). Какой корень сразу угадывается из суммы коэффициентов многочлена?
Подсказка 3
Верно, cos(7x)=1 подходит. Теперь уже остаётся только решить квадратное уравнение, учесть ограничение на косинус и найти х.
Распишем произведение косинусов
Тогда или . Так как , то не подходит. Значит, либо , либо
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Источники:
Подсказка 1.
Так, у нас есть произведение трех множителей, которое равно 1. Вспоминаем важную особенность cos²(x) и sin²(x), они всегда ≤ 1. Какие выводы можем сделать?
Подсказка 2.
Такие: значит все наши три слагаемых = 1. Осталось решить систему! А затем найти пересечения решений, посмотрим, как тут не запутаться.
Подсказка 3.
Мы получим, чему должны быть равны 2015x/2, 2014x, 2013x/2. Но во всех трех этих сериях будут разные константы n, m, k при 2П. Тогда заметим, что 2015x/2 - 2013x/2 = x! Вычитаем, получаем
Так как
то , а равенство возможно тогда и только тогда, когда
Первое решение.
Система равносильна
Тогда
Подставляя в первое, имеем , откуда должно быть нечётным, то есть при Подставляем:
Других решений быть не может. Осталось проверить, что подходит под все три условия системы и записать ответ.
Второе решение.
По формуле синуса суммы
по основному тригонометрическому тождеству в силу первого условия системы
Поэтому достаточно рассмотреть два случая:
1) При неверно, что , ведь этот синус равен нулю.
2) При
система верна при любом
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством
По ОДЗ .
Заметим, что если , то .
Значит, и . Применим синус к обеими сторонам. Так как обе части в интервале и синус на нем возрастает, то получится равносильное неравенство
Площадь такой фигуры при условии равна Значит, общая площадь
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Выясните, какое из чисел больше:
Источники:
Подсказка 1
Видим, что в аргументах у нас сопряженные числа с разными знаками. Может, как то связать их через тангенс и котангенс?
Подсказка 2
Давайте докажем, что в левой части у нас число π.
Подсказка 3
Теперь нужно аккуратно оценить двойным неравенством корень из 3, получить оценку на правую часть и сравнить с числом π.
Обозначим Тогда
Поэтому
первое число из условия равно Так как то второе число из условия и меньше