Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Подсказка 1
Корень под корнем - не самая приятная вещь, давайте проведём замену t=√(x-2). Тогда x=t²+2. При подстановке в выражении выделяются полные квадраты, корни исчезают, и остаётся просто неравенство с логарифмом и модулями. Что мы можем сказать о возможных значениях t?
Подсказка 2
Конечно, из ОДЗ на x следует, что t больше 3/2. Давайте теперь посмотрим, как раскрываются модули при разных значениях t.
Подсказка 3
Верно, при t≤2 все t сокращаются. Тогда остаётся рассмотреть отдельно эти два случая (когда t сокращается и когда нет) и аккуратно найти объединение решений в каждом из случаев
Сделаем замену Тогда сведем неравенство к следующему виду, предварительно собрав полные квадраты
Так как то
При получаем
откуда
При получаем
Так как то левая часть уравнения больше С другой стороны при получаем , что а тогда и
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Источники:
Подсказка 1
Видим, что правая и левая часть очень похожи скобочками. Какое свойство логарифма можно применить, чтобы сделать их еще более похожими?
Подсказка 2
a^(log_b{c})=c^(log_b{a}). После этого мы можем перейти к неравенству логарифмов, которое несложно решить)
Выпишем ОДЗ:
Вспомним свойство логарифма:
На ОДЗ неравенство равносильно
И так как , неравенство на ОДЗ равносильно
Что в свою очередь равносильно
Пересекая с ОДЗ, получаем ответ.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Источники:
ОДЗ: . Поскольку , то имеем
Если , то равенство выполнено, иначе и .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Источники:
Подсказка 1
Осознав ОДЗ для этого уравнения, свернем скобку в один логарифм и подумаем, какого он знака.
Подсказка 2
Верно, он положительный в любом случае, а значит мы можем разделить на него левую и правую часть. 1 делить на логарифм - где-то мы это видели
Подсказка 3
Ну конечно, заметим, что у обоих логарифмов основание будет одинаковым, когда в правой части он преобразуется, а это наводит на мысль о замене логарифма на буковку, а потом о возведении в квадрат обеих частей. Будьте здесь аккуратны!
ОДЗ:
На ОДЗ по свойствам логарифмов получаем уравнение
При замене после возведения в квадрат (не равносильный переход, а следствие, так что корни проверим) получаем
Обратная замена:
После подстановки в исходное уравнение получаем, что не подходит, а подходит.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Источники:
Подсказка 1
Приведём логарифмы сразу к удобному нам виду по свойству и сделаем естественную замену логарифма на t. А дальше у нас модули... Неприятно. Рассматривать случаи точно не очень хочется, потому что это ещё кубы раскрывать, а промежутка три штуки. Давайте думать, как избавиться от модуля. Не можем ли мы сразу отсечь половину числовой прямой? Давайте внимательно посмотрим на сумму модулей слева.
Подсказка 2
Верно, видим, что если вместо t подставить -t, то из-за модуля и суммы ничего не поменяется. У нас просто поменяются местами слагаемые. Значит, найдя решение положительное, найдём и отрицательное. Но от одного модуля мы ещё не избавились до конца. Остался небольшой промежуток от 0 до 1 для осуществления нашей "мечты". А будет ли вообще выполняться равенство на этом промежутке?
Подсказка 3
Точно, левая часть будет просто меньше, чем правая. Нам это никак не подходит. Теперь осталось только решить кубическое уравнение, однозначно раскрыв скобки, и не забыть про нашу симметрию.
Пусть , тогда
Заметим, что это выражение симметрично относительно , поэтому рассмотрим и найдём решения. Если , то левая часть меньше правой, потому , получим
Вторая скобка не имеет корней, потому остаётся только в силу симметрии, откуда .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
ОДЗ данного неравенства На области допустимых значений равносильны переходы:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения , при каждом из которых выражения
равны друг другу.
Подсказка 1
Посмотрим внимательно на аргументы логарифмов! Что про них можно сказать?
Подсказка 2
Верно, можно заметить, что их произведение образует разность квадратов! Причем, разность этих квадратов равна 1. Тогда выразим один аргумент через другой, что можно сказать про них?
Подсказка 3
Да, в таком случае, если каждый из них не равен единице, то равенство логарифмов невозможно! Ведь, тогда один из аргументов меньше единицы, а второй больше единицы. Поэтому каждый из аргументов равен единице! Остаётся решить несложное тригонометрическое уравнение.
Заметим, что
Тогда надо найти , при которых
Это равенство возможно только при , так как если
, то один логарифм будет неположительный, а другой — неотрицательный.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Источники:
Подсказка 1
Внимательно приглядитесь к логарифмам. Может быть, у них больше общего, чем кажется на первый взгляд?
Подсказка 2
Давайте каждый логарифм приведем к log₂x и сделаем замену t = log₂x. Какого вида мы получили уравнение и как его можно решить?
Подсказка 3
Подобные уравнения можно решить, рассмотрев все возможные интервалы знакопостоянства модулей. Также не забудьте сделать обратную замену и проверить ОДЗ для ответа.
ОДЗ:
После замены получаем
Рассмотрим случаи
-
. Все модули раскроются с минусами
Подходят все такие .
-
. Здесь
-
. В этом случае
В итоге
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Выясните, какое из чисел больше:
Источники:
Подсказка 1
Хм, какие-то страшные десятичные логарифмы… Можно ли сказать чему примерно равно отношение десятичных логарифмов слева и десятичный логарифм справа? Может, мы сможем оценить каждое из чисел, используя, например: свойства перехода к новому основанию?
Подсказка 2
Да, если мы используем формулу перехода к новому основанию, то логарифм слева превратится в log ₂2023! А этот логарифм несложно оценить: log ₂1024=10 < log ₂2023 < log ₂2048=11. Тогда, число слева меньше чем 11/2! Осталось как-то поработать с логарифмом справа и задача решена!
Подсказка 3
А давайте просто посмотрим на аргумент правого логарифма! 2013/2 > 1000, поэтому lg2013/2 > lg1000=3. То есть, число справа больше чем 6.
Из возрастания логарифмической функции по основанию получаем оценку
По формуле перехода так же оценим другое число
В итоге
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Выясните, какое из чисел больше
Источники:
Подсказка 1
На первый взгляд вообще не понятно, какое из чисел больше… Давайте поставим какой-то знак неравенства и будем его доказывать. Или потом поменяем, если получим неравенство в другую сторону
Подсказка 2
Всё равно не понятно, как доказывать такое неравенство... Так, а если перекинуть один из логарифмов в другую сторону? Нужно доказать, что произведение логарифмов с основанием 2013 меньше 1!
Подсказка 3
Воспользуемся для этого неравенством о средних! А именно, что среднее геометрическое не больше среднего арифметического. Дальше сумма логарифмов легко преобразуется по свойствам
По сути нам достаточно доказать такое неравенство
при . Из-за того, что , обе части неравенства положительны, так что по свойствам логарифмов оно эквивалентно:
Для положительных чисел можем воспользоваться неравенством о средних:
Итак, мы показали, что неравенство верно, первое число из условия больше.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Источники:
Подсказка 1
Для начала, конечно, запишем ОДЗ. Откуда сразу про одну из скобок понятно, что она больше нуля. Давайте обратим внимание на квадратный трёхчлен в логарифме. Попробуем его разложить и посмотрим, что получится. Какое тогда действие само напрашивается для упрощения нашей жизни?
Подсказка 2
Верно, у нас ведь будут одинаковые части с логарифмами, которые мы можем заменить, например, буквами a и b. Теперь не очень понятно, что с этим делать... Но будем думать с точки зрения того, что задачу нам дали решаемую, иначе как-то грустно. В итоге, у нас получилось уравнение с двумя переменными. Тогда раз мы знаем, что решение существует, как мы можем его решать?
Подсказка 3
Ага, мы ведь можем посмотреть на него, как на квадратное уравнение относительно b, и сказать, что дискриминант должен быть больше нуля. Решая неравенство на дискриминант, получим промежуток... Обидно. Мы надеялись, что значение выйдет какое-то одно, а получилось так. Но давайте не будем отчаиваться и попробуем доказать, что промежуток не подходит. У нас слева произведение скобок, а справа 1. Может быть получиться противоречие со знаком справа и слева у равенства? Исходя от а, попробуйте оценить х и посмотреть, что выйдет.
Подсказка 4
Верно, получилось, что тогда х больше или равен 80. Но отсюда оценкой выходит, что две скобки положительны, а последняя отрицательна. А справа 1. Победа! Осталось только найти х при единственном а и сделать проверку.
ОДЗ: . Из ОДЗ , то есть . Пусть , тогда получим
Это квадратное уравнение относительно , напишем дискриминант, который должен быть неотрицателен
Поскольку , то имеем . Если , то . При этом , но , поэтому произведение не может быть положительным. То есть может подойти только , остаётся его подставить и проверить, что равенство выполнено.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Источники:
ОДЗ:
На ОДЗ по формуле перехода для логарифмов уравнение эквивалентно совокупности
Решение первого уравнения удовлетворяет условиям ОДЗ, а из решений второго только один корень входит в ОДЗ.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Положительные числа составляют геометрическую прогрессию. Сумма логарифмов по основанию от этих чисел равна Найдите эти числа, если
Подсказка 1
Вспомним, что числа образуют геометрическую прогрессию! Поэтому все числа можно выразить через первый член прогрессии. В таком случае, что можно получить из условия того, что сумма логарифмов по основанию 3 от этих чисел равна 10?
Подсказка 2
Да, мы получим, что произведение первого члена и знаменателя прогрессии равно 9, а еще можно выразить первый член прогрессии через её знаменатель. Теперь воспользуемся вторым условием! Можно ли найти с помощью него знаменатель прогрессии?
Подсказка 3
Да, можно! Будем пользоваться свойствами логарифма и преобразовывать выражение. Тогда мы найдем знаменатель прогрессии и уже через него все члены последовательности!
Пусть — знаменатель прогрессии. Так как члены прогрессии положительные, то . Тогда члены прогрессии:
По условию
Подставляя во второе условие получаем
И так как
то
Легко видеть, что прогрессии
удовлетворяют условию про сумму логарифмов и условию на первый и пятый члены.
В ответ можно записать найденные числа, они одинаковые для обеих подходящих прогрессий.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Источники:
ОДЗ: .
На ОДЗ уравнение равносильно
То есть , что не подходит под ОДЗ, или , откуда с учётом ОДЗ подходит только .