Тема . ПВГ (Покори Воробьёвы Горы)
Логарифмы на ПВГ
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела пвг (покори воробьёвы горы)
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#48740

Выясните, какое из чисел больше

log20122013  или log20132014.

Источники: ПВГ-2013, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На первый взгляд вообще не понятно, какое из чисел больше… Давайте поставим какой-то знак неравенства и будем его доказывать. Или потом поменяем, если получим неравенство в другую сторону

Подсказка 2

Всё равно не понятно, как доказывать такое неравенство... Так, а если перекинуть один из логарифмов в другую сторону? Нужно доказать, что произведение логарифмов с основанием 2013 меньше 1!

Подсказка 3

Воспользуемся для этого неравенством о средних! А именно, что среднее геометрическое не больше среднего арифметического. Дальше сумма логарифмов легко преобразуется по свойствам

Показать ответ и решение

По сути нам достаточно доказать такое неравенство

logk−1 k> logk(k+ 1)

при k= 2013  . Из-за того, что k> 2  , обе части неравенства положительны, так что по свойствам логарифмов оно эквивалентно:

logk(k+ 1)⋅logk(k− 1)< 1

Для положительных чисел можем воспользоваться неравенством о средних:

∘ -----------------  logk(k+1)+-logk(k-− 1) logk(k2−-1)   logkk2
  logk(k +1)⋅logk(k − 1)≤         2        =     2     <   2  = 1

Итак, мы показали, что неравенство верно, первое число из условия больше.

Ответ:

log   2013
  2012

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!