Поиск наибольшего/наименьшего значения у функций с тригонометрией —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#32223

Найдите наибольшее значение функции $y =5 sinx− 6x+ 3$ на отрезке $[ π] 0;2 .$

Показать ответ и решение

Функция $y =y(x)$ определена при всех $x ∈ ℝ.$ Определим участки, на которых функция возрастает или убывает. Для этого найдем ее производную:

y′ =5 cosx − 6

Найдем нули производной:

6 y′ = 0 ⇒ cosx= 5 ⇔ x∈ ∅

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Так как нулей у производной не существует, то на всем $ℝ$ она принимает значения одного знака. Подставив $x = 0,$ мы понимаем, что $′ y(x)< 0$ для всех $x.$

Следовательно, функция $y = y(x)$ убывает на всем $ℝ,$ значит, принимает наибольшее значение в начале отрезка, то есть в точке $x = 0:$

y(0)= 5sin 0+ 3= 3

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#32222

Найдите наибольшее значение функции $y = 4cosx − 20x +7$ на отрезке $[ 3π] 0; 2 .$

Показать ответ и решение

Функция $y =y(x)$ определена при всех $x ∈ ℝ.$ Определим участки, на которых функция возрастает или убывает. Для этого найдем ее производную:

y′ =− 4sinx − 20

Найдем нули производной:

y′ =0 ⇒ sinx =− 5 ⇔ x∈ ∅

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Так как нулей у производной не существует, то на всем $ℝ$ она принимает значения одного знака. Подставив $x = 0,$ мы понимаем, что $y′(x)< 0$ для всех $x.$

Следовательно, функция $y = y(x)$ убывает на всем $ℝ,$ значит, принимает наибольшее значение в левом конце отрезка, то есть в точке $x= 0:$

y(0) = 4cos0 +7 = 11

Ответ: 11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#32220

Найдите наибольшее значение функции $y = 7cosx+ 16x− 2$ на отрезке $[− 3π;0] . 2$

Показать ответ и решение

Функция $y =y(x)$ определена при всех $x∈ ℝ$ . Определим участки, на которых функция возрастает или убывает. Для этого найдем ее производную:

′ y = −7sinx +16

Найдем нули производной:

′ 16 y =0 ⇒ sinx = 7 ⇔ x∈ ∅

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Так как нулей у производной не существует, то на всем $ℝ$ она принимает значения одного знака. Подставив $x= 0$ , мы понимаем, что $′ y(x)>0$ для всех $x.$

Следовательно, функция $y = y(x)$ возрастает на всем $ℝ$ , значит, принимает наибольшее значение в конце отрезка, то есть в $x =0$ , и оно равно

y(0)= 7cos0 − 2= 5.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#32213

Найдите наибольшее значение функции $y = 15x− 3sinx +5$ на отрезке $[− π;0] 2$ .

Показать ответ и решение

Функция $y =y(x)$ определена при всех $x∈ ℝ$ . Определим участки, на которых функция возрастает или убывает. Для этого найдем ее производную:

′ y= 15− 3cosx =3(5− cosx)

Найдем нули производной:

′ y =0 ⇔ 3(5 − cosx)=0 ⇔ cosx =5 ⇔ x∈ ∅

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Производная не имеет нулей, следовательно, принимает значения одного знака. Так как $cosx ∈[−1;1]$ , то $5− cosx∈ [4;6]$ , следовательно, $y′ >0$ при всех $x ∈ℝ$ . Следовательно, функция $y = y(x)$ возрастает на всей своей области определения, значит, на любом отрезке наибольшее значение функция принимет в конце этого отрезка. Следовательно, наибольшее значение функции на указанном отрезке равно

y(0)= 15⋅0− 3sin0+ 5= 5.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#32209

Найдите наименьшее значение функции $y = 13x − 9sinx +9$ на отрезке $[ π] 0;2 .$

Показать ответ и решение

Функция $y =y(x)$ определена при всех $x ∈ ℝ.$ Определим участки, на которых функция возрастает или убывает. Для этого найдем ее производную:

y′ = 13− 9cosx

Найдем нули производной:

13 y′ = 0 ⇒ cosx = 9- ⇔ x∈ ∅

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Так как нулей у производной не существует, то на всем $ℝ$ она принимает значения одного знака. Подставив $x = 0,$ мы понимаем, что $′ y(x)> 0$ для всех $x.$

Следовательно, функция $y = y(x)$ возрастает на всем $ℝ,$ значит, принимает наименьшее значение в начале отрезка, то есть в точке $x= 0 :$

y(0)= − 9sin0 +9 = 9

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#32224

Найдите наибольшее значение функции $√- √- y =12sinx− 6x 3 +π 3+ 6$ на отрезке $[ π] 0;2 .$

Показать ответ и решение

Функция $y =y(x)$ определена при всех $x ∈ ℝ.$ Определим участки, на которых функция возрастает или убывает. Для этого найдем ее производную:

√- y′ = 12cosx− 6 3

Найдем нули производной:

√3- π y′ = 0 ⇒ cosx= -2- ⇔ x =± 6-+2πk, k ∈ ℤ

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок $[0; π] 2$ попадает только нуль производной $π x = 6.$

$PICT$

При $[ ) x∈ 0; π6$ производная положительна, для проверки можно подставить в производную точку из этого промежутка $x = 0.$ При $x∈ (π6; π2]$ производная отрицательна, для проверки подставляем $x = π2.$ Следовательно, функция $y = y(x)$ принимает наибольшее значение в точке $x= π : 6$

y (π) = 6− π√3+ π√3 + 6= 12 6

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#32221

Найдите наибольшее значение функции $y = −2tgx+ 4x− π − 3$ на отрезке $[ π-π] − 3;3 .$

Показать ответ и решение

Функция $y = y(x)$ определена при всех $π x ⁄= 2 + πk,k ∈ℤ$ . Определим участки, на которых функция возрастает или убывает. Для этого найдем ее производную:

2 2cos2x− 1 cos2x y′ = − cos2x-+ 4= 2⋅-cos2x-- =2 ⋅cos2x-

Найдем нули производной:

y′ =0 ⇒ cos2x =0 ⇔ x= π-+ πn,n ∈ℤ 4 2

Найдем точки, где производная не существует:

π- cosx⁄= 0 ⇔ x ⁄= 2 + πk,k ∈ ℤ

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Тогда из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок $[− π3; π3]$ попадают нули производной $x = − π; π 4 4$ .

$PICT$

Тогда функция $y = y(x)$ убывает на $[− π3;− π4)$ , затем возрастает на $(− π4; π4)$ , затем снова убывает на $(π4; π3]$ , следовательно, наибольшее значение принимает в одной из точек $π x= − 3$ или $π x = 4$ . Найдем значение функции в этих точках и сравним:

( π ) √ - 4π √ - 7π y −-3 = 2 3− 3-− π − 3 = 2 3− 3−-3 ( ) y π- = −2+ π − π − 3= −5 4

Очевидно, что $y =− 5$ больше.

Ответ: -5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#32219

Найдите наибольшее значение функции $y =14x − 7 tgx − 3,5π+ 11$ на отрезке $[ π- π] −3 ;3 .$

Показать ответ и решение

Функция $y = y(x)$ определена при всех $π x ⁄= 2 + πk,$ $k ∈ ℤ.$ Определим участки, на которых функция возрастает или убывает. Для этого найдем ее производную:

7 2cos2x− 1 cos2x y′ =14 − cos2x-= 7⋅-cos2-x--= 7 ⋅cos2x-

Найдем нули производной:

y′ =0 ⇒ cos2x =0 ⇔ x= π-+ πk, k ∈ℤ 4 2

Найдем точки, где производная не существует:

π- cosx ⁄= 0 ⇔ x⁄= 2 + πk, k ∈ ℤ

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Тогда из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок $[− π3; π3]$ попадают нули производной $x = − π; π. 4 4$

$PICT$

Тогда функция $y = y(x)$ убывает на $[− π3;− π4),$ затем возрастает на $(− π4; π4),$ затем снова убывает на $(π4; π3].$ Следовательно, наибольшее значение функция принимает в одной из точек $π x =− 3$ или $π x = 4.$ Найдем значение функции в этих точках и сравним:

( π) 14π √ - 7π y − 3- = −-3- + 7 3− -2 + 11 = √ - 49π 49⋅3 = 11 +7 3− -6- <11 +7 ⋅2− -6--= = 11 +3,5− 24,5= − 10 ( π) 7π 7π y 4- = 2-− 7− -2 + 11 = 4

Тогда наибольшее значение функции на данном отрезке равно 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#32218

Найдите наибольшее значение функции $y =3x − 3 tg x− 5$ на отрезке $[ π-] 0; 4 .$

Показать ответ и решение

Функция $y =y(x)$ определена при всех

π x ⁄= 2 + πk, k ∈ ℤ

Определим участки, на которых функция возрастает или убывает. Для этого найдем ее производную:

2 y′ = 3−--32--= −3⋅ 1−-co2s-x- cos x cos x

Найдем нули производной:

y′ = 0 1− cos2x= 0 cosx =±1 x= πk, k ∈ ℤ

Найдем точки, где производная не существует:

cosx ⁄= 0 ⇔ x⁄= π-+ πk, k ∈ℤ 2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Тогда из точек, где производная равна нулю или не существует, в отрезок $[ π] 0;4$ попадает только нуль производной $x =0.$

$PICT$

При $x∈ [0; π4]$ производная отрицательна, что устанавливается подстановкой $x= π4.$ Следовательно, функция $y = y(x)$ убывает на всем отрезке $[0; π]. 4$ Значит, наибольшее значение функция принимает в левом конце отрезка:

y (0)= 0− 3tg0− 5 =− 5

Ответ: -5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#32217

Найдите наибольшее значение функции $y = 16tgx− 16x+ 4π − 5$ на отрезке $[− π;π]. 4 4$

Показать ответ и решение

Функция $y =y(x)$ определена при всех $x⁄= π+ πk,k∈ ℤ 2$ . Определим участки, на которых функция возрастает или убывает. Для этого найдем ее производную:

′ 16 1 − cos2x y = cos2x-− 16 =16⋅--cos2x-

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇔ 1− cos2x =0 ⇔ cosx =±1 ⇔ x =πn,n∈ ℤ

Найдем точки, где производная не существует:

π cosx ⁄=0 ⇔ x⁄= 2 + πk,k∈ ℤ

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Тогда из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок $[ ] − π4;π4$ попадает только нуль производной $x = 0$ .

$PICT$

При $[ π ) x∈ −4;0$ производная положительна (для проверки можно подставить в производную точку из этого промежутка $π x= −-6$ ), при $( π] x ∈ 0;4$ производная также положительна (подставляем $π x= 6$ ). Следовательно, функция $y = y(x)$ возрастает на всем отрезке $[ ] − π4;π4$ , значит, наибольшее значение принимает в конце отрезка, и оно равно

( ) ( ) y π = 16tg π − 16⋅ π+ 4π− 5= 16 − 4π+ 4π− 5= 11. 4 4 4

Ответ: 11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#32216

Найдите наибольшее значение функции $y = 3tgx − 3x+ 5$ на отрезке $[− π;0]. 4$

Показать ответ и решение

Функция $y =y(x)$ определена при всех $x⁄= π+ πk,k∈ ℤ 2$ . Определим участки, на которых функция возрастает или убывает. Для этого найдем ее производную:

′ 3 1− cos2 x y = cos2x-− 3 =3⋅-cos2x--

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ 1− cos2x =0 ⇔ cosx =±1 ⇔ x =πn,n∈ ℤ

Найдем точки, где производная не существует:

π cosx ⁄=0 ⇔ x⁄= 2 + πk,k∈ ℤ

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок $[ ] − π4;0$ попадает только нуль производной $x= 0$ .

$PICT$

При $[ π ] x∈ −4;0$ производная положительна (подставляем $π x= −4$ ). Следовательно, функция $y = y(x)$ возрастает на всем отрезке $[ π ] − 4;0$ , значит, наибольшее значение принимает в конце отрезка, и оно равно

y(0) =3tg0+ 5= 5.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#32215

Найдите наибольшее значение функции $18 y = 2cosx − π x+ 4$ на отрезке $[ 2π ] − 3 ;0 .$

Показать ответ и решение

Функция $y =y(x)$ определена при всех $x ∈ ℝ$ . Определим участки, на которых функция возрастает или убывает. Для этого найдем ее производную:

18 y′ = − 2sinx − π

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ sin x= − 9- ⇔ x ∈∅ π

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Так как нулей у производной не существует, то на всем $ℝ$ она принимает значения одного знака. Подставив $x = 0$ , мы понимаем, что $y′(x)< 0$ для всех $x.$

Следовательно, функция $y = y(x)$ убывает на всем $ℝ$ , значит, принимает наибольшее значение в начале отрезка, то есть в $x = − 2π 3$ , и оно равно

( ) ( ) 2π 2π- 18 2π y − 3 = 2cos − 3 + π ⋅3 + 4 =15

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#32214

Найдите наибольшее значение функции $36 y =10sinx− π x +7$ на отрезке $[ 5π ] − 6 ;0 .$

Показать ответ и решение

Функция $y =y(x)$ определена при всех $x ∈ ℝ.$ Определим участки, на которых функция возрастает или убывает. Для этого найдем ее производную:

36 y′ =10cosx−-π

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ cosx= -36 ⇔ x∈ ∅ 10π

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Так как нулей у производной не существует, то на всем $ℝ$ она принимает значения одного знака. Подставив $x = 0,$ мы понимаем, что $y′(x)< 0$ для всех $x.$

Следовательно, функция $y = y(x)$ убывает на всем $ℝ,$ значит, принимает наибольшее значение в начале отрезка, то есть в точке $x = − 5π : 6$

( ) ( ) 5π 5π 36 5π y − 6 =10 sin − 6 + π ⋅ 6 + 7= 32

Ответ: 32

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#32212

Найдите наибольшее значение функции $√ - √- y = 12 cosx +6 3⋅x− 2 3π +6$ на отрезке $[ π-] 0;2 .$

Показать ответ и решение

Функция $y =y(x)$ определена при всех $x ∈ ℝ$ . Определим участки, на которых функция возрастает или убывает. Для этого найдем ее производную:

√- ( √3-) y′ = −12sin x+ 6 3 = −12 sin x−-2-

Найдем нули производной:

( √ -) √- y′ = 0 ⇔ −12 sinx− --3 =0 ⇔ sinx = -3- 2 2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

На отрезке $[ π] 0;2$ содержится одна точка $π x = 3$ , в которой производная равна нулю. При $[ π) x∈ 0;3$ функция $y = y(x)$ возрастает, так как $√- sinx < 23$ , следовательно, $y′ > 0$ , а при $( ] x∈ π3; π2$ функция убывает.

Следовательно, $x= π3$ — точка максимума функции на отрезке $[0; π2]$ и в ней функция принимает наибольшее значение, равное

y( π)= 12cos π-+ 6√3⋅ π-− 2√3π+ 6 =12 ⋅ 1+ 6= 12 3 3 3 2

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#32211

Найдите наименьшее значение функции $y = 4x− 4 tgx +12$ на отрезке $[− π;0]. 4$

Показать ответ и решение

Функция $y =y(x)$ определена при всех $x⁄= π+ πk,k∈ ℤ 2$ . Определим участки, на которых функция возрастает или убывает. Для этого найдем ее производную:

′ 4 1− cos2x y= 4− cos2x-= −4⋅--cos2x-

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇔ 1− cos2x =0 ⇔ cosx =±1 ⇔ x =πn,n∈ ℤ

Найдем точки, где производная не существует:

π cosx ⁄=0 ⇔ x⁄= 2 + πk,k∈ ℤ

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Тогда из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок $[ ] − π4;0$ попадает только нуль производной $x= 0$ .

$PICT$

При $[ π ] x∈ −4;0$ производная отрицательна (подставляем $π x= − 4$ ). Следовательно, функция $y = y(x)$ убывает на всем отрезке $[ π ] − 4;0$ , значит, наименьшее значение принимает в конце отрезка, и оно равно

y(0)= 0− 4tg0+12= 12.

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#32210

Найдите наименьшее значение функции $y = −14x+ 7tgx + 7π +11 2$ на отрезке $[− π;π]. 3 3$

Показать ответ и решение

Функция $y =y(x)$ определена при всех $x⁄= π+ πk,k∈ ℤ 2$ . Определим участки, на которых функция возрастает или убывает. Для этого найдем ее производную:

′ 7 1− 2cos2x cos2x y= −14+ cos2-x = 7⋅-cos2x---=− 7⋅cos2x-

Найдем нули производной:

π π y′ = 0 ⇒ cos2x= 0 ⇔ x =-4 + 2n,n∈ ℤ

Найдем точки, где производная не существует:

cosx ⁄=0 ⇔ x⁄= π + πk,k∈ ℤ 2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Тогда из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок $[− π3;π3]$ попадают нули производной $x = − π4;π4$ .

$PICT$

Тогда функция $y = y(x)$ возрастает на $[ π π) − 3;− 4$ , затем убывает на $( π π) − 4;4$ , затем снова возрастает на $(π π] 4;3$ , следовательно, наименьшее значение принимает в одной из точек $π x= −3$ или $π x = 4$ . Найдем значение функции в этих точках и сравним:

( ) ( ) √ - y − π = 14π-+7 tg − π + 7π+ 11= 49π+ 11− 7 3 3 3 3 2 6 y (π)= − 7π-+ 7tg π+ 7π+ 11= 18 4 2 4 2

Очевидно, что $y = 18$ меньше.

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#32208

Найдите наименьшее значение функции $y = 2tg x− 4x +π− 3$ на отрезке $[− π ;π]. 3 3$

Показать ответ и решение

Функция $y =y(x)$ определена при всех $x⁄= π+ πk,k∈ ℤ 2$ . Определим участки, на которых функция возрастает или убывает. Для этого найдем ее производную:

′ 2 1− 2cos2x cos2x y =cos2x − 4= 2⋅-cos2x---=− 2⋅cos2x-

Найдем нули производной:

π π y′ = 0 ⇒ cos2x= 0 ⇔ x =-4 + 2n,n∈ ℤ

Найдем точки, где производная не существует:

cosx ⁄=0 ⇔ x⁄= π + πk,k∈ ℤ 2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Тогда из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок $[− π3;π3]$ попадают нули производной $x = − π4;π4$ .

$PICT$

Тогда функция $y = y(x)$ возрастает на $[ π π) − 3;− 4$ , затем убывает на $( π π) − 4;4$ , затем снова возрастает на $(π π] 4;3$ , следовательно, наименьшее значение принимает в одной из точек $π x= −3$ или $π x = 4$ . Найдем значение функции в этих точках и сравним:

( ) √ - y − π =− 2 3+ 4π+ π− 3 3 3 y (π)= 2− π+ π− 3= −1 4

Очевидно, что $y = −1$ меньше.

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#32207

Найдите наименьшее значение функции $y = 5tg x− 5x +6$ на отрезке $[0;π]. 4$

Показать ответ и решение

Функция $y =y(x)$ определена при всех $x⁄= π+ πk,k∈ ℤ 2$ . Определим участки, на которых функция возрастает или убывает. Для этого найдем ее производную:

′ 5 1− cos2 x y = cos2x-− 5 =5⋅-cos2x--

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ 1− cos2x =0 ⇔ cosx =±1 ⇔ x =πn,n∈ ℤ

Найдем точки, где производная не существует:

π cosx ⁄=0 ⇔ x⁄= 2 + πk,k∈ ℤ

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок $[ ] 0;π4$ попадает только нуль производной $x =0$ .

$PICT$

При $[ π ] x∈ 0;-4$ производная положительна (подставляем $π x = 4$ ). Следовательно, функция $y = y(x)$ возрастает на всем отрезке $[ π] 0;4$ , значит, наименьшее значение принимает в начале отрезка, и оно равно

y(0) =5tg0+ 6= 6.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#32206

Найдите наименьшее значение функции $y = 5sinx+ 24x+ 6 π$ на отрезке $[− 5π;0]. 6$

Показать ответ и решение

Функция $y =y(x)$ определена при всех $x∈ ℝ$ . Определим участки, на которых функция возрастает или убывает. Для этого найдем ее производную:

′ 24 y = 5cosx+ π-

Найдем нули производной:

24 y′ = 0 ⇒ cosx= −5π ⇔ x∈ ∅

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Так как нулей у производной не существует, то на всем $ℝ$ она принимает значения одного знака. Подставив $x= 0$ , мы понимаем, что $y′(x)>0$ для всех $x.$

Следовательно, функция $y = y(x)$ возрастает на всем $ℝ$ , значит, принимает наименьшее значение в начале отрезка, то есть в $x= − 5π6-$ , и оно равно

( ) ( ) y − 5π = 5sin − 5π − 24⋅ 5π +6 =− 16,5. 6 6 π 6

Ответ: -16,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#32205

Найдите наименьшее значение функции $y = 6cosx + 24x +5 π$ на отрезке $[− 2π-;0]. 3$

Показать ответ и решение

Функция $y =y(x)$ определена при всех $x∈ ℝ$ . Определим участки, на которых функция возрастает или убывает. Для этого найдем ее производную:

′ 24 y =− 6sinx+ π-

Найдем нули производной:

4 y′ = 0 ⇒ sinx = π ⇔ x∈ ∅

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Так как нулей у производной не существует, то на всем $ℝ$ она принимает значения одного знака. Подставив $x= 0$ , мы понимаем, что $y′(x)>0$ для всех $x.$

Следовательно, функция $y = y(x)$ возрастает на всем $ℝ$ , значит, принимает наименьшее значение в начале отрезка, то есть в $x= − 2π3-$ , и оно равно

( ) ( ) y − 2π =6 cos − 2π- − 24⋅ 2π +5 =− 14. 3 3 π 3

Ответ: -14