Поиск наибольшего/наименьшего значения у частного —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#32523

Найдите наибольшее значение функции $x2+-25- y = x$ на отрезке $[− 10;− 1].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ ∖{0}.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

2x ⋅x− (x2 +25) x2− 25 y′ =------x2------ = --x2--

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ x = ±5

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ [− 10;− 5)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает. При $x ∈(−5;−1]$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, $x= −5$ является точкой максимума и наибольшего значения функция достигает в этой точке:

25 +25 y(−5)= --−5-- = −10

Ответ: -10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#32522

Найдите наименьшее значение функции

x2+-49 y = x

на отрезке $[1;10].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x∈ ℝ∖{0}$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2x⋅x− (x2 +49) x2− 49 y = -----x2------= --x2--

Найдем нули производной:

y′ =0 ⇒ x= ±7

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ [1;7)$ производная отрицательна, то есть функция $y = y(x)$ убывает; при $x∈ (7;10]$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x =7$ является точкой минимума и наименьшего значения функция достигает в этой точке, и оно равно

y(7)= 49+-49= 14 7

Ответ: 14

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#32521

Найдите наименьшее значение функции

x2+-25 y = x

на отрезке $[1;10]$ .

Показать ответ и решение

Функция $y =y(x)$ определена при всех $x∈ ℝ∖{0}$ . Определим участки, на которых функция возрастает или убывает. Для этого найдем ее производную:

( 25)′ 25 x2− 25 y′ = x+ x- = 1− x2 =--x2--

Найдем нули производной:

y′ =0 ⇔ x2− 25 =0 ⇔ x= ±5

Производная не существует в точке $x= 0.$

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

Тогда из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок $[1;10]$ попадает нуль производной $x =5$ . При $x∈ [1;5)$ производная отрицательна (для проверки можно подставить в производную точку из этого промежутка $x= 1$ ), то есть функция $y = y(x)$ убывает; при $x∈(4;10]$ производная положительна (подставляем $x= 10$ ), то есть функция возрастает. Следовательно, на отрезке $[1;10]$ функция имеет точку минимума $x= 5$ , в которой и достигается наименьшее значение на этом отрезке, и оно равно

y(5)= 52+-25= 10 5

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#329

Найдите наименьшее значение функции $x2+-324 y = x$ на отрезке $[2;25].$

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ: $x⁄= 0.$

1) Найдем производную:

2 ( 2 ) 2 y′ = 2x--−-x2+-324-= x--− 3224 x x

Найдём критические точки, то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0 или не существует:

x2− 324 2 --x2---= 0 ⇔ x − 324= 0

на ОДЗ, откуда находим корни $x1 = − 18,$ $x2 = 18.$ Производная существует при всех $x$ из ОДЗ.

Таким образом,

y′ = (x-+18)(x-−-18) x2

Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ и промежутки монотонности $y :$

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ и промежутки монотонности $y$ на отрезке $[2;25]:$

$PIC$

4) Эскиз графика $y$ на отрезке $[2;25]:$

$PIC$

Тогда наименьшего значения на отрезке $[2;25]$ функция $y$ достигает в точке минимума $x= 18:$

2 y(18)= 18-+-324= 18+ 18= 36 18

Ответ: 36

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#2066

Найдите наибольшее значение функции $2 y = x-+-x-+--1- x2 + 1$ на отрезке $[− 10;1]$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольный.

1)

′ (2x-+-1)(x2-+-1) −-2x-⋅ (x2 +-x-+-1) −-x2-+-1- y = (x2 + 1)2 = (x2 + 1)2

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

2 −-x--+-1-= 0 ⇔ − (x-−-1-)(x-+-1)-= 0. (x2 + 1)2 (x2 + 1)2

Таким образом, $′ y = 0$ при $x = − 1$ и при $x = 1$ . Производная существует при любом $x$ .

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ на рассматриваемом отрезке $[− 10;1]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика на отрезке $[− 10;1]$ :

$PIC$

Таким образом, наибольшего на $[− 10;1]$ значения функция достигает в $x = − 10$ или в $x = 1$ . Сравним значения функции в этих точках.

y (− 10) = 100 −-10 +-1-= -91- y (1 ) = 1 +-1 +-1-= 1,5. 100 + 1 101 1 + 1

Итого: $1,5$ – наибольшее значение функции $y$ на $[− 10; 1]$ .

Ответ: 1,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#2065

Найдите наибольшее значение функции $2 y = 6 ⋅ 2x-+-0,5x-+--1 x + 2$ на отрезке $[0; 10]$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x + 2 ⁄= 0$ .

1)

′ (4x-+-0,5)(x-+-2)-−-1 ⋅-(2x2-+-0,5x-+-1) 2x2-+-8x- y = 6 ⋅ (x + 2 )2 = 6 ⋅(x + 2)2

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

2 6 ⋅ 2x-+-8x- = 0 ⇔ 6 ⋅ 2x(x-+-4)-= 0. (x + 2 )2 (x + 2)2

Таким образом, $′ y = 0$ при $x = 0$ и при $x = − 4$ . Производная не существует при $x = − 2$ .

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ на рассматриваемом отрезке $[0;10]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика на отрезке $[0;10]$ :

$PIC$

Таким образом, наибольшего на $[0;10 ]$ значения функция достигает в $x = 10$ .

y(10 ) = 6 ⋅ 200-+-5 +-1-= 103. 10 + 2

Итого: $103$ – наибольшее значение функции $y$ на $[0;10]$ .

Ответ: 103

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#2064

Найдите наименьшее значение функции $x2+-x+-4 y = x+ 1$ на отрезке $[0;3].$

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ: $x+ 1⁄= 0$ .

1) Найдем производную:

2 2 y′ = (2x+-1)(x-+1)−-1⋅2(x-+-x+-4)= x-+2x-−2 3 (x+ 1) (x + 1)

Найдём критические точки, то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0 или не существует:

x2 +2x − 3 (x+ 3)(x − 1) --(x-+-1)2- = 0 ⇔ ---(x-+1)2-- = 0

Таким образом, $y′ = 0$ при $x = 1$ и при $x = −3.$ Производная существует при всех $x$ из ОДЗ.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ и промежутки монотонности $y :$

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ и промежутки монотонности $y$ на рассматриваемом отрезке $[0;3]:$

$PIC$

4) Эскиз графика $y$ на отрезке $[0;3]:$

$PIC$

Значит, наименьшего на отрезке $[0;3]$ значения функция $y$ достигает в точке $x = 1:$

y(1)= 1+-1+-4= 3 1+ 1

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#1656

Найдите наибольшее значение функции $2 y = 13 ⋅ x-+-3x-+--6 x + 1$ на отрезке $[0;12 ]$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x ⁄= − 1$ . Решим на ОДЗ:

1)

′ (2x-+-3-)(x-+-1)-−-(x2-+-3x-+-6) x2 +-2x-−-3- y = 13 (x + 1)2 = 13 (x + 1)2 .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

2 13 x-+-2x-−--3-= 0 ⇔ x2 + 2x − 3 = 0 (x + 1)2

– на ОДЗ, откуда находим корни $x1 = 1, x2 = − 3$ . Производная функции $y$ не существует при $x = − 1$ , но $x = − 1$ не входит в ОДЗ. Таким образом,

(x − 1)(x + 3) y′ = 13--------------. (x + 1)2

Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ на рассматриваемом отрезке $[0;12]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика на отрезке $[0; 12]$ :

$PIC$

Таким образом, наибольшее на $[0;12]$ значение функция достигает в $x = 0$ или в $x = 12$ . Сравним эти значения:

$y(0) = 13 ⋅ 6-= 78 1$ ,

$y(12) = 13 ⋅ 186-= 186 13$ .

Итого: $186$ – наибольшее значение функции $y$ на $[0;12]$ .

Ответ: 186

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#2085

Найдите наибольшее значение функции $2x2 y = − --e----- 2x2 + 1$ на промежутке $[− 1;1]$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольный.

1)

′ e2x2 ⋅ 4x ⋅ (2x2 + 1) − 4x ⋅ e2x2 x3e2x2 y = − -------------2----2---------- = − 8 ⋅---2-----2 (2x + 1) (2x + 1)

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

2 --x3e2x--- − 8 ⋅(2x2 + 1)2 = 0 ⇔ x = 0.

Производная существует при любом $x$ .

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ на рассматриваемом промежутке $[− 1;1]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика на промежутке $[− 1;1 ]$ :

$PIC$

Таким образом, наибольшего на $[− 1;1]$ значения функция достигает в $x = 0$ .

y(0) = − 1-= − 1. 1

Итого: $− 1$ – наибольшее значение функции $y$ на промежутке $[− 1;1 ]$ .

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#779

Найдите наименьшее значение функции $√ -- y = ---2--⋅ x +-1- π-+ 1 sin x 4$ на полуинтервале $( ] 0; π 4$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $sin x ⁄= 0$ – выполнено на $( π ] 0;-- 4$ . Решим на ОДЗ:

1)

√2- (x + 1)′ ⋅ sinx − (sinx )′ ⋅ (x + 1) √2-- sin x − (x + 1)cos x y′ = π----- ⋅----------------2---------------= π-----⋅ ---------2---------. -- + 1 sin x --+ 1 sin x 4 4

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

√ -- ---2-- sin-x −-(x-+-1-)cosx- π- ⋅ sin2x = 0 ⇔ sin x − (x + 1 )cosx = 0 4 + 1

– на $( π ] 0;-- 4$ . При этом на $( π ] 0;-- 4$ имеем: $x + 1 ≥ 1$ , $cos x > 0$ , тогда $(x + 1)cos x ≥ cos x$ , но на $( π] 0;-- 4$ выполнено $sinx ≤ cosx$ , причём равенство $sin x = cos x$ достигается только при $π x = -- 4$ , следовательно, у уравнения

sin x − (x + 1 )cosx = 0

решением может быть только $π x = -- 4$ , но и оно не подходит, то есть производная исходной функции не обращается в $0$ на рассматриваемом полуинтервале. При этом на $( π] 0; -- 4$ производная $y ′$ всюду существует, тогда эта производная всюду на $( π ] 0;-- 4$ имеет один и тот же знак.

Так как

( ) √ -- ( ) √ -- ( ) √ -- sin π-− π-+ 1 cos π- √ -- --2-− π-+ 1 --2- ′ π- ---2-- ---4-----4----------4- ---2-- -2------4-------2-- y 4 = π- ⋅ 2 π- = π- ⋅ 1- = 4 + 1 sin 4 4 + 1 2 √ -- ( √ -) = ---2--⋅ − π---2 < 0, π-+ 1 4 4

то на полуинтервале $( π] 0; -- 4$ производная исходной функции отрицательна и на этом полуинтервале исходная функция убывает.

Тогда наименьшего значения функция достигает в $π x = -- 4$ :

( ) √ -- π-+ 1 √-- π-+ 1 y π- = ----2- ⋅4----- = ---2-- ⋅4√---- = 2 4 π-+ 1 sin π- π- + 1 2 4 4 4 ---- 2

Ответ: 2