Тема 12. Исследование функций с помощью производной
12.12 Поиск наибольшего/наименьшего значения у смешанных функций
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела исследование функций с помощью производной
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#32492

Найдите наименьшее значение функции        2
y = 4x − 10x +2 lnx − 5  на отрезке [0,3;3].

Показать ответ и решение

Функция определена при всех x >0.  Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

            2   8x2− 10x+ 2
y′ = 8x− 10+ x =-----x-----

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒   4x2− 5x+ 1 =0   ⇔   x= 0,25;1

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

PICT

При x∈ [0,3;1)  производная отрицательна, то есть функция y = y(x)  убывает. При x∈ (1;3]  производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение функция принимает в точке x = 1:

y(1)= 4− 10+ 2ln 1− 5= −11
Ответ: -11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#32491

Найдите наименьшее значение функции       2
y = 2x − 5x + lnx − 3  на отрезке [5 7]
 6;6 .

Показать ответ и решение

Функция определена при всех x >0  . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

           1   4x2− 5x+ 1
y′ = 4x− 5+ x =----x-----

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒   4x2− 5x+ 1= 0  ⇔   x = 0,25;1

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

PICT

При    [5  )
x∈  6;1 производная отрицательна, то есть функция y = y(x)  убывает; при    (  7]
x ∈ 1;6 производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение функция принимает в точке x= 1  , и оно равно

y(1)= 2− 5+ ln1− 3= − 6
Ответ: -6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#32490

Найдите наименьшее значение функции  y = 9x− ln(9x)+ 3  на отрезке [ 1 5-]
 18;18 .

Показать ответ и решение

Функция определена при всех x >0.  Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

       9
y′ = 9− 9x

Найдем нули производной:

y′ =0  ⇒   x= 1
              9

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

PICT

При    [ 1 1)
x∈  18;9 производная отрицательна, то есть функция y = y(x)  убывает. При    (1 5-]
x∈  9;18 производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение функция принимает в точке x = 19 :

 (  )
y  1 = 1 − ln1+ 3= 4
   9
Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#32489

Найдите наименьшее значение функции  y = 4x− 4ln(x+ 7)+ 6  на отрезке [− 6,5;0].

Показать ответ и решение

Функция определена при всех x >− 7.  Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

        4
y′ = 4− x+-7

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒   x + 7= 1  ⇔   x= − 6

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

PICT

При x∈ [− 6,5;−6)  производная отрицательна, то есть функция y = y(x)  убывает. При x ∈(−6;0]  производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение функция принимает в точке x = −6:

y(− 6) =− 24− 4ln(−6 +7)+ 6 =− 18
Ответ: -18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#32488

Найдите наименьшее значение функции                3
y = 3x− ln(x+ 3)  на отрезке [−2,5;0].

Показать ответ и решение

Функция определена при всех x >− 3  . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

       3(x+ 3)2       3
y′ = 3−-(x+-3)3-= 3− x-+-3

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒   x + 3= 1  ⇔   x= − 2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

PICT

При x∈ [− 2,5;− 2)  производная отрицательна, то есть функция y = y(x)  убывает; при x ∈(−2;0]  производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение функция принимает в точке x= −2  , и оно равно

y(−2)= −6 − ln(−2+ 3)3 = −6
Ответ: -6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#32487

Найдите наибольшее значение функции y = ln(11x) − 11x+ 9  на отрезке [-1 -5]
 22;22  .

Показать ответ и решение

Функция определена при всех x >0.  Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

     11
y′ = 11x − 11

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒   x = 1-
               11

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

PICT

При    [    )
x∈  122; 111 производная положительна, то есть функция y =y(x)  возрастает; при    (    ]
x∈  111; 522 производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, наибольшее значение функция принимает в точке x = 1-:
    11

  (  )
y  -1  = ln1 − 1+ 9= 8
   11
Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#32486

Найдите наибольшее значение функции

     2
y =2x − 13x +9lnx+ 8

на отрезке [13;15].
 14 14

Показать ответ и решение

Функция определена при всех x >0  . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

 ′         9   4x2 − 13x+ 9
y = 4x− 13+ x =----x-----

Найдем нули производной:

                                  9
y′ = 0 ⇒  4x2− 13x +9 =0  ⇔   x= 1;4

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

PICT

При x∈ [13;1)
    14 производная положительна, то есть функция y = y(x)  возрастает; при x ∈(1;15]
      14 производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, наибольшее значение функция принимает в точке x =1  , и оно равно

y(1)= 2− 13+ 9ln 1+8 =− 3
Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#32485

Найдите наибольшее значение функции  y =8 ln(x+ 7)− 8x+ 3  на отрезке [− 6,5;0].

Показать ответ и решение

Функция определена при всех x >− 7.  Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

     8
y′ = x+-7-− 8

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒   x + 7= 1  ⇔   x= − 6

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

PICT

При x∈ [− 6,5;−6)  производная положительна, то есть функция y = y(x)  возрастает. При x∈ (−6;0]  производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, наибольшее значение функция принимает в точке x =− 6:

y(−6)= 8ln(−6 + 7)+ 48+ 3 =51
Ответ: 51

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#32481

Найдите наибольшее значение функции           2  −4−x
y =(x +6) ⋅e  на отрезке [−6;−1].

Показать ответ и решение

Функция определена при всех x ∈ℝ.  Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

 ′         −4− x       2 −4− x
y = 2(x +6)e    − (x +6) e    =
     =− e−4− x(x2+ 10x+ 24)

Найдем нули производной:

 ′          2
y =0   ⇒   x + 10x +24 = 0  ⇔   x= −6;−4

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

PICT

При x∈ (−6;−4)  производная положительна, то есть функция y = y(x)  возрастает. При x∈ (− 4;− 1]  производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, наибольшее значение функция принимает в точке x =− 4:

             2  −4+4
y(− 4)= (− 4+ 6) ⋅e    = 4
Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#32480

Найдите наименьшее значение функции           2  −3−x
y = (x +3) ⋅e  на отрезке [−5;−1].

Показать ответ и решение

Функция определена при всех x ∈ℝ.  Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

 ′         −3− x       2 −3− x
y = 2(x +3)e    − (x +3) e    =
     = −e−3−x(x2+ 4x+ 3)

Найдем нули производной:

′          2
y= 0  ⇒   x  +4x +3 = 0  ⇔   x= − 3;− 1

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

PICT

При x∈ [− 5;− 3)  производная отрицательна, то есть функция убывает. При x ∈(−3;−1]  производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение функция принимает в точке x =− 3:

             2  −3+3
y(− 3)= (− 3+ 3) ⋅e    = 0
Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#32479

Найдите наибольшее значение функции

        2 x
y = (x − 2) ⋅e

на отрезке [− 5;1].

Показать ответ и решение

Функция определена при всех x ∈ℝ  . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

 ′        x       2 x  x  2
y = 2(x− 2)e + (x− 2) e = e(x − 2x)

Найдем нули производной:

 ′         2
y= 0  ⇒   x − 2x =0 ⇔   x= 0;2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

PICT

При x∈ [− 5;0)  производная положительна, то есть функция y = y(x)  возрастает; при x ∈(0;1]  производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, наибольшее значение функция принимает в точке x =0  , и оно равно

y(0)=(0− 2)2⋅e0 = 4
Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#32478

Найдите наименьшее значение функции          2  x−2
y = (x − 2) ⋅e  на отрезке [1;4].

Показать ответ и решение

Функция определена при всех x ∈ℝ  . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

y′ = 2(x− 2)ex−2+ (x− 2)2ex−2 = ex−2(x2− 2x)

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒   x2 − 2x = 0 ⇔   x= 0;2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

PICT

При x∈ [1;2)  производная отрицательна, то есть функция убывает; при x∈ (2;4]  производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение функция принимает в точке x= 2  , и оно равно

y(2)= (2− 2)2⋅e2−2 =0
Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#32477

Найдите наибольшее значение функции     ( 2         )  10−x
y = x − 10x+ 10 ⋅e  на отрезке [5;11].

Показать ответ и решение

Функция определена при всех x ∈ℝ.  Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′          10−x  ( 2        ) 10−x
y= (2x− 10)e   −  x − 10x + 10 e    =
        =− e10−x(x2− 12x+ 20)

Найдем нули производной:

 ′          2
y =0   ⇒   x − 12x +20 = 0 ⇔   x= 2;10

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

PICT

При x∈ [5;10)  производная положительна, то есть функция возрастает. При x∈ (10;11]  производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, наибольшее значение функция принимает в точке x= 10:

      (  2          )  10−10
y(10)=  10 − 10⋅10+ 10  ⋅e     = 10
Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#32476

Найдите наименьшее значение функции      (2       )  2−x
y = x  − 8x +8 ⋅e  на отрезке [1;7].

Показать ответ и решение

Функция определена при всех x ∈ℝ.  Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

 ′         2− x   2         2−x
y = (2x − 8)e  − (x − 8x+ 8)e   =
      = −e2−x(x2− 10x +16)

Найдем нули производной:

 ′          2
y = 0  ⇒   x − 10x+ 16= 0  ⇔   x =2;8

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

PICT

При x∈ [1;2)  производная отрицательна, то есть функция убывает. При x ∈ (2;7]  производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение функция принимает в точке x =2 :

        2          2−2
y(2)= (2 − 8⋅2+ 8)⋅e  = − 4
Ответ: -4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#32475

Найдите наибольшее значение функции     (  2         )  x
y = 3x − 36x+ 36 ⋅e  на отрезке [−1;4].

Показать ответ и решение

Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

 ′          x     2          x   x  2
y = (6x− 36)e + (3x − 36x + 36)e = e (3x  − 30x)

Найдем нули производной:

 ′           2
y = 0  ⇒   3x − 30x= 0  ⇔   x =0;10

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

PICT

При x∈ [− 1;0)  производная положительна, то есть функция возрастает. При x ∈ (0;4]  производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, наибольшее значение функция принимает в точке x= 0 :

y(0)= (3⋅02− 36⋅0+ 36)⋅e0 = 36
Ответ: 36

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#32474

Найдите наименьшее значение функции        2            x−10
y = (3x − 36x+ 36)⋅e  на отрезке [8;11].

Показать ответ и решение

Функция определена при всех x ∈ℝ.  Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

 ′          x−10    2          x−10
y = (6x− 36)e    + (3x − 36x+ 36)e   =
           = ex− 10(3x2− 30x)

Найдем нули производной:

 ′           2
y = 0  ⇒   3x − 30x= 0  ⇔   x =0;10

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

PICT

При x∈ [8;10)  производная отрицательна, то есть функция убывает. При x ∈(10;11]  производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение функция принимает в точке x =10 :

           2              10−10
y(10) =(3⋅10 − 36⋅10+ 36)⋅e    = −24
Ответ: -24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#32473

Найдите наибольшее значение функции

            10−x
y = (x − 9)⋅e

на отрезке [− 11;11].

Показать ответ и решение

Функция определена при всех x ∈ ℝ  . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

y′ = e10− x − (x− 9)e10−x = e10−x(10− x)

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒    x = 10

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

PICT

При x ∈ [− 11;10)  производная положительна, то есть функция y = y(x)  возрастает; при x ∈ (10;11]  производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, наибольшее значение функция принимает в точке x = 10  :

y(10) = (10 − 9)⋅e10−10 = 1
Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#32471

Найдите наибольшее значение функции            x−7
y = (8− x)⋅e  на отрезке [3;10].

Показать ответ и решение

Функция определена при всех x ∈ℝ.  Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

y′ = −ex−7+ (8− x)ex−7 = ex−7(7 − x)

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒   x= 7

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

PICT

При x∈ [3;7)  производная положительна, то есть функция y = y(x)  возрастает. При x ∈(7;10]  производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, наибольшее значение функция принимает в точке x =7 :

y(7)= (8 − 7)⋅e7−7 = 1
Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#32470

Найдите наименьшее значение функции

          9−x
y = (8− x)⋅e

на отрезке [3;10].

Показать ответ и решение

Функция определена при всех x ∈ℝ  . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

 ′   9−x        9−x  9−x
y =− e  − (8− x)e   = e  (x− 9)

Найдем нули производной:

 ′
y = 0  ⇒   x= 9

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

PICT

При x∈ [3;9)  производная отрицательна, то есть функция y = y(x)  убывает; при x∈ (9;10]  производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение функция принимает в точке x =9  , и оно равно

y(9) =(8− 9)⋅e9−9 = −1
Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#23594

Найдите наибольшее значение функции f(x) = (x+ 1)cosx − sinx  на отрезке [− 1;π].

Показать ответ и решение

Найдем производную заданной функции:

f ′(x) = ((x+ 1)cosx − sinx)′ = ((x + 1)cosx)′ − (sin x)′ = − (x+ 1)sinx +cosx − cosx = − (x + 1)sin x

Легко видеть, что на отрезке [− 1;π]  первый множитель зануляется при x = − 1  , а второй — при x = 0  и x = π  .

Применим метод интервалов для определения знаков производной. Есть одна критическая точка, отличная от концов отрезка [− 1;π]  . Следовательно, в ней знак производной будет меняться.

PIC

Теперь можем нарисовать эскиз графика. На промежутке (− 1;0)  производная функции f (x)  положительна, то есть исходная функция будет возрастать. На промежутке (0;π)  производная отрицательна, то есть исходная функция будет убывать.

PIC

По эскизу видно, что наибольшее значение на отрезке [− 1;π]  функция f(x)  принимает в точке x = 0  . Тогда

f(0) = (0 +1)cos0 − sin0 = 1⋅1− 0 = 1
Ответ: 1
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!