а) Тогда из числа 3259 получается число 362105459.

б) Второй цифрой обязана быть 6. Тогда ни 4, ни 2, ни 7 не могут быть третьей цифрой.

в) Если изначальным числом будет то получим число вида

Запишем это число в «почти каноническом» виде. Начнем с конца числа. Последняя цифра войдет в него с коэффициентом 1. Далее двузначное или однозначное число войдет в почти каноническое разложение с коэффициентом 10. Далее цифра войдет в него с коэффициентом где равно либо 2, либо 3 в зависимости от количества цифр числа Тогда число войдет в почти каноническое разложение с коэффициентом И, наконец, цифра войдет в него с коэффициентом где равно либо либо в зависимости от количества цифр числа

Тогда

Мы знаем, что 10 сравнимо с 1 по модулю 9, поэтому при любом натуральном значении число сравнимо по модулю 9 с то есть просто с 1. Таким образом, число сравнимо по модулю 9 с суммой

Значит, чтобы полученное число делилось на 9, нам нужно обеспечить делимость этой суммы на 9.

Заметим, что

Тогда делится на 9, а значит на 9 не делится.

и — цифры от 0 до 8. Если равна 8, то такое произведение делится на 9, противоречие. Значит, может принимать значения от 0 до 7.

Изначальное число 878 подходит, так как полученное из него число 8567568 делится на 9.

Если же в изначальном числе цифры и другие, то есть меньше, чем в числе 878, то и полученное из него число будет меньше чем 8567568.

Введем обозначения: — количество правильных ответов, — количество неправильных ответов, — количество отсутствующих ответов. Тогда по условию имеем:

Заметим, что левая часть делится на 8, значит, и правая часть должна делиться на 8, то есть

Таким образом, должно иметь остаток 7 при делении на 8, а значит представимо в виде где — целое неотрицательное число.

а) Нас просят найти при условии, что Составим систему:

Подставим

Заметим, что и — целые неотрицательные числа. Значит, можем совершить перебор по

• Если то
• Если то — противоречие, так как — целое.
• Если то — противоречие, так как

Значит, — единственный вариант.

б) Нас просят найти при условии, что Составим систему:

Подставим

Заметим, что и — целые неотрицательные числа. Значит, можем совершить перебор по

• Если то — противоречие, так как — целое.
• Если то
• Если то — противоречие, так как

Значит, — единственный вариант.

в) Нас просят найти при условии, что Составим систему:

Подставим

Заметим, что и — целые неотрицательные числа. Значит, можем совершить перебор по

• Если то — противоречие, так как — целое.
• Если то
• Если то — противоречие, так как

Значит, — единственный вариант.

а) Пусть — количество всех положительных чисел, — количество всех отрицательных чисел, — количество нулей. Тогда по условию

По определению среднего арифметического имеем:

Тогда — сумма всех положительных чисел, — сумма всех отрицательных чисел, — сумма всех чисел.

Так как сумма всех нулей равна нулю, то получаем равенство

Левая часть равенства делится на 6, следовательно, правая часть равенства делится на 6. Так как 7 на 6 не делится, то делится на 6. Так как то равно 48.

б) Так как то следовательно, Получаем следующую систему:

Тогда с учетом имеем:

Значит, следовательно, отрицательных чисел больше.

в) Требуется найти В предыдущем пункте мы получили, что

Заметим, что чем меньше тем больший мы получаем.

Еcли или то получается нецелым, что невозможно, так как это количество положительных чисел.

Если то Следовательно, Тогда

Приведем пример для такого количества положительных, отрицательных чисел и нулей. Возьмем 12 чисел, равных , 34 числа, равных и 2 нуля. Тогда среднее арифметическое всех положительных в точности равно среднее арифметическое всех отрицательных чисел в точности равно

При этом среднее арифметическое всех чисел равно

Следовательно,

а) Пусть куплено красных карандашей, тогда синих карандашей куплено На красные карандаши потрачено рублей, на синие — рублей. Тогда можно составить следующее неравенство:

Заметим, что мы можем составить именно неравенство, так как неизвестно, потратим мы все деньги на карандаши или нет.

Решим это неравенство:

Так как то число красных карандашей а число синих карандашей Возьмем 18 красных карандашей и 14 синих, и тогда условие задачи будет выполнено (число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей больше чем на пять). Проверим, достаточно ли нам денег:

Значит, ответ: да, можно.

б) Аналогично пункту а) пусть — число красных карандашей, — число синих. Тогда

Следовательно, красных не более 10, синих — не менее 25. Тогда разница между числом красных и синих карандашей как минимум 15, что не удовлетворяет условию задачи.

Значит, ответ: нет, нельзя.

в) Заметим, что так как нельзя купить 35 карандашей, то больше купить также нельзя. Действительно, пусть — число карандашей, которое можно купить. Тогда получаем неравенство

Так как то Следовательно, число красных карандашей не более 6, а тогда число синих карандашей не менее Тогда разница между числом красных и синих карандашей не менее 24, что не удовлетворяет условию задачи.

Проверим, можно ли купить 34 карандаша:

Следовательно, красных не более 13, синих — не менее 21. Тогда разница между числом красных и синих карандашей как минимум 8, что не удовлетворяет условию задачи.

Проверим, можно ли купить 33 карандаша:

Следовательно, красных не более 16, синих — не менее 17. Тогда можно взять 16 красных, 17 синих, разница между ними равна 1, что удовлетворяет условию задачи. Убедимся еще раз, что нам достаточно денег:

Да, достаточно, следовательно, наибольшее число карандашей, которое можно купить — это 33.

а) Упорядочим числа по возрастанию:

По принципу крайнего: если сумма четырех наименьших чисел больше суммы двух наибольших, то есть то сумма любых двух чисел из этого набора меньше суммы любых четырёх чисел из этого набора.

Возьмем числа

Здесь каждое следующее число, начиная со второго, на 1 больше предыдущего.

Тогда имеем:

Значит, такое возможно.

б) Возьмем такие числа:

Здесь каждое следующее число, начиная со второго, на 1 больше предыдущего.

Тогда имеем:

Значит, такиое возможно

в) Пусть есть некоторая последовательность чисел

удовлетворяющая условию задачи (то есть ).

Заметим, что, одновременно заменяя на и на если это не нарушает условия мы получаем новую последовательность

удовлетворяющую условию (так как сумма первых двух чисел при таком действии остается прежней: ), причем сумма всех чисел не меняется.

Проделаем такую операцию столько раз, сколько возможно, в результате чего мы получим, что числа и заменятся либо последовательно идущими числами и (например, если числа и равнялись 5 и 10, то мы их заменили на числа 7 и 8), либо отличающимися друг от друга на 2, то есть и (например, если числа и равнялись 5 и 9, то мы их заменили на числа 6 и 8). Далее работаем с последовательностью чисел где и такие, как описано в предыдущем предложении, а остальные остались прежними:

Рассмотрим «хвост» этой последовательности:

«Приближая» члены этого хвоста к то есть уменьшая члены так, чтобы их порядок оставался прежним, но разница между каждым членом и становилась меньше, мы получаем новую последовательность, которая продолжает удовлетворять условию «сумма первых четырех членов больше суммы последних двух» (так как сумма первых четырех членов не меняется, сумма последних двух становится только меньше), но сумма всех сорока чисел при этом становится меньше. Следовательно, у такой последовательности:

сумма всех чисел в последовательности будет меньше, чем у взятой изначально, значит, это действие приводит нас к построению последовательности с наименьшей возможной суммой всех членов.

Проделаем теперь следующую операцию: уменьшим одновременно на 1 члены последовательности

столько раз, сколько нужно, чтобы получить новую последовательность

Тогда, если мы проделали эту операцию раз, сумма первого и второго членов осталась прежней, сумма третьего и четвертого членов уменьшалась на а сумма последних двух членов уменьшалась на значит, все так же сумма первых четырех чисел больше суммы последних двух. Зато сумма всех сорока чисел стала еще меньше.

«Приближаясь» аналогично ко второму числу, то есть к (пусть мы каждый член, начиная с уменьшили на 1 раз), мы уменьшаем сумму первых четырех членов и сумму последних двух членов на следовательно, все так же сумма первых четырех чисел больше суммы последних двух. Зато сумма всех сорока чисел стала еще меньше.

Значит, получаем такую последовательность чисел, у которой, как следует из всего построения, сумма будет наименьшей:

Запишем для обоих видов последовательности условие о том, что сумма первых четырех чисел больше суммы последних двух:

Тогда получаем такие два вида последовательности:

Очевидно, что у 1-го вида сумма всех сорока чисел меньше, чем у 2-го вида, и она равна 2220.

а) Упорядочим числа по возрастанию:

Из условия задачи следует, что

Предположим, что Тогда имеем:

Рассмотрим сумму

Получили противоречие, следовательно, наибольшее число не может равняться 16.

б) Если среднее арифметическое 11-ти чисел равно 10, то их сумма равна 110:

Рассмотрим такую схему:

Следовательно,

Тогда Действительно, если то и то есть что неверно.

Если то значит,

Тогда получаем

Cледовательно, — противоречие. Значит, среднее арифметическое всех 11-ти чисел не может равняться 10.

в) Из пункта б) следует, что сумма всех 11-ти чисел равна

Следовательно, если нужно найти наименьшее значение среднего арифметического всех 11-ти чисел, то нужно найти наименьшее значение Тогда нужно найти наибольшее значение

Рассмотрим сумму

Так как она фиксированна, то чем больше мы делаем сумму тем меньше мы делаем сумму Следовательно, тем меньше мы делаем каждое из слагаемых Каждое из этих пяти слагаемых будет наименьшим, если это будут подряд идущие натуральные числа, то есть отличающиеся друг от друга на 1.

Пусть

Тогда будет максимальна, если мы возьмем максимальные и то есть Тогда получаем

Таким образом, при мы получаем, что сумма последних семи чисел равна 98, сумма Нетрудно показать, что существуют такие которые удовлетворяют условию задачи.

Допустим, что

Следовательно, у нас есть пример, при котором

Докажем, что не может быть больше 23. Предположим, что Тогда по тому же принципу, который использовался в пункте б), Следовательно,

Но тогда

Получили противоречие. Следовательно, и для построен пример.

Тогда и

То есть наименьшее значение, которое может принимать среднее арифметическое всех 11-ти чисел, равно

а) Да, может равняться 9, если взять числа 0, 1, 2, 3, 4. Тогда

б) Пусть 2 является суммой членов арифметической прогрессии с начальным членом и шагом Тогда

Заметим, что — целое число, значит, тоже целое. Тогда — делитель 4, то есть По предположению Противоречие.

в) Предствим любое натуральное число в виде суммы хотя бы пяти последовательных членов арифметической прогрессии. Рассмотрим последовательность …, При в такой последовательности не меньше шести членов, значит, она подходит под условие. Найдем ее сумму:

Если мы заменим числа на противоположные по знаку, то получим отрицательное число, значит, можем принимать все целые значения, которые больше 2 по модулю, то есть

По предыдущему пункту мы не можем получить число 2, значит, аналогично можем доказать, что число мы тоже не сможем получить.

Пусть 1 является суммой членов арифметической прогрессии с начальным членом и шагом Тогда

Заметим, что — целое число, значит, тоже целое. Тогда — делитель 2, то есть По предположению Противоречие. Аналогично докажем, что и число мы тоже не сможем получить.

Число 0 можно получить последовательностью Значит,

а) Рассмотрим 24 первых натуральных четных числа:

Их сумма равна:

Осталось подобрать 6 чисел, которые оканчиваются на 7. Возьмем 6 первых таких чисел:

Их сумма равна 192.

Тогда общая сумма равна Это на 18 меньше, чем требуемая сумма. Тогда мы можем увеличить одно из четных чисел на 18, например, и получить следующий пример:

б) Пусть из 30 написанных на доске чисел только два оканчиваются на 7. Тогда 28 оставшихся четны. Возьмем 28 первых натуральных четных чисел. Их сумма равна

Значит, сумма любых 28 четных натуральных чисел не меньше чем 812. Но сумма написанных на доске 30 натуральных чисел, 28 из которых четны, должна быть равна 810. Такое невозможно.

в) Заметим, что число 810 кратно 2, сумма четных чисел тоже кратна 2, тогда и сумма чисел, оканчивающихся на 7, должна быть кратна 2. Чтобы сумма нечетных чисел делилась на 2, слагаемых должно быть четное количество.

В предыдущем пункте мы доказали, что чисел, оканчивающихся на 7, на доске не может быть два или меньше. Тогда наименьшее возможное количество таких чисел — четыре. Построим пример на четыре числа, оканчивающихся на 7. Возьмем четыре наименьших таких числа:

Их сумма равна 88.

Осталось подобрать 26 четных натуральных чисел, сумма которых будет равна Возьмем 25 первых четных чисел, их сумма равна

Тогда последнее 26-е число равно и пример на четыре числа, оканчивающихся на 7:

а) Примером двадцати таких чисел является последовательнось 5014, 5015, …, 5032, 5033. Среди этих чисел есть три очень счастливых: 5014, 5023 и 5032.

б) Предположим, что разность двух очень счастливых четырёхзначных чисел может равняться 2016. Пусть — десятичная запись меньшего из них, а — десятичная запись большего из них.

Из условия следует, что либо либо, если при сложении и 2016 в разряде десятков был переход через десяток, Тогда

Значит, число даёт при делении на 9 или остаток 7, или остаток 6.

Аналогично из условия следует, что либо либо Тогда

Значит, число даёт при делении на 9 или остаток 2, или остаток 3. По условию

Но числа и дают разные остатки при делении на 9. Противоречие.

в) Покажем, что искомое простое число равно 11. Для начала приведем пример очень счастливого четырёхзначного числа, которое делится на 2, 3, 5 и 7 — число 1890.

Теперь докажем, что не существует очень счастливого четырёхзначного числа, кратного 11. Пусть — запись какого-либо очень счастливого числа, которое делится на 11. Тогда

Значит, число кратно 11. Поскольку и — цифры, отсюда следует, либо либо либо

В первом случае имеем и Вычитая эти равенства, получаем то есть — противоречие, поскольку все цифры должны быть различны.

Во втором случае и Вычитая эти равенства, получаем то есть — тоже противоречие, так как 11 не кратно 2. Аналогичное противоречие получается и в третьем случае. Значит, не существует очень счастливых четырёхзначные чисел, кратных 11.

Число делится на 11, если разность суммы цифр в нечетных разрядах и суммы цифр в четных делится на 11.

а) Нам нужно составить такое число, чтобы разность его суммы цифр в нечетных разрядах и суммы цифр в четных делилась на 11. Попробуем сделать так, чтобы такая разность была равна 0. Заметим, что

Тогда можем составить число .

б) Рассмотрим какое значение может принимать разность суммы цифр в нечетных разрядах и суммы цифр в четных, если мы можем переставлять только цифры , , , и .

Так как в итоге будет получаться пятизначное число, то на нечетных местах стоят 3 цифры, а на четных — 2. Тогда разность максимальна, если на нечетных местах стоят три наибольшие цифры, а на четных — две наименьшие, то есть

Аналогично оценим минимальную разность. Если на нечетных местах стоят три наименьшие цифры, а на четных — две наибольшие, то разность минимальна, то есть

Значит, если из цифр , , , и можно составить число, которое делится на 11, то разность суммы цифр в нечетных разрядах и суммы цифр в четных должна быть равна 0, то есть сумма цифр в нечетных разрядах равна сумме цифр в четных. Это значит, что сумма всех цифр должна быть четной, но . Следовательно, 12345 не является хорошим числом.

в) Докажем, что число, составленное из всех пяти нечетных цифр, не будет делиться на 11. Предположим обратное, пусть такое число можно составить. Пусть — сумма его цифр, стоящих в нечетных разрядах, а — сумма цифр в четных разрядах. Тогда

Понятно, что на нечетных местах стоят ровно три нечетные цифры, поэтому — нечетное число. Тогда — четное. Значит, разность — нечетное число. Так как мы предположили, что составленное нами число делится на 11, то тоже кратно 11.

Оценим : сумма цифр в нечетных разрядах минимальна, если сами цифры в них минимальны, тогда . Сумма цифр в нечетных разрядах максимальна, если сами цифры в них максимальны, тогда .

Аналогично оценим и получим, что . Тогда

Следовательно, если кратно 11, то , так как должно быть нечетным. Значит, можем составить систему:

Заметим, что никогда не может быть равно 7, так как должно быть четным. Тогда не существует числа, состоящего из всех пяти нечетных цифр, которое делится на 11.

Рассмотрим наибольшее четырехзначное число, состоящее из различных нечетных цифр. Это число . Заметим, что

Значит, число является хорошим, так как число кратно 11.

а) Докажем, что после операции сумма чисел в таблице не изменяется. Будем называть «соседними» те клетки, которые граничат с выбранной клеткой по стороне.

Если у выбранной клетки было соседних клеток, а сумма всех чисел в таблице была равна то после уменьшения чисел в соседних клетках на 1 сумма чисел во всей таблице стала равняться Тогда после увеличения числа в выбранной клетке на сумма чисел во всей таблице снова стала равняться

Изначально сумма чисел в таблице была равна Значит, после любого количества операций она останется равной 45.

б) Да, так могло получиться, если в первой строчке стояли числа 1, 5, 8. Во второй — числа 2, 3, 4. В третьей — числа 6, 7, 9. Тогда полученное число равно

в) В таблицу расставлено 9 натуральных чисел, значит, одно из них хотя бы 9. Будем вести перебор по наименьшему значению наибольшего числа.

Пусть можно расставить натуральные числа от 1 до 9 так, как это сказано в условии. Рассмотрим эту расстановку. Обратим внимание на число 7. Так как оно присутствует в таблице, то произведение хотя бы в одном столбце делится на 7. Значит, произведение чисел в любом столбце и в любой строке делится на 7. Заметим, что в таблице всего одно число, которое делится на 7, следовательно, в двух столбцах из трех нет числа, которое делится на 7. Тогда произведение в них не делится на 7. Противоречие. Значит, либо должно быть хотя бы три числа, которые делятся на 7, либо их не должно быть вовсе. Если такие три числа есть, то в таблице точно есть число не меньше 21. Пусть в таблице нет чисел, которые делятся на 7.

Пусть можно расставить натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 так, как это сказано в условии. Рассмотрим эту расстановку. Обратим внимание на числа 5 и 10. Так как они присутствуют в таблице, то произведение хотя бы в одном столбце делится на 5. Значит, произведение чисел в любом столбце и в любой строке делится на 5. Заметим, что в таблице всего два числа, которые делятся на 5, следовательно, в каком-то из трех столбцов нет числа, которое делится на 5. Тогда произведение в нем не делится на 5. Противоречие. Значит, либо должно быть хотя бы три числа, которые делятся на 5, либо их не должно быть вовсе. Если такие три числа есть, то в таблице точно есть число не меньше 15.

Пусть в таблице нет чисел, которые делятся на 5. Тогда оценим наименьшее значение наибольшего числа в таблице, взяв девять самых маленьких натуральных чисел, которые мы можем брать. Значит, в таблице расставлены числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12.

Заметим, что с числом 11 можно провести рассуждения, аналогичные рассуждениям с 7. Тогда либо в таблице есть число не меньше 33, либо нет чисел кратных 11.

Если таких чисел нет, то минимальные девять чисел это 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 13. Но с 13 можно провести аналогичные 7 рассуждения. Тогда минимальное возможное наибольшее число равно 15, потому что если есть число 14, то есть и число не меньше 21. Но 15 делится на 5, значит, среди чисел таблицы есть еще числа 5 и 10.

Тогда произведение в каждом столбце и строке должно делиться на 5. Для этого поставим числа 5, 10 и 15 в клетки одной из диагоналей. Тогда произведение в столбцах и строках должно делиться на 10 и на 15, то есть на 30.

Тогда будем пробовать строить пример на произведение, кратное 30. Для произведения 120 получим следующую расстановку:

Пусть в первой роте солдат, во второй — Запишем условия на и которые нам даны.

Далее идет условие про построение в ряды. Поймем, что оно на самом деле для нас означает. В каждом ряду могут стоять солдаты только одной роты, то есть ряды могут быть двух типов: только из солдатов первой роты, либо только из солдатов второй. Пусть в ряду человек, рядов первого типа второго тогда ясно, что Таким образом мы поняли, что условие про ряды фактически означает, что существует некоторое такое, что и

а) Подойдут, например, количества солдат 54 в первом взводе и 63 во втором взводе при

б) Заметим, что

То есть более полным и удобным для нас комплектом условий будет

Эти условия можно сформулировать так: и это два числа, кратные некоторому лежащие между 50 и 70 и имеющие сумму меньше 120.

Проверим, может ли быть равно 11. Только два числа между 50 и 70 кратны 11 — 55 и 66, но их сумма больше 120. Значит, такого быть не может.

в) Будем перебирать по начиная с 8, наверх и рассматривать все возможные натуральные кратные этому

При подходят только 56 и 64, но их сумма не меньше 120.

При подходят только 54 и 63, они подходят, их сумма 117.

При подходит только 60.

При по пункту б) нет возможных вариантов.

При подходит только 60.

При подходят 52 и 65, их сумма 117.

При подходит только 56.

При подходит только 60.

При подходит только 64.

При подходят 51 и 68, их сумма 119.

При подходит только 54.

При подходит только 57.

Дальше перебирать нет смысла, т.к. чтобы два различных числа были кратны некоторому их разность должна быть не меньше 20, значит, они не могут одновременно лежать в интервале

Итого, общее количество людей может быть равно 117 или 119.

Заметим, что количество нулей в конце числа равно количеству пятерок в его разложении на простые множители. Действительно, каждый 0 эквивалентен в разложении на простые, при этом в факториале двоек в разложении всегда больше, чем пятерок. Это так, поскольку а факториал — произведение некоторого количества подряд идущих натуральных чисел, начиная с 1, то есть двойки просто появляются чаще.

а) Нам нужно, чтобы факториал содержал ровно 9 пятерок. Будем по одному добавлять числа, кратные 5, по возрастанию, пока не наберем

Таким образом, 40! подойдет.

б) Очевидно, что количество нулей в конце факториала не убывает. Также заметим, что следующие числа имеют одинаковое количество нулей на конце, так как степени вхождения пятерки в них одинаковые:

Рассмотрим снова числа, кратные 5:

Несложно видеть, что 95! имеет 22 нуля на конце, а 100! имеет уже 24 нуля на конце. Значит, искомого не существует.

в) Рассмотрим натуральные числа от 1 до 99. Заметим, что эти числа симметричны относительно числа 50 с точки зрения степени вхождения 5 в разложение на простые множители.

Таким образом, для любого натурального следующие два числа имеют одинаковое количество нулей на конце:

Подставив получим, что следующие два числа имеют одинаковое количество нулей на конце, иначе говоря, содержат 10 в равных степенях:

Тогда следующие два числа эквивалентны с точки зрения нашей задачи, то есть содержат 10 в равных степенях:

Осталось понять, при каких число содержит 10 ровно в 23 степени. Мы уже знаем, что 99! содержит 10 в 22 степени, значит, должно быть кратно 5, но не кратно Несложно посчитать, что среди чисел от 1 до 99 существует 16 таких

Это красивое решение задачи. Также пункт в) несложно решается перебором.

а) Да, например, числа на круге можно расположить так:

б) Рассмотрим число 13. Оно простое и взаимно просто со всеми остальными числами, следовательно, оба НОДа с его участием будут равны 1. Значит, такое невозможно.

в) Рассмотрим числа 11, 13 и 17. Они простые и взаимно просты со всеми остальными числами, следовательно, все НОДы с их участием будут равны 1. Пусть они стоят по кругу в некотором порядке. Каждое из чисел участвует ровно в двух НОДах.

Пусть — количество пар соседних среди наших чисел, тогда очевидно, что а количество НОДов единичек не менее чем Всего 10 НОДов, среди которых хотя бы 4 единицы, значит, различных НОДов не более чем 7.

Построим пример с учетом знания того, что для достижения максимума числа 11, 13 и 17 должны стоять подряд:

а) Да, может. Пусть стерты оказались пары

Тогда остались числа 2, 3, 5, 10 с суммой 20.

б) Заметим, что число, кратное 5, может быть стерто в паре только с другим числом, кратным 5. Таким образом, четность количества чисел, кратных 5, не меняется после стираний.

Посчитаем, сколько чисел, кратных 5, содержится среди чисел от 103 до 208. Наименьшее из них, кратное 5, равно 105, наибольшее — 205. Тогда всего чисел, кратных 5, будет ровно

Пусть остались числа и Тогда хотя бы одно из них должно делиться на 5, так как 21 нечетно и хотя бы одно кратное 5 число не будет вычеркнуто, но тогда и второе должно делиться 5, так как Значит, каким-то образом последовательность вычеркиваний изменила количество чисел, кратных 5, с 21 до 2, что противоречит факту про четность, доказанному выше.

в) Посчитаем количество чисел с каждым из остатков по модулю 5 среди чисел от 103 до 208, то есть заменим числа на их остатки по модулю 5 и посчитаем количество каждого из остатков. Так как число 103 дает остаток 3 по модулю 5, то блок длины 5, который будет повторяться, начинается с 3:

Всего от 103 до 208 включительно 106 чисел. Количество таких полных блоков равно 21 как целая часть от деления Остаток равен 1, следовательно, после последнего цельного блока будет стоять остаток 3 и ему соответствует последнее число 208. Получаем, что остаток 3 встречается 22 раза, остатки 4, 0, 1 и 2 по 21 разу.

В пункте б) мы уже доказали, что среди двух оставшихся чисел будет хотя бы одно, кратное 5. Кроме того, хотя бы одно будет давать остаток 3, так как число, дающее остаток 3, должно вычеркиваться в паре с числом, дающим остаток 2, при этом остаток 3 дают 22 числа, а остаток 2 — только 21 число.

Мы доказали, что из двух оставшихся чисел одно будет делиться на 5, а второе — давать остаток 3. Разберем два случая:

• Большее из чисел дает остаток 3. Мы хотим максимизировать отношение, значит, мы должны минимизировать меньшее число и максимизировать большее. Наибольшее число с остатком 3 — это 208, наименьшее с остатком 0 — 105, тогда в этом случае максимальное отношение равно
• Большее из чисел дает остаток 0. Мы хотим максимизировать отношение, значит, мы должны минимизировать меньшее число и максимизировать большее. Наибольшее число с остатком 0 — это 205, наименьшее с остатком 3 — 103, тогда в этом случае максимальное отношение равно

Сравним полученные дроби:

Тогда наибольшее значение равно

a) Каждый пират должен получить количество дукатов, равное

Выдадим 15 пиратам по 4 монеты достоинством 5 дукатов, троим — по 20 монет достоинством 1 дукат.

б) Каждый пират должен получить количество дукатов, равное

Тогда нужно будет выдать каждому не менее 4 монет достоинством 1 дукат. Значит, всего монет достоинством 1 дукат нужно не менее 160 штук, а в сундуке их только 60. Следовательно, без сдачи и размена поделить все монеты поровну не получится.

в) Рассмотрим случай, когда пиратов 17 или больше. Приведём пример раздела, который капитан не сможет реализовать.

Пусть капитан хочет достичь следующего раздела: 16 пиратов должны получить по 4 дуката, один — все оставшиеся деньги, остальные, если они есть, — ничего. Тогда распределить монеты нельзя по тем же причинам, что и в пункте б).

Пусть пиратов 16. Покажем, как реализовать произвольный раздел. Заметим, что если некоторый раздел можно осуществить с помощью монет по 5 дукатов, то его можно осуществить и с помощью монет по 5 и по 1 дукату (при том, что сумма денег одна и та же), просто формируя пятерки из единиц.

Пусть некоторому пирату полагается дукатов. Выдадим ему количество дукатов, равное остатку числа по модулю 5, монетами по 1 дукату. Произведем эту операцию с каждым пиратом.

Сумма таких остатков для всех пиратов должна быть кратна 5, так как общая сумма денег кратна 5. Также эта сумма не больше чем так как каждому пирату придется выдать не более 4 монет по одному дукату, ведь остаток числа при делении на 5 не превышает 4. Наибольшее натуральное число, не превышающее 64 и кратное 5, равно 60. Значит, для описанной процедуры точно хватит монет по 1 дукату.

После вышеописанного каждому пирату недовыдано некоторое количество монет, кратное 5. Тогда очевидно, что оставшиеся монеты можно распределить нужным образом.

Обозначим количество ясеней через , количество дубов через . Запишем систему неравенств, отражающую все условия задачи

а) Проверим, является ли пара решением системы.

Все условия удовлетворены, значит, такое возможно.

б) Проверим, является ли пара решением системы.

При таком количестве дубов и ясеней нарушается второе неравенство системы, значит, такого быть не могло.

в) Из второго неравенства системы получим

Объединяя результат с третьим неравенством системы, получим

Мы доказали, что количество дубов не должно превышать 8. Попробуем найти такое количество ясеней, чтобы при 7 дубах все неравенства системы были удовлетворены. Для этого просто подставим в систему и решим ее относительно .

При 13 ясенях и 7 дубах все условия выполняются, следовательно, максимально возможное количество дубов равно 7.

а) Пусть — количество дней, в течение которых девочки фотографировали. Тогда в последний день Наташа сделала фотографий, Маша — фотографий. Предположим, что

Следовательно, всего Наташа сделала фотографий (сумма первых пяти членов арифметической прогрессии), Маша: фотографий. Тогда можно составить уравнение

где — любые натуральные числа. Из полученного уравнения мы видим, что можно подставить вместо и любые натуральные числа и никакого противоречия не будет.

Пусть Тогда на пятый день Наташа сделала 328 фотографий, Маша — 5 фотографий. Всего Наташа сделала фотографий, Маша сделала фотографий. И действительно,

Таким образом, ответ: да.

б) Предположим, что Поступая аналогично пункту а), получим следующее уравнение

Так как — натуральные числа, то нет ни одного натурального числа, удовлетворяющего полученному уравнению. Следовательно, ответ: нет.

в) В общем виде условие, что Наташа сделала суммарно на 1615 фотографий больше, чем Маша, можно записать так:

Заметим, что

Так как в последний день Маша сделала фотографий, и это число меньше 30, то отсюда получаем или (так как числа и — натуральные).

Следовательно, можно сказать, что

Из уравнения

Тогда можно сделать вывод, что равно либо 5, либо 17, либо 19. Рассмотрим все три случая.

1. Пусть Тогда Также тогда Следовательно, сумма сделанных Наташей фотографий равна

   

   причем равенство достигается, когда

2. Пусть Тогда Следовательно,

   

3. Пусть Тогда Тогда

   

Таким образом мы видим, что наибольшее количество фотографий будет сделано Наташей за 19 дней, если

Выполним проверку. Наташа делала 96, 97, …, 114 фотографий в 1, 2, …, 19 день соответственно.

Маша делала 11, 12, …, 29 фотографий в 1, 2, …, 19 день соответственно.

Всего Наташа сделала фотографий.

Всего Маша сделала фотографий.

Действительно,

а) Все глыбы по т можно увезти в 12 грузовиках (5 глыб в одном грузовике).

Все глыбы по т можно увезти в 27 грузовиках (26 грузовиков по 3 глыбы и 1 с двумя глыбами).

Все глыбы по т можно увезти в 8 грузовиках (7 грузовиков по 7 глыб и 1 с одной глыбой).

Всего при таком разложении глыб нужно грузовиков, а у нас — 65.

Ответ: да.

б) Заметим, что масса всех глыб равна: т и грузоподъемность 43-х грузовиков равна также т. Следовательно, если и возможно вывезти все глыбы на 43 грузовиках, то каждый грузовик должен быть забит полностью.
Пусть в грузовике глыба массой т. Тогда, чтобы он был забит полностью, в нем должно быть еще ровно 4 такие глыбы, то есть всего 5 таких глыб, и одна глыба массой т. Следовательно, чтобы вывести глыбы по т, нужно 10 грузовиков, и тогда будет вывезено также еще 10 глыб по т.
Остается 70 глыб по т и 60 глыб по т и 33 грузовика.
Если в грузовике будет глыба по т, то таких глыб должно быть всего 2, а также 2 глыбы по т (чтобы грузовик был забит полностью). Следовательно, чтобы вывезти все глыбы по т, нужно 30 грузовиков. Тогда останется 10 глыб по т и 3 грузовика. Видим, что мы не можем поместить 10 таких глыб в 3 грузовика.
Ответ: нет.

в) В предыдущем пункте мы показали, что увезти все глыбы на 43 грузовиках не получится. На меньшем количестве грузовиков также не получится, так как их суммарная грузоподъемность будет меньше суммарной массы всех глыб.
Следовательно, грузовиков нужно точно . Докажем, что на 44 грузовиках можно вывезти все глыбы.
Возьмем разложение глыб по грузовикам из пункта б). На последнем шаге у нас осталось 10 глыб по т и использовано уже 40 грузовиков. Но 10 глыб по т можно спокойно увезти на 4-х грузовиках. Таким образом, получаем, что всего использовано 44 грузовика. Чтд.

а) Предположим, что выполняется равенство

Тогда где — натуральное число. Так как — двузначные числа, то наименьшее значение их суммы равно

Возьмем Тогда Следовательно, можно взять, например,

Ответ: да.

б) Предположим, что может быть

Перепишем это равенство в другом виде:

Докажем, что

Из этого будет следовать, что предположение неверно и такое равенство невозможно. Рассмотрим первое неравенство.

Так как все числа двузначные, то Следовательно, а значит и левая дробь всегда строго больше правой.

Аналогично доказывается второе неравенство.

Следовательно, ответ: нет.

в) Так как все числа натуральные, то из можно сделать вывод, что Аналогично С учетом этого оценим дробь:

Таким образом, наименьшее значение выражение будет принимать при наименьшем значении выражения Так как при фиксированном числителе дробь тем меньше, чем больше ее знаменатель, то максимизируем знаменатель, то есть максимизируем

Так как — двузначное, то максимальное значение для — это 99, следовательно, и Таким образом, получаем:

Теперь для того, чтобы полученное справа выражение было как можно меньше, нужно сделать как можно больше дробь то есть сделать как можно меньше

Наименьшее значение для — это 10. Следовательно:

Таким образом, если наименьшее значение достигается, то