а) Да, например, если трёхзначным будет число 270, а четырёхзначным — число 1935. Тогда их сумма будет равна

Заметим, что а

б) Если оба числа кратны 45, то и их сумма будет кратна 45. В частности, она также будет кратна 9. Но число 3435 не делится на 9:

Значит, эта сумма не может быть равна 3435.

в) По признаку делимости на 5, если число делится на 5, то оно оканчивается на 0 или на 5. Оба числа из условия должны делиться на 5, так как они делятся на 45. Тогда в одном из них на конце стоит 0, а в другом — 5.

По признаку делимости на 9, если число делится на 9, то и его сумма цифр делится на 9. Сумма всех цифр равна

Тогда у одного числа сумма цифр будет равна 18, а у другого — 9, потому что обе эти суммы должны быть больше 0.

Заметим, что если в числе есть 9, то в нем еще есть хотя бы одна ненулевая цифра, то есть сумма его цифр больше 9, а значит равна 18.

Если цифра 9 входит в трёхзначное число, то вторая цифра (не по счёту) у него либо 0, либо 5, но в таком случае третья должна быть либо 9, либо 4. Таких цифр нет, поэтому 9 содержится в четырёхзначном числе.

Тогда есть два варианта: либо в четырёхзначном числе есть 9 и 0, либо — 9 и 5.

1)

Если есть 9 и 0, то сумму 18 можно набрать только с цифрами 7 и 2. Тогда четырёхзначное число состоит из цифр 9, 7, 2, 0 и наибольшее число, которое из них можно составить, чтобы оно делилось на 45, равно 9720.

Тогда трёхзначное число состоит из цифр 5, 3, 1 и наибольшее число, которое из них можно составить, чтобы оно делилось на 45, равно 315.

Тогда сумма этих чисел равна

2)

Если есть 9 и 5, то сумму 18 можно набрать только с цифрами 3 и 1. Тогда четырёхзначное число состоит из цифр 9, 5, 3, 1 и наибольшее число, которое из них можно составить, чтобы оно делилось на 45, равно 9315.

Тогда трёхзначное число состоит из цифр 7, 2, 0 и наибольшее число, которое из них можно составить, чтобы оно делилось на 45, равно 720.

Тогда сумма этих чисел равна

Значит, максимально возможная сумма чисел равна 10035.

а) Да, можно, например так:

б) Рассмотрим пару где и совершим с ней два хода:

Таким образом, за ходов из пары мы можем получить только пары вида

После одного хода из мы получим Тогда за ход из пары мы можем получить только пары вида

Число не равно ни ни Следовательно, пару невозможно получить за несколько ходов из пары

в) Заметим, что числа любой пары, которую мы можем получить, одной четности: если изначально и разной четности, то и — нечетные; если и одной четности, то и — четные.

Теперь поймем, из какой пары можно было получить Пусть Тогда

Таким образом, пару можно было получить только из пары Ее в свою очередь можно было получить только из пары

Заметим, что числа в паре разной четности, значит, такую пару нельзя было получить с помощью операции из условия. Тогда наименьшее число в паре из которой за несколько ходов можно получить пару равно 612.

а) Заметим, что при каждом действии сумма чисел увеличивается ровно на 1. Действительно, рассмотрим каждое действие по отдельности.

Если было и стало то сумма стала равной

Если было и стало то сумма стала равной

Значит, за 50 ходов сумма увеличится на 50, то есть будет равна

Так как числа всегда остаются натуральными, то при такой сумме ни одно из чисел не может равняться 100.

б) Как было показано в пункте а), сумма чисел увеличивается на 1 после каждого хода. Начальная сумма чисел равна 12. Тогда для достижения искомой суммы понадобится количество ходов, равное

Эту сумму можно получить путём 194-кратного применения следующего алгоритма:

в) Рассмотрим разность вида «второе число — первое число». Изначально она равна Далее возможны два варианта.

Первый вариант:

Второй вариант:

Числа и имеют одинаковый остаток при делении на 3. То есть разность второго и первого чисел (именно в этом порядке) всегда даёт один и тот же остаток при делении на 3. Изначально эта разность равна то есть даёт остаток 2 при делении на 3.

Приведем пример на 187 ходов, когда из чисел (5, 7) сделаем пару чисел (100, 99) следующим образом:

Предположим, что ходов хотя бы 188. Тогда сумма чисел составит хотя бы

С учётом требуемого условия это возможно, только если оба числа равны 100 и ходов было 188. Однако это невозможно, поскольку в таком случае разность чисел не дает остаток 2 при делении на 3. Получили противоречие. Следовательно, наибольшее число ходов равно 187.

а) Да, могло. Если в классе учились 9 девочек и 16 мальчиков, то процентная доля девочек была равна

При этом условие на общее количество детей в классе выполняется, так как

б) Пусть изначально в классе учились детей, при этом из них — девочки. В этом случае процентная доля девочек составляла

Мы знаем, что изначальная процентная доля девочек была не более 46%, значит,

После перевода еще одной девочки в класс количество девочек в классе стало равно а количество детей — Тогда в этом случае процентная доля девочек составила

Тогда, так как 51% < 55%, сравним

Заметим, что Тогда сравним

Заметим, что по условию Тогда

Таким образом,

Следовательно, меньше 55%, то есть после перевода в класс еще одной девочки их процентная доля не могла стать равной 55%.

в) В пункте б) мы доказали, что после перевода девочки их процентная доля в классе меньше 51%.

Значит, наибольшее целое значение, которое могла принимать процентная доля девочек, равно 50%. Если изначально было 5 девочек и 6 мальчиков, то исходная доля девочек была равна

Сравним и

Значит, Тогда после перевода еще одной девочки в класс процентная доля девочек стала равняться

а) Заметим, что при каждом действии сумма чисел увеличивается ровно на 1. Действительно:

• Если было и стало то сумма стала
• Если было и стало то сумма стала

Значит, за 100 ходов сумма увеличится на 100, то есть будет равна Так как числа всегда остаются натуральными, то при такой сумме ни одно из чисел не может равняться 200.

б) Как было показано в пункте а), сумма чисел увеличивается на 1 после каждого хода. Начальная сумма чисел равна 9. Тогда понадобится ровно ход для достижения искомой суммы, которую можно получить путём проведения следующего алгоритма, состоящего из двух операций:

За 145 таких операций мы получим пару Тогда следующим шагом можем получить пару где

в) Рассмотрим разность вида «второе число — первое число». Изначально она равна Далее возможны два варианта: либо Числа и имеют одинаковый остаток при делении на 3, то есть разность второго и первого чисел (именно в этом порядке) всегда даёт один и тот же остаток при делении на 3. Изначально эта разность равна то есть даёт остаток 1 при делении на 3.

Сумма чисел в паре каждый ход увеличивается ровно на 1, поэтому, так как оба числа в паре не превышают 200, можно сделать не более хода.

Заметим, что если мы сделали ровно 391 ход и получили требуемое, то оба числа равны 200. В таком случае их разность равна 0 и дает остаток 0 при делении на 3.

Таким образом, мы не могли сделать 391 ход. Приведем пример на 390 ходов. Для этого совершим следующий алгоритм 195 раз:

Тогда получим

а) Да, можно, например так:

б) Рассмотрим пару где и совершим с ней два хода:

Таким образом, за ходов из пары мы можем получить только пары вида

После одного хода из мы получим Тогда за ход из пары мы можем получить только пары вида

Число 408 не равно ни ни Следовательно, пару невозможно получить за несколько ходов из пары

в) Заметим, что числа любой пары, которую мы можем получить, одной четности: если изначально и разной четности, то и — нечетные; если и одной четности, то и — четные.

Теперь поймем, из какой пары можно было получить пару Пусть Тогда

Таким образом, пару можно было получить только из пары Ее в свою очередь можно было получить только из пары

Заметим, что числа в паре разной четности, значит, такую пару нельзя было получить с помощью операции из условия. Тогда наименьшее число в паре из которой за несколько ходов можно получить пару равно 204.

а) Да, можно, например так:

б) Рассмотрим пару где и совершим с ней два хода:

Таким образом, за ходов из пары мы можем получить только пары вида

После одного хода из мы получим Тогда за ход из пары мы можем получить только пары вида

Число 806 не равно ни ни Следовательно, пару невозможно получить за несколько ходов из пары

в) Заметим, что числа любой пары, которую мы можем получить, одной четности: если изначально и разной четности, то и — нечетные; если и одной четности, то и — четные.

Теперь поймем, из какой пары можно было получить пару Пусть Тогда

Таким образом, пару можно было получить только из пары Ее в свою очередь можно было получить только из пары

Заметим, что числа в паре разной четности, значит, такую пару нельзя было получить с помощью операции из условия. Тогда наименьшее число в паре из которой за несколько ходов можно получить пару равно 403.

а) Да, можно:

б) Предположим, что это можно сделать. Если изначально была дробь то спустя два хода дробь стала:

Заметим, что при данных действиях несократимая дробь остается несократимой, так как по алгоритму Евклида

Значит, если дробь стала равна то это в точности дробь Тогда Поскольку и — натуральные числа, то второе равенство может быть верно, только если Однако, в таком случае Получим противоречие. Значит, дробь через 2 хода получиться не могла.

в) Из пункта б) известно, что если была дробь то спустя два хода дробь станет равна Тогда

Выразим через и

Заметим, что Тогда

Выразим через и

Заметим, что Тогда

Изначальная дробь должна быть правильной, поэтому

Тогда

Докажем, что все значения от до можно получить из правильной несократимой дроби. Понятно, что по дроби, которую мы хотим получить за два хода, можно восстановить начальную, так как

Осталось проверить, что такая дробь правильная и несократимая. Она правильная, так как мы накладывали условия и ранее. Тогда осталось проверить то, что она несократима. Дробь мы будем восстанавливать по несократимой дроби поэтому

Тогда по алгоритму Евклида

Значит, если — несократимая, то и — несократимая.

Таким образом, наибольшее значение, которое нельзя получить из правильной несократимой дроби за 2 хода, равно

а) Да, можно:

б) Предположим, что это можно сделать. Если изначально была дробь то спустя два хода дробь стала:

Заметим, что при данных действиях несократимая дробь остается несократимой, так как по алгоритму Евклида

Значит, если дробь стала равна то это в точности дробь Тогда Поскольку и — натуральные числа, то второе равенство может быть верно, только если Однако, в таком случае Получим противоречие. Значит, дробь через 2 хода получиться не могла.

в) Из пункта б) известно, что если была дробь то спустя два хода дробь станет равна Тогда

Выразим через и

Заметим, что Тогда

Выразим через и

Заметим, что Тогда

Изначальная дробь должна быть правильной, поэтому

Тогда

Значит, если — правильная дробь, то значение получить нельзя.

Докажем, что все остальные значения от до можно получить из правильной несократимой дроби. Понятно, что по дроби, которую мы хотим получить за два хода, можно восстановить начальную, так как

Осталось проверить, что такая дробь правильная и несократимая. Она правильная, так как мы накладывали условия и ранее. Тогда осталось проверить то, что она несократима. Дробь мы будем восстанавливать по несократимой дроби поэтому

Тогда по алгоритму Евклида

Значит, если — несократимая, то и — несократимая.

Таким образом, наименьшее значение, которое нельзя получить из правильной несократимой дроби за 2 хода, равно

а) Да, могло. Если в классе учились 5 девочек и 20 мальчиков, то процентная доля девочек была равна

При этом условие на общее количество детей в классе выполняется, так как

б) Пусть изначально в классе учились детей, при этом из них — девочки. В этом случае процентная доля девочек составляла

Мы знаем, что изначальная процентная доля девочек была не более 21%, значит,

После перевода еще одной девочки в класс количество девочек в классе стало равно а количество детей — Тогда в этом случае процентная доля девочек составила

Тогда нам нужно сравнить

Заметим, что Тогда сравним

Заметим, что по условию Тогда значит,

Таким образом,

Следовательно, меньше 30%, то есть после перевода в класс еще одной девочки их процентная доля не могла стать равной 30%.

в) Аналогично пункту б) оценим Но в этот раз будем пользоваться тем, что так как — натуральное.

Тогда

Значит, наибольшее целое значение, которое могла принимать процентная доля девочек, равно 27%. Заметим, что — несократимая дробь, тогда если

то не меньше 100. Это не так, потому что

Значит, наибольшее целое значение, которое могла принимать процентная доля девочек, равно 26%. Заметим, что — несократимая дробь, тогда если

то не меньше 50. Это не так, потому что

Значит, наибольшее целое значение, которое могла принимать процентная доля девочек, равно 25%. Если изначально было 2 девочки и 9 мальчиков, то исходная процентная доля девочек была равна

Тогда после перевода еще одной девочки в класс она стала равняться

а) Да, существуют, например, сумма для чисел 992 и 555 равна

б) Найдем наибольшую возможную сумму для пятизначных чисел. Для этого нужно взять числа 99999 и 99999. Тогда

Значит, хотя бы одна цифра чисел и меньше 9. Тогда сумма не больше

Таким образом, не существуют такие пятизначные числа и для которых

в) Покажем, как можно получить числа от 1 до 9 в виде суммы двузначных чисел:

Теперь покажем, как можно получить числа от 10 до 18 в виде суммы двузначных чисел:

Покажем, как можно получить числа от до в виде суммы двузначных чисел, где

Таким образом, мы показали, как получить все числа от 1 до где то есть до 90, двузначными числами. Тогда четырехзначными числами мы тоже можем получить числа от 1 до 90, просто приписав два нуля в конце каждого из двузначных чисел.

Заметим, что этим же способом мы можем получить числа от 91 до 180, приписав к соответствующим двузначным числам не два нуля в конце, а 99 и 91.

Таким образом, мы можем получить числа от 1 до 180.

Покажем, как получить числа от 163 до 252. Для этого к нашим двузначным числам, дающим числа от 1 до 90, допишем в конце по две девятки. Тогда сумма получившихся чисел будет находиться от до

Осталось получить числа 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259 и 260:

• Сумма для чисел 9992 и 9995 равна 253:

  

• Сумма для чисел 9987 и 9984 равна 254:

  

• Сумма для чисел 8889 и 8887 равна 255:

  

• Сумма для чисел 8888 и 8888 равна 256:

  

• Сумма для чисел 9888 и 9886 равна 257:

  

• Сумма для чисел 9887 и 9887 равна 258:

  

• Сумма для чисел 9995 и 9985 равна 259:

  

• Сумма для чисел 9997 и 9885 равна 260:

  

Таким образом, все числа от 1 до 260 можно получить в виде суммы для двух некоторых четырехзначных чисел.

а) Заметим, что при каждом действии сумма чисел увеличивается ровно на 1. Действительно:

• Если было и стало то сумма стала

  

• Если было и стало то сумма стала

  

Значит, за 20 ходов сумма увеличится на 20, то есть будет равна

Так как числа всегда остаются натуральными, то при такой сумме ни одно из чисел не может равняться 50.

б) Как было показано в пункте а), сумма чисел увеличивается на 1 после каждого хода. Начальная сумма чисел равна 18. Тогда понадобится ровно хода для достижения искомой суммы, которую можно получить путём проведения следующего алгоритма 291 раз:

в) Рассмотрим разность вида «второе число — первое число». Изначально она равна Далее возможны два варианта.

Первый вариант:

Второй вариант:

Далее, при делении на 3 имеют одинаковый остаток числа

То есть разность второго и первого чисел (именно в этом порядке) всегда даёт один и тот же остаток при делении на 3. Изначально эта разность равна и даёт остаток 1 при делении на 3.

Ответом будет 81 ход, когда из чисел (7, 11) сделаем пару чисел (49, 50) следующим образом:

Предположим, что ходов было хотя бы 82. Тогда сумма чисел равна хотя бы 100. С учётом требуемого условия это возможно, только если оба числа равны 50 и ходов было 82. Однако это невозможно, поскольку в таком случае разность чисел не дает остаток 1 при делении на 3. Противоречие.

а) Да, может. Например, если то получаем равенство

Или, например, если то получаем равенство

б) Заметим, что если то первая цифра числа равна 4. Также заметим, что вторая цифра числа не меньше 4. Таким образом, и и не меньше 40. Значит,

Тогда указанное равенство не может быть верным.

в) Сначала приведем пример: тогда

Пусть Тогда заметим, что если оба мальчика зачеркнули или то Такое нам не подходит. Значит, один из мальчиков вычеркнул первую цифру, пусть это был Серёжа.

Так как по условию получаемые после зачеркивания числа двузначные, то Тогда имеем:

Оценим

Тогда если Коля не вычеркнул первую цифру, то

Значит, Тогда может равняться только 0. Получили наш пример.

Пусть оба мальчика вычеркнули первую цифру. Тогда Значит,

Если то Нам надо найти Тогда так как Значит, Но тогда что невозможно, так как 841 не оканчивается на 29.

Таким образом, 810 — наибольшее возможное

а) Да, существует. Пусть мужчина купил 4 кочана: 3 кочана по 6 кг и 1 кочан весом в 2 кг. Если то надо разделить капусту по 10 кг. Но так сделать нельзя, так как ровно один кочан имеет вес, не кратный 6, то есть ровно у одного из мужчин капуста будет иметь вес, кратный 6, но 10 на 6 не делится. Противоречие.

б) Нет, не существует. Пусть мужчина купил кочанов весом 2 кг, кочанов весом 4 кг и кочанов весом 6кг. Тогда

• Если то одному дадим кочана по 6 кг, а второму — оставшиеся.

• Если то

  • Если то одному дадим 6 кочанов по 4 кг, а второму — оставшиеся.
  • Если то С другой стороны, Значит, так как — целые, то существует при котором Тогда в этом случае первому дадим все кочаны по 6 кг и кочанов по 2 кг, а второму — оставшиеся кочаны.

в) Сначала докажем, что должно делиться на 24.

Заметим, что должно делиться на 4. Действительно, если не делится на 4, то оно дает остаток 2 при делении на 4, так как по условию четно. Пусть Тогда если разбить капусту на две части равного веса, то одна будет весить кг. При этом — нечетное число, но у нас все кочаны весят четное число килограммов, значит, набрать ими кг нельзя.

Заметим, что должно делиться на 6. Действительно, если не делится на 6, то оно дает остаток 2 или 4 при делении на 6, так как по условию четно. Пусть Тогда если мужчина купит кочанов по 6 кг и один кочан весом кг (он может так сделать, потому что — это 2 или 4), то при разбиении кочана на две части в одной из них все кочаны будут иметь вес 6 килограмм, а в другой будет один кочан веса кг и оставшиеся кочаны весом 6 кг. В этом случае первая часть будет иметь вес, делящийся на 6, а вторая — нет. Значит, в этом случае мы не получим части одинакового веса. Таким образом, должно делиться на 6.

Мы показали, что делится на 4 и 6, то есть делится на 12. Тогда или делится на 24 нацело, или дает остаток 12. Если то в случае, когда мужчина купит кочана весом 4 кг, капусту нельзя разделить поровну. Действительно, у нас кочана одного веса. Чтобы разбить капусту поровну, в группах должно быть поровну кочанов, но — нечетное. Значит, не может иметь остаток 12 при делении на 24, то есть делится на 24.

Теперь покажем, что все кратные 24, подходят. Можно считать, что Пусть мужчина купил кочанов весом 2 кг, кочанов весом 4 кг и кочанов весом 6 кг. Тогда

• Если то одному дадим кочанов по 6 кг, а второму — оставшиеся.

• Если то

  • Если то одному дадим кочанов по 4 кг, а второму — оставшиеся.
  • Если то С другой стороны, Значит, так как — целые, то существует при котором Тогда в этом случае первому дадим все кочаны по 6 кг и кочанов по 2 кг, а второму — оставшиеся кочаны.

а) Да, существует. Например, если мужчина купил 7 кочанов: 6 по 3 кг и 1 по 2 кг. Тогда капусту нельзя поделить поровну, так как ровно один кочан имеет вес, не кратный 3, то есть ровно у одного из мужчин капуста будет иметь вес, не кратный 3. Тогда 10 кг никак нельзя набрать целыми кочанами.

б) Пусть мужчина купил кочанов по 1 кг, — по 2 кг, — по 3 кг. Тогда — целые неотрицательные числа.

Тогда

Значит, делится на 3. Таким образом, и дают одинаковый остаток при делении на 3.

Заметим, что не более 8.

• Если то можем отдать каждому по 4 кочана.
• Если то Тогда одному дадим 4 кочана по 3 кг, а второму — оставшиеся кочаны.
• Если то аналогично предыдущему рассуждению одному дадим 4 кочана по 3 кг, а второму — оставшиеся кочаны.

• Если то Тогда Если то одному соседу дадим 6 кочанов по 2 кг, а второму — оставшиеся кочаны.

  Если же то Тогда одному дадим 3 кочана по 3 кг и 3 по 1 кг, а второму — оставшиеся кочаны.

• Если то Тогда Если то одному соседу дадим 6 кочанов по 2 кг, а второму — оставшиеся кочаны.

  Если же то Тогда одному дадим 2 кочана по 3 кг и 6 по 1 кг, а второму — оставшиеся кочаны.

• Если то Тогда Если то одному соседу дадим 6 кочанов по 2 кг, а второму — оставшиеся кочаны.

  Если же то Тогда одному дадим 1 кочан по 3 кг и 9 по 1 кг, а второму — оставшиеся кочаны.

• Если то Тогда Если то одному соседу дадим 6 кочанов по 2 кг, а второму — оставшиеся кочаны.

  Если же то Тогда одному дадим 12 кочанов по 1 кг, а второму — оставшиеся кочаны.

Таким образом, при всегда можно разделить капусту поровну.

в) Докажем, что все кратные 12, подходят. Пусть

Тогда

• Если то одному дадим кочанов по 3 кг, а второму — оставшиеся.

• Если то

  • Если то одному дадим кочанов по 2 кг, а второму — оставшиеся.
  • Если то С другой стороны, Значит, так как — целые, то существует при котором Тогда в этом случае первому дадим все кочаны по 3 кг и кочанов по 1 кг, а второму — оставшиеся кочаны.

Таким образом, если то капусту всегда можно поделить поровну.

Очевидно, что если — нечетное, то поделить капусту поровну нельзя. Тогда — четное.

Если не кратно 12, то пусть где и — четное.

Теперь рассмотрим случаи, когда равно 2, 4, 6, 8 и 10.

• Если то один кочан весом в 2 кг нельзя не разрезая поделить поровну.
• Если то один кочан весом в 1 кг и один кочан весом в 3 кг нельзя не разрезая поделить поровну.
• Если то три кочана весом по 2 кг нельзя не разрезая поделить поровну.
• Если то два кочана весом по 3 кг и один весом в 2 кг нельзя не разрезая поделить поровну.
• Если то три кочана весом по 3 кг и один весом в 1 кг нельзя не разрезая поделить поровну.

Тогда если то кг капусты мы купим кочанами по 3 кг, а кг — так же, как и в случаях ранее.

Таким образом, осталось разобрать случаи, когда равно 2, 4, 6, 8 и 10.

• Если то нам нужно набрать кг капусты. Это невозможно, если у нас есть кочанов по 3 кг и один кочан весом в 2 кг.
• Если то нам нужно набрать кг капусты. Это невозможно, если у нас есть кочан по 3 кг и один кочан весом в 1 кг.
• Если то нам нужно набрать кг капусты. Отклонимся от стратегии и купим не кочанов по 3 кг, а кочанов по 2 кг. Тогда у нас будет кочана по 2 кг. Ими мы не сможем набрать нечетное количество кг капусты.
• Если то нам нужно набрать кг капусты. Это невозможно, если у нас есть кочана по 3 кг и один кочан весом в 2 кг.
• Если то нам нужно набрать кг капусты. Это невозможно, если у нас есть кочана по 3 кг и 1 кочан весом в 1 кг.

Пусть — трёхзначное число из условия, где и — ненулевые цифры.

а) Оценим произведение По условию

Таким образом, — трёхзначное число, то есть Тогда

Заметим, что — произведение трех цифр, значит, оно не может равняться 13.

Пусть Тогда

Произведение цифр числа 112 равно 2, значит,

Пусть Тогда

В числе 120 присутствует 0, что противоречит условию, следовательно

Пусть Тогда

Рассуждения выше можно не писать в решении на экзамене. Они приведены для того, чтобы читатель понял логику построения примера.

Если трёхзначное число равно 128, то частное этого числа и произведения его цифр равно 8:

б) Оценим Пусть результат деления мог быть равен 222. Тогда

Таким образом,

Пусть Тогда Значит,

Пусть Наибольшее число, произведение цифр которого равно 2 — это число 211. Тогда

Пусть Наибольшее число, произведение цифр которого равно 3 — это число 311. Тогда

Пусть Наибольшее число, произведение цифр которого равно 4 — это число 411. Тогда

Таким образом, результат не может быть равен 222.

в) Мы знаем, что Тогда

Оценим каждое из слагаемых:

Таким образом,

Значит, частное не может быть более 111. Рассмотрим число 111. Если мы разделим его на произведение цифр, то получим

Следовательно, частное не может быть более 111 и значение 111 достигается.

а) Построим пример:

б) Заметим, что утроенная сумма цифр натурального числа делится на 3. Тогда если к натуральному числу прибавить или вычесть из него утроенную сумму его цифр, то остаток при делении на 3 не изменится. Значит, у всех полученных чисел остаток будет таким же, как у числа 65.

Число 65 дает остаток 2 при делении на 3. Значит, у чисел, полученных в результате таких операций, остаток также будет равен 2. Так как число 43 дает остаток 1 при делении на 3, то из 65 не могло получиться число 43.

в) Наименьшее натуральное двузначное число — это 10. Так как 10 дает остаток 1 при делении на 3, а 65 — остаток 2, то из числа 65 не могло получиться число 10. Тогда наименьшее двузначное число, которое могло получиться из 65, — это 11. Приведем пример на 11:

а) Построим подходящий пример:

б) Заметим, что утроенная сумма цифр натурального числа делится на 3. Тогда если к натуральному числу прибавить или вычесть из него утроенную сумму его цифр, то остаток при делении на 3 не изменится. Значит, у всех полученных чисел остаток будет таким же, как у числа 128.

Число 128 дает остаток 2 при делении на 3. Значит, у чисел, полученных в результате таких операций, остаток также будет равен 2. Так как число 31 дает остаток 1 при делении на 3, то из 128 не могло получиться число 31.

в) Наименьшее натуральное число — это 1. Так как 1 дает остаток 1 при делении на 3, а 128 — остаток 2, то из числа 128 не могло получиться число 1. Тогда наименьшее число, которое могло получиться из 128, — это 2. Приведем два примера на число 2:

Замечание.

В решении пункта в) достаточно привести один пример.

а) Петя может взять десять монет номиналом 10. Тем самым он сможет без сдачи оплатить пирожное, стоимость которого кратна 10.

Еще Петя возьмет одну монету номиналом 5 и сможет без сдачи оплатить пирожное, стоимость которого кратна 5.

Петя возьмет одну монету номиналом 1 и сможет без сдачи оплатить пирожное, стоимость которого дает остаток 1 при делении на 5.

Петя возьмет две монеты номиналом 2 и сможет без сдачи оплатить пирожное, стоимость которого дает остаток 2 или 4 при делении на 5.

Еще Петя возьмет одну монету номиналом 1 и одну монету номиналом 2 и сможет без сдачи оплатить пирожное, стоимость которого дает остаток 3 при делении на 5.

Таким образом, Петя возьмет с собой 10 + 1 + 1 + 2 + 2 = 16 монет и сможет без сдачи оплатить пирожное стоимостью до 100 рублей.

б) Чтобы без сдачи оплатить пирожное, стоимость которого дает остаток 1 при делении на 5, Петя обязательно должен взять с собой монету номиналом 1.

Чтобы без сдачи оплатить пирожное, стоимость которого дает остаток 4 при делении на 5, Петя обязательно должен взять с собой две монеты номиналом 2.

Чтобы без сдачи оплатить пирожное, стоимость которого дает остаток 9 при делении на 10, Петя обязательно должен взять с собой монету номиналом 5.

Итого, Петя уже обязательно должен взять четыре монеты, которые в сумме дают 10 рублей. Тогда максимум Петя можем взять с собой 20 рублей. Следовательно, Петя не может выбрать дома 5 монет так, чтобы гарантированно купить пирожное стоимостью до 25 рублей.

в) По соображениям из пункта б) Петя обязательно должен взять четыре монеты следующими номиналами: 1, 2, 2 и 5.

Чтобы оплатить пирожное стоимостью 100 рублей, Петя должен взять дома еще 90 рублей. Минимальное количество монет, которыми можно набрать 90 рублей — 9. Тогда Петя обязан взять с собой хотя бы 13 монет: 1, 2, 2, 5 и 9 монет по 10 рублей.

Докажем, что любую цену Петя сможет оплатить без сдачи. Очевидно, что он может оплатить любую стоимость, кратную 10. При этом, если стоимость не равна 100, то у него всегда останутся монеты 1, 2, 2 и 5. Тогда осталось доказать, что монетами 1, 2, 2 и 5 Петя может набрать любое число от 1 до 9.

Значит, Петя должен взять дома минимум 13 монет, чтобы гарантированно оплатить без сдачи пирожное стоимостью не более 100 рублей.

а) Да, Егор может за 4 хода разделить линейку длиной в 16 см на части по 1 см.

Первым ходом он разделит линейку на две части по 8 см.

Вторым ходом он отрежет от обеих частей по 4 см и получит четыре части по 4 см.

Третим ходом Егор отрежет от всех частей по 2 см и получит восемь частей по 2 см.

Четвертым ходом он отрежет от всех частей по 1 см и получит требуемое.

б) Пусть у Егора в какой-то момент есть частей линейки. Тогда после следующего действия у него будет не более частей. Таким образом, за ход Егор максимум может удвоить количество частей. Значит, за 5 ходов у Егора будет не более частей. Но если линейка длиной в 100 см поделена на части по 1 см, то у Егора должно быть 100 частей.

Значит, Егор не сможет за 5 ходов разделить линейку длиной в 100 см на части по 1 см.

в) Из пункта б) мы понимаем, что Егору нужно хотя бы 9 действий, так как

Приведем пример на 9 действий:

Первым действием Егор отрежет часть длиной в 44 см и получит две части: 256 см и 44 см.

Вторым действием Егор отрежет от части в 256 см часть длиной в 128 см и получит три части: две по 128 см и одну 44 см.

Третим действием Егор отрежет от частей в 128 см части длиной в 64 см и получит пять частей: четыре по 64 см и одну 44 см.

Четвертым действием Егор отрежет от всех частей часть длиной в 32 см и получит десять частей: девять по 32 см и одну 12 см.

Пятым действием Егор отрежет от частей в 32 см часть длиной в 16 см и получит 19 частей: 18 по 16 см и одну 12 см.

Шестым действием Егор отрежет от всех частей часть длиной в 8 см и получит 38 частей: 37 по 8 см и одну 4 см.

Седьмым действием Егор отрежет от частей в 8 см часть длиной в 4 см и получит 75 частей по 4 см.

Восьмым и девятым действиями Егор поделит все части пополам и в итоге получит 300 частей по 1 см.