Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению

Тема 13. Решение уравнений

13.04 Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2713

a) Решите уравнение $2sin2x +2 = 5sinx.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $(0;π).$

Показать ответ и решение

а) Перенесём все слагаемые в левую часть:

2sin2x+ 2− 5sinx= 0

Полученное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно $sin x.$

Сделаем замену $sinx = t,$ тогда уравнение примет вид

2t2− 5t+ 2= 0

Его дискриминант $D = 25 − 16 =9,$ тогда имеем:

t1,2 = 5±-3 ⇒ t1 = 2, t2 = 0,5 4

Сделав обратную замену, получим

sin x= 2, sin x= 0,5

Так как $sinx≤ 1,$ то уравнение $sinx =2$ не имеет корней. Следовательно, $sinx = 0,5.$

Уравнение $sinx= a$ имеет решения

x= arcsina+ 2πk, x= π − arcsina+ 2πk, k ∈ ℤ

Следовательно, уравнение $sin x= 0,5$ имеет решения

x = π-+2πk, x= 5π + 2πk, k ∈ℤ 6 6

б) Отберем корни с помощью неравенств.

π π 5π 0< 6-+ 2πk < π ⇔ − 6-<2πk < 6- − 1-< k <-5 ⇔ k = 0 12 12

При $k = 0$ получаем $π x= 6.$

5π 5π π- 0 < 6 + 2πk < π ⇔ − 6 < 2πk < 6 5 1 − 12-< k < 12 ⇔ k = 0

При $k = 0$ получаем $5π x= 6-.$

Ответ:

а) $π- 5π- 6 + 2πk; 6 + 2πk, k ∈ℤ$

б) $π-; 6$ $5π 6$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#2563

а) Решите уравнение $cos2x+ 13sinx +6 = 0$ .

б) Найти все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 5π ] − 2-;−π$ .

Показать ответ и решение

а) Преобразуем уравнение

⌊ |sinx= 7 1− 2sin2x+ 13sin x+ 6= 0 ⇔ 2sin2x− 13sinx − 7= 0 ⇔ ⌈ 1 sinx= − 2

Так как $sinx∈ [− 1;1]$ , то подходит только $sinx = −0,5$ , откуда получаем

x= − π+ 2πn, x = − 5π + 2πk, n,k ∈ ℤ 6 6

б) Отберем корни с помощью неравенств:

5π π 7 5 13π − 2-≤ − 6-+2πn ≤ −π ⇔ − 6 ≤n ≤ −12 ⇒ n= −1 ⇒ x= −-6-

− 5π≤ − 5π+ 2πk ≤− π ⇔ − 5≤ k ≤− -1 ⇒ k ∈∅ ⇒ x ∈∅ 2 6 6 12

Ответ:

а) $π- 5π x = −6 + 2πn, x = − 6 +2πk, n,k ∈ ℤ$

б) $− 13π 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#2244

а) Решите уравнение $sin2x − 5 cos(x − π)− 6 =0. 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $(−π;3π).$

Показать ответ и решение

а) Так как косинус — четная функция, то есть $cos(−x)= cosx,$ то

( π ) (π ) cos x− 2- = cos 2-− x

Кроме того, по формуле приведения имеем:

( ) cos π-− x = sinx 2

Тогда получим уравнение

2 sin x − 5sinx − 6 = 0

Сделав замену $sinx =f,$ получим квадратное уравнение

2 f − 5f − 6= 0

Корнями этого уравнения являются

f = 6, f = −1

Так как $f =sinx∈ [−1;1],$ то корень $f = 6$ не подходит. Следовательно, получаем

sin x= −1 ⇔ x= − π+ 2πk, k ∈ℤ 2

б) Отберем корни с помощью неравенств:

π 1 7 − π < − 2 + 2πk <3π ⇔ −4 < k < 4 π- 3π k = 0; 1 ⇒ x = −2; 2

Ответ:

а) $− π+ 2πk, k ∈ ℤ 2$

б) $− π-; 3π 2 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#85434

а) Решите уравнение

--2-cosx---− 4 = cos2(x + π). sin3x+ sin x 3 4

б) Найдите все корни, принадлежащие промежутку $[0;π].$

Показать ответ и решение

а)

--2-cosx---− 4 = cos2(x + π). sin3x+ sin x 3 4

Воспользуемся формулами понижения степени и суммы синусов:

$pict$

Тогда уравнение примет вид:

1 +cos(2x+ π-) --2cosx---− 4= -----------2-- 2sin2xcosx 3 2

Воспользуемся формулой приведения:

( π) cos 2x + 2- = − sin 2x

Уравнение примет вид:

$pict$

Пусть $sin2x= t,$ $t∈ [− 1;1].$ Тогда уравнение примет вид:

3t2− 11t+ 6= 0 ⌊ |⌈t= 3∈∕[−1;1] t= 2 3

Сделаем обратную замену:

$pict$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $[0;π],$ с помощью тригонометрической окружности:

$π1 1 2 2 0π22 a−rcs2i anr3csin3$

Получим значения: $1 arcsin 2; 2 3$ $π-− 1 arcsin 2. 2 2 3$

Ответ:

а) $1arcsin 2 +πk; 2 3$ $π-− 1arcsin 2+ πk, 2 2 3$ $k ∈ Z$

б) $1 2 arcsin 23;$ $π 1 2 2-− 2 arcsin3.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#78008

а) Решите уравнение $tgx+ 2ctgx= 3.$

б) Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку $[−3π;−2π].$

Показать ответ и решение

а) Тангенс и котангенс определены, если косинус и синус соответственно не равны нулю.

Сведем уравнение к квадратному относительно тангенса, используя соотношение $ctgx = 1tgx-:$

tgx+ -2- = 3. tgx

Пусть $t= tgx,$ тогда:

t+ 2 = 3, t

t2+ 2− 3t ----t----= 0,

t2− 3t+2 = 0,

корни этого уравнения легко находятся по теореме Виета: $t = 1 1$ и $t2 = 2.$
Сделаем обратную замену:
1)

tgx= 1,

π x= -4 + πn, n∈ ℤ.

tgx= 2,

x =arctg 2+ πn, n ∈ ℤ.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $[− 3π;− 2π].$ Для отбора корней воспользуемся тригонометрической окружностью:

$PIC$

Вычислим явно все корни, принадлежащие данному отрезку.

π 11π x1 = 4-+π ⋅(− 3)= −-4-,

x2 = arctg2+ π⋅(−3)= arctg2 − 3π.

Ответ:

а) $π+ πn 4$ ; $arctg2+ πn$ ; $n ∈ ℤ$ ;
б) $11π arctg2− 3π;− 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#42155

а) Решите уравнение $2sinx ⋅sin2x =2 cosx +cos2x.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 5π ] −-2 ;− π .$

Показать ответ и решение

а) Преобразуем уравнение, применив формулы двойного аргумента для синуса и косинуса:

4 sin2xcosx= 2cosx+ 2cos2x− 1 ⇔ 2 2 4(1− cosx)cosx =2 cosx +2 cos x− 1 ⇔ 4 cos3x+ 2cos2x− 2cosx− 1= 0

Сделаем замену $cosx = t,$ тогда уравнение примет вид

4t3+ 2t2− 2t− 1= 0 ⇔ (2t+ 1)(2t2 − 1)= 0 ⇔ t =− 1;±√1- 2 2

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ cosx = − 1 x= ± 2π+ 2πn, n∈ ℤ || 2 ⇔ || 3 ⌈ cosx = ±√1- ⌈ x= π-+ πk, k ∈ ℤ 2 4 2

б) Отберем корни на тригонометрической окружности.

$−−−−−−π5π7π9π5π4π- 24443$

Ответ:

а) $± 2π+ 2πn, π+ π-k, n,k ∈ ℤ 3 4 2$

б) $9π 7π 4π 5π − -4 ;− -4 ;− 3-;−-4$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#42151

а) Решите уравнение $sin2( x+ π-)sin2(x − π) = 0,375sin2 (− π-). 4 4 4 4 4$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− 3π;π ].$

Показать ответ и решение

а) Заметим, что $sin (α− π) = − cosα 2$ , следовательно,

sin2(x + π-)⋅(sin( x+ π-− π))2 = 3⋅ 1 ⇔ ◟4◝◜-4◞ 4 4 2 8 2 =α 2 2 3 sin α⋅cosα = 16 ⇔ 1 sin22α= 3- ⇔ 4 16 2 3 sin 2α = 4 1-− cos4α = 3 ⇔ 2 4 1 cos4α =− 2 ⇔ − 1 = cos4α = cos(x+ π)= − cosx ⇔ 2 1 cosx= 2 π x =± 3-+2πn,n ∈ℤ

б) Отберем подходящие корни с помощью тригонометрической окружности.

$75ππ −−−3π33;−π$

$ππ −−3π3;π$

На отрезке $[−3π;π]$ лежат корни $7π 5π π-π- − 3 ;− 3 ;− 3;3.$

Ответ:

а) $± π+ 2πn, n∈ ℤ 3$

б) $7π 5π π π − -3 ;− -3 ;− 3;3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#42150

а) Решите уравнение $( ) sin 2x+ 2π cos(4x + π) − cos2x=--sin(2x-). 3 3 cos − π3$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] −2π; 3π . 2$

Показать ответ и решение

а) По формулам $sinαcosβ = 1(sin(α − β)+ sin(α+ β)) 2$ и $sin2x = 1−-cos2x- 2$ уравнение преобразуется к виду

1 (π- ) 1 1−-cos2x 2 sin 3 − 2x + 2 sin(6x+ π)− cos2x= 2 ⋅ 12 ⇔ ( ) − sin 2x − π-+ sin(6x+ π− 2π)= 2 ⇔ 3 ( π) − sin 2x − 3 + sin(6x− π)= 2

Сделаем замену $( π ) sin 2x− 3- = t$ , тогда $( π) 3( π) 3 sin(6x− π)= 3sin 2x − 3- − 4 sin 2x− 3- = 3t− 4t$ и уравнение примет вид

2t3− t+ 1= 0 ⇔ (t+1)(2t2− 2t+ 1)= 0 ⇔ t= −1

Тогда

( ) sin 2x− π- = −1 ⇔ 2x − π= − π-+2πn ⇔ x= − π-+ πn,n∈ ℤ 3 3 2 12

б) Сделаем отбор корней с помощью тригонометрической окружности.

$−−− 21ππ3;π0 1122$

$031π1π 212$

На отрезке $[ ] −2π; 3π 2$ лежат корни $− 13π;− π-; 11π-. 12 12 12$

Ответ:

а) $− π-+ πn, n ∈ ℤ 12$

б) $13π π 11π − -12 ;− 12;12-$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#20619

a) Решите уравнение $( 7π ) sin 2 +x + 2cos2x = 1.$

б) Найдите все корни данного уравнения, принадлежащие отрезку $[3π;4π].$

Показать ответ и решение

а) Для начала воспользуемся формулой приведения

( 7π ) ( 3π ) sin 2-+ x = sin 2-+ x = − cosx

Также воспользуемся формулой косинуса двойного угла

cos2x = 2cos2x − 1

Тогда для исходного уравнения имеем:

$pict$

Обозначим $cosx = t,$ тогда уравнение примет вид

$pict$

Возвращаясь к исходным обозначениям, имеем совокупность

$pict$

б) Рассмотрим каждый из корней отдельно. При этом сразу учтём, что

(3 ) 0< arccos 4 < π

Тогда для каждой из серий имеем:

$pict$

Ответ:

а) $(3 ) (3) 2πk; π− arccos 4 + 2πk; π + arccos 4 + 2πk, k ∈ ℤ$

б) $( ) arccos 3 +3π; 4π 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#2443

а) Решите уравнение

√ -- 4 − 3 2 sin x-= 2cos2(0,25x ) 4

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $(0;4π)$ .

Показать ответ и решение

а) Заметим, что $1 0, 25x = --x 4$ , следовательно:

( ) √ -- x- 2 x 2 x √-- x- 4 − 3 2 sin 4 − 2 1 − sin 4 = 0 ⇒ 2 sin 4 − 3 2 sin 4 + 2 = 0

Сделаем замену $x sin --= t, − 1 ≤ t ≤ 1 4$ . Тогда уравнение примет вид:

2 √-- -1-- √ -- 2t − 3 2t + 2 = 0 ⇒ t1 = √ --, t2 = 2 2

Заметим, что $t2$ не удовлетворяет условию $− 1 ≤ t ≤ 1$ , то есть не является решением. Сделаем обратную замену:

$⌊ x π --= --+ 2πn, n ∈ ℤ [ x- -1-- | 4 4 x1 = π + 8πn, n ∈ ℤ sin 4 = √ -- ⇒ |⌈ ⇒ 2 x-= 3π-+ 2πm, m ∈ ℤ x2 = 3π + 8πm, m ∈ ℤ 4 4$

б) Отберем корни:

$0 < x1 < 4π ⇒ n = 0 ⇒ x = π$

$0 < x2 < 4π ⇒ m = 0 ⇒ x = 3π$

Ответ:

а) $π + 8πn, 3π + 8πm, n, m ∈ ℤ$

б) $π; 3π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#2409

а) Решите уравнение

ctg2x + ---(-1-----)-− 1 = 0 cos x − 112π

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[π;3π ).$

Показать ответ и решение

а) По формуле приведения $( ) cos x − 11π- = − sinx 2$ . Применив также формулу $ctg2x + 1 = --1--- sin2 x$ , получим:

1 1 1 1 ---2--− 1 − -----− 1 = 0 ⇔ ---2--− -----− 2 = 0 sin x sinx sin x sin x

Сделаем замену $1 -----= t sin x$ , тогда уравнение примет вид

2 t − t − 2 = 0 ⇒ t1 = − 1 или t2 = 2

Сделаем обратную замену: $π sinx = − 1 ⇔ x = − --+ 2πn, n ∈ ℤ 2$ $1 π 5π sin x = -- ⇔ x = -- + 2πk; x = ---+ 2πm, k,m ∈ ℤ 2 6 6$ .

б) Отберем корни.

$π 3 7 3π π ≤ − --+ 2πn < 3π ⇔ --≤ n < -- ⇒ n = 1 ⇒ x = --- 2 4 4 2 π ≤ π-+ 2πk < 3π ⇔ 5--≤ k < 17- ⇒ k = 1 ⇒ x = 13π- 6 12 12 6 π ≤ 5π-+ 2πm < 3π ⇔ 1--≤ m < 13- ⇒ m = 1 ⇒ x = 17-π 6 12 12 6$

Ответ:

а) $π π 5π − --+ 2πn; --+ 2πk; ---+ 2πm; n, k,m ∈ ℤ 2 6 6$

б) $3π; 13π; 17π- 2 6 6$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#2368

а) Решите уравнение

√ ------- (4 cos23x − 4 sin 3x − 1) ⋅ − ctgx = 0

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку $( ] π;2 π . 2$

Показать ответ и решение

а) Данное уравнение равносильно системе

( [ |{ 4 cos23x − 4 sin 3x − 1 = 0 |( − ctgx = 0 − ctgx ≥ 0

Решим первое уравнение. Сделаем замену $t = sin 3x$ , тогда уравнение примет вид

2 2 2 2 4 − 4t − 4t − 1 = 0 ⇔ 4t + 4t + 1 = 4 ⇔ (2t + 1) = 2 ⇒ 2t + 1 = ±2.

Следовательно, получаем: 1) $sin 3x = 1- ⇒ x = π--+ 2π-n 2 18 3$ и $x = 5π-+ 2-πk 18 3$ , $k, n ∈ ℤ.$ 2) $sin 3x = − 3- 2$ – не имеет решений.

Решим второе уравнение:

π ctgx = 0 ⇔ x = --+ πm, m ∈ ℤ 2

Пересечем полученные решения с условием $− ctgx ≥ 0 ⇔ ctgx ≤ 0$ .
Для этого отметим полученные корни на окружности, тогда подойдут те, которые находятся на зеленых дугах:

$PIC$

Следовательно, ответ: $π 13π 17π 29π x = --+ πm; ----+ 2 πn; ---- + 2πk; ----+ 2πl; m, n,k, l ∈ ℤ. 2 18 18 18$

б) Отберем корни по окружности. Отметим дугу, соответствующую промежутку $( ] π- 2;2π$ . Тогда в этот промежуток попадают следующие точки:

$PIC$

Ответ:

а) $π 13π 17π 29 π --+ πm; ----+ 2 πn; ---- + 2πk; ---- + 2πl; m, n,k, l ∈ ℤ 2 18 18 18$

б) $13π- 17-π 3π- 29π- 18 ; 18 ; 2 ; 18$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#2359

а) Решите уравнение

3tg42x − 10tg22x + 3 = 0

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $( ) − π-; π 4 4$ .

Показать ответ и решение

а) ОДЗ: $cos2x ⁄= 0$ . Решим на ОДЗ.

Сделаем замену: $tg22x = t,t ≥ 0$ . Тогда уравнение примет вид:

2 1 3t − 10t + 3 = 0 ⇒ t1 = 3; t2 = 3-

Сделаем обратную замену:

⌊ 2 ⌊ √ -- ⌊ π- ⌊ π- π- tg 2x = 3 tg2x = ± √3- 2x = ± 3 + πn, n ∈ ℤ x = ± 6 + 2n, n ∈ ℤ ⌈ 2 1-⇒ ⌈ 3 ⇒ ⌈ π ⇒ ⌈ π π tg 2x = 3 tg2x = ± ---- 2x = ± --+ πm, m ∈ ℤ x = ± ---+ -m, m ∈ ℤ 3 6 12 2

Заметим, что для данных значений $x$ выполнено ОДЗ, следовательно, это и есть окончательный ответ.

б) Отберем корни:

$π π π π 5 1 π − --< -- + --n1 < --⇒ − --< n1 < --⇒ n1 = 0 ⇒ x = -- 4 6 2 4 6 6 6$

Аналогичным образом находим еще три корня, попадающие в промежуток: $π-- π- -π- x = − 12;− 6 ;12$ .

Ответ:

а) $π π π π ± --+ -n,± ---+ --m, n, m ∈ ℤ 6 2 12 2$

б) $− π-;− π-; π-; π 6 12 12 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#2243

а) Решите уравнение $√ -- 2sin2x + 2sin x − 2 = 0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $(− π;π ).$

Показать ответ и решение

а) Сделаем замену $sin x = t$ , тогда уравнение примет вид:

√ -- 2t2 + 2t − 2 = 0

Дискриминант уравнения $√ --2 D = 18 = (3 2)$ . Следовательно, корнями будут

√ -- √ -- t1 = --2- и t2 = − 2. 2

Заметим, что так как $t = sin x ∈ [− 1;1]$ , то $t2$ не подходит. Следовательно,

√ -- --2- π- 3π- sin x = 2 ⇔ x = 4 + 2πn и x = 4 + 2πm, n,m ∈ ℤ.

б) Отберем корни.

$π- 5- 3- π- − π < 4 + 2πn < π ⇔ − 8 < n < 8 ⇒ n = 0 ⇒ x = 4.$

$− π < 3π-+ 2 πm < π ⇔ − 7-< m < 1- ⇒ m = 0 ⇒ x = 3π-. 4 8 8 4$

Ответ:

а) $π 3π --+ 2πn; ---+ 2πm; n,m ∈ ℤ 4 4$

б) $π; 3π- 4 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#2242

а) Решите уравнение

√ -- 2 --2- ( π- ) -1-- cos x − 2 cos x = sin 2 − x − √2--

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $( ) − π-; π . 2 2$

Показать ответ и решение

а) По формуле приведения $( π ) sin --− x = cosx 2$ . Сделаем замену $t = cosx$ :

√ -- ( √ -- ) 2 2 1 2 2 1 t − -2-t = t − √--- ⇔ t − -2--+ 1 t + √--= 0 2 2

Дискриминант уравнения

( √ -- )2 ( √ -)2 ( √ -- )2 2 4 2 √-- 2 D = ---+ 1 − √--= ---- − 2 + 12 = ----− 1 . 2 2 2 2

Следовательно, корнями будут

√- (√ - ) -2-+ 1 ± --2− 1 √ -- t = -2----------2------ ⇒ t1 = --2- и t2 = 1. 2 2

Сделаем обратную замену:

√ -- 2 π cos x = -2-- ⇔ x = ± 4-+ 2πm, m ∈ ℤ cos x = 1 ⇔ x = 2πn,n ∈ ℤ

б) Отберем корни.

$− π-< π- + 2πm < π- ⇔ − 3-< m < 1- ⇒ m = 0 ⇒ x = π. 2 4 2 8 8 4$

$π π π 1 3 π − --< − --+ 2πm < -- ⇔ − --< m < -- ⇒ m = 0 ⇒ x = − --. 2 4 2 8 8 4$

$π- π- 1- 1- − 2 < 2πn < 2 ⇔ − 4 < n < 4 ⇒ n = 0 ⇒ x = 0.$

Ответ:

а) $π 2πn; ± --+ 2πm; n,m ∈ ℤ 4$

б) $π π − 4-; 0; 4-$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#1756

а) Решите уравнение $2 ---1---- 2cosx + 4cosx + 2= 1+ ctg2 x.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $(−π;0).$

Показать ответ и решение

а) ОДЗ: $sinx ⁄=0$ . Решим на ОДЗ.

Т.к. $2 -1--- 1+ ctg x = sin2x ⇒$ уравнение примет вид:

2cos2x+ 4cosx+ 2= --11- ⇒ 2cos2x+ 4cosx+ 2= sin2x ⇒ sin2x

2 cos2x+ 4cosx+ 2= 1 − cos2x⇒ 3cos2x +4cosx +1 = 0

С помощью замены $cosx = t$ данное уравнение сводится к квадратному, корнями которого будут $t =− 1;t= − 1 1 2 3$ . Сделав обратную замену, получим:

⌊ ⌊ cosx = −1 x= −π(+ 2πn,n ∈ ℤ) ⌈ 1 ⇒ |⌈ 1 cosx = −3 x= ± π− arccos3 + 2πm,m ∈ ℤ

Заметим, что первая серия корней не удовлетворяет ОДЗ, т.к. $sin(−π +2πn) =sin(− π)= 0$

б) Отберем корни.

$( 1) 1 − π <± π − arccos3 +2πm < 0 ⇒ x= − π+ arccos3$

Ответ:

а) $( 1) ± π− arccos3 + 2πm,m ∈ ℤ$

б) $1 − π +arccos 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#1755

а) Решите уравнение

( ) 3 2 3 13π- 3(sin x + 1) + 2 cos 2 + x − 3 = 0

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $(0;π]$ .

Показать ответ и решение

а) ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ.

По формуле приведения $( ) 13-π cos 2 + x = − sinx$ , следовательно, уравнение примет вид:

3 2 3 3 2 3 3(sin x + 1) + 2(− sin x) − 3 = 0 ⇒ 3(sin x + 1) − 2 sin x − 3 = 0

Сделаем замену: $3 sin x + 1 = t$ , тогда $3 sin x = t − 1$ :

3t2 − 2(t − 1) − 3 = 0 ⇒ 3t2 − 2t − 1 = 0 ⇒ t = 1;t = − 1- 1 2 3

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ sin3x + 1 = 1 sin3 x = 0 ⌈ 1 ⇒ ⌈ 4 sin3x + 1 = − -- sin3 x = − -- 3 3

Т.к. $− 1 ≤ sinα ≤ 1$ при любом $α$ , следовательно, $3 − 1 ≤ sin α ≤ 1$ , значит, второе уравнение решений не имеет. Следовательно:

sin3 x = 0 ⇒ x = πn, n ∈ ℤ

б) Отберем корни:

$0 < πn ≤ π ⇒ 0 < n ≤ 1 ⇒ n = 1 ⇒ x = π$ .

Ответ:

а) $πn, n ∈ ℤ$

б) $π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#1754

а) Решите уравнение

tgx − 2ctgx = 1

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $( ) 5π- π- − 2 ;− 2$ .

Показать ответ и решение

а) ОДЗ: $sin x ⁄= 0,cosx ⁄= 0$ . Решим на ОДЗ.

Заметим, что в данном уравнении $tgx ⁄= 0$ , т.к. тогда $ctgx$ не существует. Поэтому домножим правую и левую части уравнения на $tgx$ :

2 2 tg x − 2ctgx ⋅ tgx − tgx = 0 ⇒ tg x − 2 − tgx = 0,т.к. ctgx ⋅ tgx = 1

Сделаем замену $tgx = t,t ∈ ℝ$ :

t2 − t − 2 = 0 ⇒ t1 = − 1;t2 = 2

Сделаем обратную замену:

[ ⌊ π tgx = − 1 ⌈x1 = − --+ πn, n ∈ ℤ tgx = 2 ⇒ 4 x2 = arctg2 + πm, m ∈ ℤ

Заметим, что данные ответы подходят под ОДЗ.

б) Отберем корни:

1) $5π π 9 1 9π 5π − --- < x1 < − --⇒ − --< n < − --⇒ n = − 2;− 1 ⇒ x = − ---;− --- 4 2 4 4 4 4$

2) Обозначим $arctg2 = α$ .

$− 5π-< x2 < − π-⇒ − 5-− α-< m < − 1-− α- 2 2 2 π 2 π$

Т.к. в первой четверти тангенс возрастает, то $π π -- > α > -- 2 3$ , следовательно, $1 α 1 − --< − --< − -- 2 π 3$ , значит:

$5- α- 17- 1- α- 5- − 3 < − 2 − π < − 6 , − 1 < − 2 − π < − 6$ , следовательно, можно условно записать, что

− 2,... < m < − 0,...

Значит, $m = − 2;− 1$ , следовательно, $x = arctg2 − 2π;arctg2 − π$ .

Ответ:

а) $π − --+ πn, arctg2 + πm, n,m ∈ ℤ 4$

б) $9π- 5-π − 4 ;arctg2 − 2π;− 4 ;arctg2 − π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#1753

а) Решите уравнение

2cos4x + 6, 5sin2x − 5 = 0

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $( ) − π-;π 2$ .

Показать ответ и решение

а) ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ.

Т.к. $cos4x = (cos2x )2 = (1 − sin2x )2$ , то уравнение равносильно:

2 4 2 4 2 2(1 − 2 sin x + sin x) + 6,5sin x − 5 = 0 ⇒ 2 sin x + 2,5sin x − 3 = 0

Сделаем замену: $2 sin x = t, 0 ≤ t ≤ 1$ . Имеем:

2t2 + 2,5t − 3 = 0 ⇒ t1 = − 2;t2 = 3- 4

Заметим, что $t1$ не подходит. Сделаем обратную замену:

⌊ x = π-+ 2πn1,n1 ∈ ℤ | 3 √-- || 2π- 2 3- -3-- || x = 3 + 2πn2, n2 ∈ ℤ sin x = 4 ⇒ sinx = ± 2 ⇒ | π- || x = − 3 + 2 πm1, m1 ∈ ℤ ⌈ 2π x = − ---+ 2πm2, m2 ∈ ℤ 3

Заметим, что данные корни можно записать в виде двух формул: $π- π- x1 = 3 + πn, n ∈ ℤ; x2 = − 3 + πm, m ∈ ℤ$

б) Отберем корни:

$π π − --< x1 < π ⇒ n = 0 ⇒ x = -- 2 3$

$π- π- 2π- − 2 < x2 < π ⇒ m = 0;1 ⇒ x = − 3 ; 3$

Ответ:

а) $π π --+ πn,n ∈ ℤ; − --+ πm, n, m ∈ ℤ 3 3$

б) $π- π- 2π- − 3 ;3 ; 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#1723

a) Решите уравнение

sin3x + 0, 5cos2x + sin x = 1.

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $(− π; π)$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

а) Перепишем исходное уравнение при помощи основного тригонометрического тождества:

3 2 3 2 sin x + 0,5 − 0,5 sin x + sin x = 1 ⇔ sin x − 0,5 sin x + sin x − 0,5 = 0.

Последнее уравнение является уравнением третьей степени относительно $sin x$ . Сделаем замену $sin x = t$ :

t3 − 0,5t2 + t − 0,5 = 0 ⇔ t2(t − 0,5) + (t − 0,5) = 0 ⇔ (t2 + 1)(t − 0, 5) = 0.

Так как $2 t + 1 ≥ 1 > 0$ при любом $t$ , то полученное уравнение равносильно

t = 0,5,

откуда

sinx = 0,5.

Решения этого уравнения имеют вид $π x = --+ 2πk 6$ , $5π x = ---+ 2 πk 6$ , где $k ∈ ℤ$ .

б)

π 7π 5π 7 5 − π < --+ 2πk < π ⇔ − --- < 2πk < --- ⇔ − ---< k < --, 6 6 6 12 12

но $k ∈ ℤ$ , тогда среди этих решений подходит только решение при $k = 0$ : $x = π- 6$ .

5π 11π π 11 1 − π < ---+ 2πk < π ⇔ − ----< 2πk < -- ⇔ − ---< k < --, 6 6 6 12 12

но $k ∈ ℤ$ , тогда среди этих решений подходит только решение при $k = 0$ : $5π- x = 6$ .

Ответ:

а) $π --+ 2πk 6$ , $5π --- + 2πk 6$ , где $k ∈ ℤ$ .

б) $π- 6$ , $5π- 6$ .

Предыдущий раздел

Следующий раздел