Тригонометрические: сведение к однородному уравнению —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Тригонометрические: сведение к однородному уравнению

Тема 13. Решение уравнений

13.05 Тригонометрические: сведение к однородному уравнению

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#38345

а) Решите уравнение $cosx− √3sinx= 0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 3π] 0;2- .$

Показать ответ и решение

а) Если $cosx= 0,$ то по основному тригонометрическому тождеству $sinx ⁄=0.$ Значит, имеем:

√ - cosx − 3sin x⁄= 0

Тогда $cosx ⁄= 0$ и можем разделить обе части уравнения на $cosx :$

cosx − √3-sinx = 0 ⇔ 1− √3 ⋅ sinx-= 0 cosx √- -1- 3tgx = 1 ⇔ tg x= √3 π x= 6-+ πk, k ∈ℤ

б) Если корень принадлежит отрезку $[ ] 0; 3π , 2$ то

0 ≤ π-+πk ≤ 3π ⇒ − 1≤ k ≤ 8 6 2 6 6 k = 0; 1 ⇒ x= π, x = 7π 6 6

Ответ:

а) $π+ πk, k ∈ ℤ 6$

б) $π-; 7π 6 6$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#38344

а) Решите уравнение $sinx + cosx = 0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ π- ] −2 ;π .$

Показать ответ и решение

а) Способ 1.

Если $cosx = 0,$ то по основному тригонометрическому тождеству $sinx = ±1.$ Тогда имеем:

sinx+ cosx= ±1 ⁄= 0

Значит, $cosx⁄= 0.$ Таким образом, можем разделить обе части уравнения на $cosx ⁄= 0:$

$sinx + cosx = 0 sin x cosx + 1 =0 sin-x= − 1 cosx tgx = −1 π x =− 4-+ πk, k ∈ ℤ$

Способ 2.

По формуле приведения и по формуле суммы синусов имеем:

( ) sinx + cosx = sinx+ sin π-− x = π 2π = 2sin x+-2-− x-cos x−-2-+x-= 2 2 = 2sin πcos(x− π-)= √2-⋅cos(x − π) 4 4 4

Таким образом, имеем следующее уравнение:

sinx + cosx = 0 ( ) cos x− π- = 0 4 x − π= − π-+πk, k ∈ ℤ 4 2 x =− π-+ πk, k ∈ ℤ 4

б) Если корень принадлежит отрезку $[− π;π], 2$ то

− π-≤ − π-+ πk ≤ π ⇒ − 1 ≤k ≤ 5 2 4 4 4 π- 3π- k = 0; 1 ⇒ x = −4, x = 4

Ответ:

а) $− π+ πk, k ∈ ℤ 4$

б) $π − -4;$ $3π -4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1730

а) Решите уравнение

10 sin x + 3cos x = 0

б) Найдите все его корни, принадлежащие полуинтервалу $[− π;π)$ .

Показать ответ и решение

а) ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ.

Заметим, что данное уравнение является однородным первой степени. Поделим правую и левую части уравнения на $cosx$ :

10tgx + 3 = 0 ⇒ tgx = − 0,3 ⇒ x = arctg(− 0,3) + πk, k ∈ ℤ ⇒ x = − arctg0,3 + πk,k ∈ ℤ

б) Отберем корни. Обозначим $arctg0,3 = α$ :

− π ≤ − α + πk < π ⇒ − 1 + α-≤ k < 1 + α- π π

Т.к. тангенс в первой четверти возрастает и $√ -- 0,3 < --3- 3$ , то $0 < α < π-⇒ − 1 < − 1 + α-< − 5- 6 π 6$ и $1 < 1 + α- < 11- π 6$

Условно можно записать, что $− 0,...≤ k < 1,...$
Следовательно, целые $k$ , удовлетворяющие неравенству, это $k = 0;1$ . Им соответствуют углы $− arctg0,3$ и $− arctg0,3 + π$ .

Ответ:

а) $− arctg0,3 + πk,k ∈ ℤ$

б) $− arctg0,3;π − arctg0, 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#416

а) Решите уравнение

πx √- πx sin-2-− 3 cos-2-= 0

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $(2;2π)$ .

Показать ответ и решение

а) Найдем ОДЗ: $x$ — произвольное. Решим на ОДЗ.

Сделаем замену $πx= y 2$ для удобства. Тогда уравнение примет вид:

√- siny− 3 cosy =0

Это однородное уравнение первой степени, разделим обе части равенства на $cosy :$

√- π tgy = 3 ⇒ y = 3-+πn, n∈ ℤ

Сделаем обратную замену:

πx-= π-+ πn ⇒ x = 2+ 2n, n ∈ℤ 2 3 3

б) Отберем корни с помощью неравенств:

2 2 1 2 < 3 + 2n< 2π ⇒ 3 < n< π− 3

Далее имеем:

1 3,14 < π < 3,15 ⇒ 2< π− 3 < 3

Таким образом, целые $n$ , удовлетворяющие неравенству, это $n= 1;2$ . Значит, $8 14 x= 3 ;3-$ .

Ответ:

а) $2 3 + 2n, n ∈ℤ$

б) $8; 14 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#80089

а) Решите уравнение $1 +sinx = cos2 x. 2$

б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $[ 3π π] − 2-;− 2-.$

Показать ответ и решение

а)

Перенесём $cos2 x 2$ в левую часть уравнения:

1 − cos2 x+ sin x = 0. 2

По ОТТ $sin2 x = 1− cos2 x : 2 2$

sin2 (x) + sinx = 0. 2

По формуле синуса двойного угла $x x sin x = 2 sin 2 cos2 :$

2 x- x- x- sin 2 + 2sin2 cos2 = 0.

Вынесем $x sin 2$ за скобку:

( ) sin x-⋅ sin x-+ 2cos x = 0. 2 2 2

Произведение равно 0 тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0:

$⌊ sin x-= 0, ⌈ x 2 x sin 2 + 2 cos 2-= 0.$

Второе уравнение совокупности — однородное.

Если в рамках данного уравнения $x cos2$ равен 0, то и $x sin 2$ одновременно равен 0. В таком случае получаем противоречие с ОТТ: $2 2 0 + 0 ⁄= 1.$

Разделим второе уравнение совокупности на $x cos2 :$

$⌊ sin x-= 0, ⌈ 2 tg x-+ 2 = 0. 2$

$⌊ x- ⌈ 2 = πn,n ∈ ℤ, x-= arctg (− 2)+ πn,n ∈ ℤ. 2$

$[ x = 2πn,n ∈ ℤ, x = 2 arctg(− 2)+ 2πn,n ∈ ℤ.$

б)

Проведём отбор корней графическим методом:

$PIC$

Ни одна из точек серии $x = 2πn,n ∈ ℤ$ не принадлежит отрезку.

Из серии $x = 2arctg(− 2)+ 2πn,n ∈ ℤ$ на отрезок попадает ровно одна точка $2 arctg(− 2).$

Для того, чтобы точно определить её положение на окружности, сначала определим положение точки $arctg (− 2).$ Она, очевидно, лежит в IV четверти из-за отрицательности аргумента арктангенса: $− 2 < − 1,$ откуда $arctg(− 2)$ меньше $− π. 4$

Отмерим такой же угол уже от точки $arctg(− 2)$ и попадём в III четверть, где и будет лежать точка $2 arctg(− 2).$

Таким образом:

$2arctg(− 2) = arctg(− 2)+ arctg(− 2) = 2 arctg(− 2)+ 2π ⋅0.$

Ответ:

а) $x = 2πn,x = 2arctg (− 2)+ 2πn$ , где $n ∈ ℤ$ ;

б) $2 arctg(− 2).$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#75178

Снегурочка готовится к сдаче ЕГЭ 2024 и изучает тригонометрию. В качестве тренировки Дед Мороз задал ей решить уравнение

sinx +cosx+ cos2 x= sin2x.

Во время своего отпуска в Великом Устюге это же уравнение увидел АН, после чего задал решить его своим ученикам на курсе, тем более что все затрагиваемые в его решении темы (а их тут минимум три штуки) уже были разобраны на вебинарах.

а) Решите уравнение

sinx +cosx+ cos2 x= sin2x.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[−π;0.].$

Показать ответ и решение

а) По формуле разности квадратов $a2 − b2 = (a− b)(a+ b):$

sin x+ cosx + cos2x− sin2x = 0,

sinx + cosx +(cosx− sinx)(cosx + sinx)= 0,

(sinx +cosx)(1 + cosx − sin x)= 0,

$[ sin x+ cosx = 0, 1+ cosx − sinx= 0.$

Рассмотрим первое уравнение совокупности:

sinx +cosx= 0.

Перед нами однородное уравнение первого порядка, колдуем над ним следующим образом: допустим, косинус в этом уравнении равен 0. Тогда $sinx+ 0 =0,$ то есть и синус также равен 0. Тут возникает противоречие с ОТТ, ведь $02+ 02 ⁄= 1.$ Следовательно, этот случай не дает корней, и можно разделить обе части уравнения на $cosx.$ Тогда получим:

tgx +1 = 0,

tgx =− 1,

π x =− 4-+πn,n ∈ ℤ.

Рассмотрим второе уравнение совокупности:

1+ cosx− sinx = 0,

sinx − cosx= 1.

Здесь удобно вспомнить технику введения вспомогательного угла. Разделим уравнение на $√ -2---2 √- 1 + 1 = 2 :$

√- √- √- -2-sinx − -2cosx = -2, 2 2 2

( ) ( ) √ - cos π- sinx − sin π cosx = --2, 4 4 2

√- ( π) -2- sin x − 4 = 2 .

Получили простейшее уравнение, решением которого являются две серии:

$⌊x − π= π-+ 2πn,n∈ ℤ, |⌈ 4 4 x− π-= 3π +2πn,n ∈ℤ. 4 4$

$⌊ x= π-+ 2πn,n∈ ℤ, ⌈ 2 x= π + 2πn,n ∈ ℤ.$

б) Реализуем отбор графическим методом:

$PIC$

Минимальные вычисления для отобранных корней:

π- π- x1 = −4 + 2π⋅0= − 4,

x2 = π+ 2π⋅(−1)= −π.

Ответ:

а) $x = − π-+ πn; 4$ $x = π+ 2πn;$ $x = π+ 2πn; 2$ $n ∈ ℤ;$
б) $− π;− π4.$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#2195

а) Решите уравнение

√ -- √ -- 3 sin2 x − 3(sin xcos x − 1) = 3sin2x − 3cos2x

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $[− 1;2 ]$ .

Показать ответ и решение

а) ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ.

Перенесем все слагаемые в левую часть и применим формулы двойного аргумента для синуса и косинуса: $sin2x = 2sinx cosx, cos2x = 2cos2x − 1$ :

2 √ -- √ -- 2 3 sin x − ( 3 + 6)sinx cosx + 2 3 cos x = 0

Данное уравнение является однородным. Разделим правую и левую части уравнения на $2 cos x$ и сделаем замену $tgx = t, t ∈ ℝ$ :

√ -- √ -- 3t2 − ( 3 + 6)t + 2 3 = 0

Дискриминант данного уравнения $D = √32 + 12 √3-+ 62 − 24√3--= √32- − 12√3--+ 62 = (√3--− 6)2$

Следовательно, $√ -- ∘ -√-------- √ -- √ -- D = ( 3 − 6)2 = | 3 − 6 | = 6 − 3$

Таким образом, корнями данного уравнения будут: $√ -- √ -- √-- t1,2 = --3 +-6-±-(6-−--3)-⇒ t1 = -3-, t2 = 2 6 3$

Сделаем обратную замену:

⌊ √ -- ⌊ tgx = --3- x1 = π- + πk,k ∈ ℤ |⌈ 3 ⇒ ⌈ 6 ⇒ x2 = arctg2 + πn, n ∈ ℤ tgx = 2

б) Произведем отбор корней по окружности:

Отметим точки, являющиеся решением уравнения, на окружности. Для этого найдем на линии тангенсов точки $√- -3- 3$ и $2$ и соединим их с центром окружности. Получили четыре (зеленые) точки на окружности.

Отметим дугу, соответствующую отрезку $[− 1;2 ]$ . Т.к. $1$ рад $∘ ∼ 57$ , то $∘ ∘ − 1 ∼ − 57 , 2 ∼ 114$ .

Таким образом, видно, что на дугу попали лишь две точки.

Из серии углов $π- 6 + πk$ угол, попадающий в $[− 1;2]$ , это $π- 6$ . Из серии $arctg2 + πn$ — угол $arctg2$ .

Ответ:

а) $π --+ πk,arctg2 + πn, k, n ∈ ℤ 6$

б) $π;arctg2 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#900

а) Решите уравнение

4cos2x + 6 sin2 x = 5 sin 2x

б) Найдите все его корни, принадлежащие полуинтервалу $[ ) 0; 5π 4$ .

Показать ответ и решение

а) ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

Перенесем все слагаемые в левую часть и применим формулу синуса двойного угла $sin 2x = 2 sin xcos x$ :

2 2 4 cos x − 10 sin xcos x + 6sin x = 0

Уравнение свелось к однородному. Разделим правую и левую части равенства на $2 sin x$ :

2 4ctg x − 10ctgx + 6 = 0

Заменой $ctgx = t, t ∈ ℝ$ данное уравнение сводится к квадратному:

4t2 − 10t + 6 = 0 ⇒ t1 = 1, t2 = 3- 2

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ctgx = 1 x1 = π-+ πk, k ∈ ℤ | | 4 ⌈ ⇒ |⌈ ctgx = 3- 3- 2 x2 = arcctg 2 + πn, n ∈ ℤ

б) Отберем корни:

0 ≤ x < 5π-⇒ − 1-≤ k < 1 1 4 4

Целые $k$ , удовлетворяющие этому неравенству, это $k = 0$ . Следовательно, $π x1 = -- 4$ .

Обозначим $3- arcctg2 = α$ :

0 ≤ x2 < 5π-⇒ − α- ≤ n < 5− α- 4 π 4 π

Т.к. котангенс в первой четверти убывает, то $π 1 α 5 α 5 0 < α < --⇒ − --< − --< 0 ⇒ 1 < --− -- < -- 4 4 π 4 π 4$ (можно условно записать, что $− 0,...≤ n < 1,...$ ),

значит, целые $n$ , удовлетворяющие неравенству, это $n = 0; 1$ . Следовательно, $3 3 x2 = arcctg--; arcctg --+ π 2 2$ .

Ответ:

а) $π 3 --+ πk,arcctg--+ πn, k,n ∈ ℤ 4 2$

б) $π- 3- 3- 4; arcctg2; arcctg2 + π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#761

а) Решите уравнение $sin2x − 3 sinxcosx+ 2cos2x= 0.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $[ π-] −π;2 .$

Показать ответ и решение

а) Данное уравнение является однородным и решается путем деления правой и левой частей уравнения на $sin2x$ или на $cos2x.$ Разделим обе части на $cos2x:$

[ ⌊ π tg2x− 3tg x+ 2= 0 ⇒ tgx =1 ⇒ ⌈x1 = 4-+ πk,k ∈ ℤ tgx =2 x2 = arctg2 +πk,k ∈ℤ

б) Отберем походящие корни с помощью неравенств.

Первая серия решений:

π- 5 1 −π ≤x1 ≤ 2 ⇒ − 4 ≤k ≤ 4

Таким образом, целые $k,$ удовлетворяющие этому неравенству, это $k = −1;0.$ При этих значениях $k$ получаем корни

x= − 3π-, x = π- 4 4

Вторая серия решений:

π- arctg2- 1 arctg2- − π ≤ x2 ≤ 2 ⇒ −1 − π ≤ k ≤ 2 − π

Заметим, что

π- π- 1 arctg2- 1 4 < arctg2< 2 ⇒ 4 < π < 2

Таким образом,

−11 < −1 − arctg2< − 11 2 π 4 0< 1 − arctg2-< 1 2 π 4

Значит, целые $k,$ подходящие в полученное неравенство, это $k = −1;0.$ При этих значениях $k$ получаем корни

x= arctg2− π, x= arctg2

Ответ:

а) $π+ πk;arctg2+ πk;k ∈ ℤ 4$

б) $− 3π ;arctg 2− π; π;arctg2 4 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#415

а) Решите уравнение $(sinx+ 2cosx)(3sinx+ cosx)= sin2x.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие $[ π-π] − 2;2 .$

Показать ответ и решение

а) ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ.

Применим формулу синуса двойного угла $sin2x = 2sinx cosx$ , раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть:

2 2 3sin x+ 5sin xcosx + 2cos x = 0

Разделим правую и левую части равенства на $cos2x$ , сделаем замену $tgx= t,t∈ ℝ$ и получим:

2 2 3t+ 5t+ 2= 0⇒ t1 =− 1;t2 = − 3

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ tgx = −1 x1 = − π4-+ πn,n∈ ℤ ⌈ 2 ⇒ |⌈ 2 tgx = −3 x2 = −arctg 3 + πm,m ∈ ℤ

б) Отберем корни:

− π-≤x1 ≤ π-⇒ − 1 ≤ n≤ 3 ⇒ n = 0⇒ x = − π 2 2 4 4 4

Обозначим $tg 2= α 3$ , тогда:

π- π- α- 1 α- 1 − 2 ≤ x2 ≤ 2 ⇒ π − 2 ≤ m ≤ π + 2

Т.к. в первой четверти тангенс возрастает и $2 π α 1 3 < 1⇒ 0 < α< 4-⇒ 0 < π-< 4 ⇒$ целое $m$ , удовлетворяющее неравенству, это $m = 0$ . Ему соответствует угол $x =− arctg 2 3$ .