Задачи на круговое движение —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 10. Сюжетные текстовые задачи

10.04 Задачи на круговое движение

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела сюжетные текстовые задачи

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1617

Из точки A круговой орбиты далёкой планеты одновременно в одном направлении вылетели два метеорита. Скорость первого метеорита на 10000 км/ч больше, чем скорость второго. Известно, что впервые после вылета они встретились через 8 часов. Найдите длину орбиты в километрах.

Показать ответ и решение

В тот момент, когда метеориты впервые встретились, разница расстояний, которые они пролетели, равна длине орбиты. За 8 часов разница стала $8 ⋅10000= 80000$ км.

Ответ: 80000

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#886

Два спортсмена стартуют в одном направлении из диаметрально противоположных точек круговой дорожки. Они бегут с разными непостоянными скоростями. Известно, что в тот момент, когда спортсмены впервые поравнялись, они прекратили тренировку. На сколько кругов больше пробежал спортсмен с большей средней скоростью, чем другой спортсмен?

Показать ответ и решение

Назовём спортсмена с большей средней скоростью первым. Сначала первому спортсмену нужно было пробежать полкруга, чтобы достичь места старта второго спортсмена. После этого ему предстояло пробежать ровно столько же, сколько пробежал второй спортсмен.

Таким образом, первый спортсмен пробежал на 0,5 круга больше.

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#290

Два бегуна стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой дорожки, длина которой 400 метров. Через сколько минут бегуны поравняются в первый раз, если первый бегун за час пробегает на 1 километр больше, чем второй?

Показать ответ и решение

За час первый бегун пробегает на 1000 метров больше, чем второй, значит на 100 метров больше он пробежит за $60:10= 6$ минут.

Изначальное расстояние между бегунами равно 200 метрам. Они поравняются первый раз тогда, когда первый бегун пробежит на 200 метров больше, чем второй. Это произойдёт через $2⋅6= 12$ минут.

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1978

Из точки $A$ выбегает спортсмен и бежит по кругу. Спустя 2 минуты из точки $A$ выбегает второй спортсмен и бежит в том же направлении, что и первый. Спустя ещё 2 минуты из точки $\text{[math]}$ выбегает третий спортсмен и бежит в направлении, противоположном направлению первых двух спортсменов. Все спортсмены бегут с постоянной одинаковой скоростью. Третий спортсмен заметил, что между моментами встречи с первым и со вторым спортсменами всегда проходит ровно $t$ минут. Найдите $t.$

Показать ответ и решение

Так как скорости спортсменов одинаковы и постоянны, то между первым и вторым спортсменами всегда сохраняется расстояние, которое любой спортсмен пробежит за 2 минуты.

Таким образом, после встречи первого и третьего спортсменов, но до встречи второго и третьего спортсменов второй и третий спортсмены вместе пробегают расстояние, которое любой из них преодолел бы за 2 минуты.

Скорость сближения второго и третьего спортсменов равна сумме их скоростей, то есть она в два раза больше, чем скорость любого спортсмена, следовательно, сближаются второй и третий спортсмены в два раза быстрее, чем за 2 минуты.

Ответ: $t= 2:2= 1.$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#1977

Две беговые дорожки имеют форму окружностей, причём центры этих окружностей совпадают, а радиусы отличаются в два раза. Два спортсмена бегут по этим дорожкам в одном направлении с одинаковыми постоянными скоростями. Игорь заметил моменты, когда два спортсмена поравнялись между собой в первый и в десятый раз. Сколько кругов пробежал за это время спортсмен, бегущий по короткой дорожке?

Показать ответ и решение

Так как радиусы окружностей отличаются в два раза, то и их длины отличаются в два раза. При этом скорости спортсменов одинаковы и постоянны, следовательно, между моментами, когда спортсмены поравнялись в первый и во второй раз, спортсмен, бегущий по короткой дорожке, пробежал ровно два круга.

Аналогично между моментами, когда спортсмены поравнялись во второй и в третий раз и т.д. Всего таких ситуаций было $10− 1 =9,$ следовательно, за это время спортсмен, бегущий по короткой дорожке, пробежал $2 ⋅9= 18$ кругов.

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#1976

Два велосипедиста стартуют одновременно из одной точки круговой трассы в разных направлениях. Скорость первого велосипедиста в полтора раза больше, чем скорость второго. Через час после старта они встретились в пятый раз (считайте, что в первый раз они встретились уже после старта). Найдите скорость первого велосипедиста, если длина трассы 6 км. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

В тот момент, когда велосипедисты встретились в пятый раз, суммарное расстояние, которое они проехали, было $5 ⋅6 = 30$ км.

Так как скорость первого в 1,5 раза больше, чем скорость второго, то он проехал из 30 км часть, в 1,5 раза большую, чем второй, то есть 18 км.

Так как встретились в пятый раз они через час, то 18 км первый проехал за час. Его скорость 18 км/ч.

Ответ: 18

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#1616

Два мотоциклиста стартуют одновременно из одной точки круговой трассы в разных направлениях. Скорость первого мотоциклиста в два раза больше, чем скорость второго. Через час после старта они встретились в третий раз. При этом считайте, что в первый раз они встретились уже после старта. Найдите скорость первого мотоциклиста, если длина трассы 40 км. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

В тот момент, когда мотоциклисты встретились в третий раз, суммарное расстояние, которое они проехали, было $3 ⋅40 = 120$ км.

Так как скорость первого в 2 раза больше, чем скорость второго, то он проехал из 120 км часть в 2 раза большую, чем второй, то есть 80 км.

Так как третья встреча произошла через час, то 80 км первый мотоциклист проехал за час. Тогда его скорость равна 80 км/ч.

Ответ: 80

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#1615

Вор, укравший сумочку, убегает от хозяйки сумочки по круговой дороге. Скорость вора на 0,5 км/ч больше, чем скорость хозяйки сумочки, которая бегает за ним. Через сколько часов вор догонит хозяйку сумочки во второй раз, если длина дороги, по которой они бегают, равна 300 метрам? Считайте, что в первый раз он её догнал уже после кражи сумочки.

Показать ответ и решение

Способ 1.

Вор догонит хозяйку сумочки во второй раз в тот момент, когда расстояние, которое он пробежит, станет на 600 метров больше, чем расстояние, которое пробежит хозяйка сумочки с момента кражи.

Так как скорость вора на 0,5 км/ч больше, то за час он пробегает на 500 метров больше. Тогда за $1:5= 0,2$ часа вор пробегает на $500 :5= 100$ метров больше. На 600 метров больше он пробежит за $1+ 0,2 = 1,2$ часа.

Способ 2.

Пусть $v$ км/ч — скорость хозяйки сумочки, тогда $v+ 0,5$ км/ч — скорость вора.

Пусть $t$ часов — время, через которое вор догонит хозяйку сумочки во второй раз.

Тогда $v ⋅t$ — расстояние, которое пробежит хозяйка сумочки за $t$ часов, $(v+ 0,5)⋅t$ — расстояние, которое пробежит вор за $t$ часов.

Вор догонит хозяйку сумочки во второй раз в тот момент, когда пробежит ровно на 2 круга больше неё, то есть на 600 метров = 0,6 км. Тогда имеем уравнение:

(v+ 0,5)⋅t− v⋅t= 0,6 0,5⋅t= 0,6

Отсюда получаем $t= 1,2$ часа.

Ответ: 1,2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#849

Из точки $A$ выбегает спортсмен и бежит по кругу. Спустя 2 минуты из точки $A$ выбегает второй спортсмен и бежит в том же направлении, что и первый. Спустя ещё 2 минуты из точки $A$ выбегает третий спортсмен и бежит в направлении, противоположном направлению первых двух спортсменов. Все спортсмены бегут с постоянной одинаковой скоростью. Третий спортсмен впервые встретил первого спортсмена через 1 минуту. За какое минимальное время первый спортсмен может при этом пробегать круг? Ответ дайте в минутах.

Показать ответ и решение

Если первый спортсмен пробегает круг быстрее, чем за 2 минуты, то вместе первый и третий спортсмен за минуту пробегают больше целого круга, следовательно, тогда третий спортсмен встретил бы первого раньше, чем через минуту. Таким образом, первый спортсмен не может пробегать круг быстрее, чем за 2 минуты.

Если при этом первый спортсмен пробегает круг за 2 минуты, то условие задачи выполняется, следовательно, ответ: 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#686

Две беговые дорожки имеют форму окружностей, причём центры этих окружностей совпадают. Илья недавно пришёл на стадион и увидел, как два спортсмена бегут каждый по своей дорожке в противоположных направлениях. Откуда они стартовали, Илье не известно. В первый раз при Илье спортсмены поравнялись через 2 минуты после после появления Ильи. Во второй раз они поравнялись через 5 минут после появления Ильи. Через сколько минут после появления Ильи спортсмены поравняются в четвёртый раз, если они бегут с постоянной скоростью?

Показать ответ и решение

Между первыми двумя встречами прошло $5 − 2 = 3$ минуты. За каждые 3 минуты первый спортсмен пробегает фиксированную часть своей дорожки, как и второй спортсмен. Тогда ещё через 3 минуты (после второй встречи) два спортсмена снова поравняются (в третий раз), а ещё через 3 минуты они поравняются в четвёртый раз. С момента появления Ильи при этом пройдёт $5 +3 +3 = 11$ минут.

Ответ: 11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#685

Кот Мурзик бегает от пса Шарика по кругу. Скорости Мурзика и Шарика постоянны. Известно, что Мурзик бежит в 1,5 раза быстрее Шарика и за 10 минут они в сумме пробегают два круга. За сколько минут Шарик пробежит один круг?

Показать ответ и решение

Так как Мурзик бежит в 1,5 раза быстрее Шарика, то за 10 минут Мурзик и Шарик в сумме пробегают такое же расстояние, которое пробежал бы Шарик за время в минутах, равное

10⋅(1+ 1,5)= 25

Следовательно, Шарик пробегает два круга за 25 минут, тогда один круг Шарик пробегает за 12,5 минут.

Ответ: 12,5

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#684

Два спортсмена стартуют одновременно в противоположных направлениях из двух диаметрально противоположных точек круговой дорожки, длина которой 400 метров. Первый бегун за час пробегает на 1,4 километра больше, чем второй, причём скорость первого бегуна в 1,2 раза больше, чем скорость второго. Найдите отношение одного часа ко времени в часах, через которое бегуны встретятся впервые.

Показать ответ и решение

Пусть $v$ км/ч — скорость второго бегуна, тогда скорость первого бегуна в км/ч равна

1,2v = v+ 1,4 ⇒ v = 7

Скорость сближения бегунов в км/ч равна

7 +1,2⋅7= 15,4

Тогда разделяющие их 0,2 км они пробегут за время в часах, равное

0,2-= 1- 15,4 77

Следовательно, искомое отношение равно

1 1:77 =77

Ответ: 77

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#23566

Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 60 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 3 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 10 минут. Чему равна скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 15 минут, а скорости обоих гонщиков постоянны? Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

Общая протяженность заезда равна $60⋅3= 180$ км. Обозначим скорость первого гонщика через $v1$ км/ч, второго — через $v2$ км/ч.

По условию первый гонщик быстрее, тогда скорость, с которой он отрывается от второго, равна $v1− v2$ км/ч. Известно, что первый обогнал второго на круг через 15 минут, то есть через 0,25 часа после начала. Также известно, что разница во времени прохождения всей трассы первым и вторым гонщиками составляет 10 минут, то есть $1 6$ часа.

Запишем оба условия и решим полученную систему:

$pict$

Тогда скорость второго гонщика равна 108 км/ч.

Ответ: 108

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#23561

Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?

Показать ответ и решение

За час минутная стрелка поворачивается на $∘ 360,$ а часовая на $360∘ ∘ 12 = 30.$ Тогда скорость, с которой минутная стрелка «догоняет» часовую равна $360− 30= 330$ градусов в час. В 8:00 минутная стрелка «отстает» от часовой на $240∘.$ Чтобы четырежды сравняться с часовой стрелкой, минутная должна сначала догнать ее, отставая на $240∘,$ а затем трижды догнать, отставая на $360∘$ (в каком-то смысле, когда стрелки сравнялись, минутная «отстает» от часовой на $360∘),$ то есть должно пройти

240-+360⋅3- 1320 330 = 330 = 4 ч= 240 мин.

Ответ: 240

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#291

Из города $M$ по круговой дороге длиной 220 километров вышел турист, а через 55 минут следом за ним из города $M$ отправился автомобилист. Через 5 минут после отправления он догнал туриста в первый раз, а еще через 4 часа после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость туриста, если известно, что она меньше 10 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

Способ 1.

После первой встречи автомобилист догнал туриста во второй раз через 4 часа. К моменту второй встречи автомобилист проехал на круг больше, чем прошёл турист, то есть на 220 км больше.

Так как за эти 4 часа автомобилист обогнал туриста на 220 км, то скорость автомобилиста на $220:4 =55$ км/ч больше, чем скорость туриста.

Пусть теперь скорость туриста $v$ км/ч, тогда до первой встречи он успел пройти расстояние в километрах, равное

(55 5-) v⋅ 60 + 60 = v

При этом автомобилист успел проехать расстояние в километрах, равное

(v+ 55)-5 = v+-55 60 12

Тогда получаем уравнение

v+ 55 -12--= v

Отсюда находим $v =5$ км/ч.

Способ 2.

Пусть $v$ км/ч — скорость туриста. Пусть $w$ км/ч — скорость автомобилиста.

Так как $55+ 5$ минут равно 1 часу, то $v⋅1$ км — расстояние, которое прошёл турист до первой встречи.

Так как 5 минут равно $-1 12$ часа, то $1- w ⋅12$ км — расстояние, которое проехал автомобилист до первой встречи. Расстояния, которые они проехали до первой встречи, равны:

w⋅ 1-= v⋅1 12

За следующие 4 часа автомобилист проехал на круг, то есть на 220 км, больше, чем прошёл турист. Тогда имеем уравнение:

w ⋅4= v⋅4+ 220

Отсюда с учётом предыдущего уравнения

48v = 4v+ 220

Решая это уравнение, находим $v = 5$ км/ч.

Ответ: 5

Предыдущий раздел

Следующий раздел