Задачи на движение по воде —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 10. Сюжетные текстовые задачи

10.03 Задачи на движение по воде

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела сюжетные текстовые задачи

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2343

Яхта движется по стоячей воде, ее собственная скорость - $30$ км/ч, встречный ветер каждую минуту сносит яхту на $20$ метров. За сколько часов яхта пройдет $259200$ метров?

Показать ответ и решение

За каждый час яхта проходила бы 30 км, или 30000 метров, значит, за минуту она проходила бы $30000 : 60 = 500$ метров. Так как за каждую минуту ветер сносит ее на 20 метров, то в итоге за минуту яхта проходит 480 метров. Следовательно, ей понадобится $259200 : 480 = 540$ минут или $540 : 60 = 9$ часов.

Ответ: 9

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#2342

Катер движется по стоячей воде. Собственная скорость катера - $35$ км/ч. Навстречу катеру дует ветер, который за каждый час сносит катер на $3$ км назад. За сколько часов катер доберется в назначенный пункт, если он находится на расстоянии $144$ км от места начала движения катера?

Показать ответ и решение

Так как за час катер проходил бы 35 км, но ветер сносит его назад на 3 км, то в итоге за час катер проходит 32 км. Следовательно, 144 км катер пройдет за $144 : 32 = 4,5$ часа.

Ответ: 4,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1979

Антон знает, что собственная скорость его лодки равна $10 км/ ч$ . При этом ему надо успеть проплыть $25$ за $2$ часа. Плыть он будет по течению. Какой должна быть скорость течения реки, чтобы Антон успел? Ответ дайте в км/ч. Если в задаче может быть более одного ответа – выберите наименьший.

Показать ответ и решение

Чтобы Антон успел, необходимо и достаточно, чтобы его лодка перемещалась со скоростью не меньше, чем $25 : 2 = 12,5 км/ ч$ . То есть для того, чтобы Антон успел, необходимо и достаточно, чтобы скорость течения была не меньше, чем $2,5 к м/ч$ .

Ответ: 2,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1619

Теплоход с туристами плыл из города $A$ в город $B.$ Его скорость в неподвижной воде была 12 км/ч. В городе $B$ он сделал остановку продолжительностью 5 часов, после чего поплыл обратно в $A.$ Скорость течения составляла 2 км/ч. В город $A$ теплоход вернулся через 29 часов после отплытия из него. Найдите расстояние между $A$ и $B.$ Ответ дайте в километрах.

Показать ответ и решение

Пусть $S$ км — расстояние, которое проплыл теплоход по пути из $A$ в $B,$ тогда время, которое теплоход плыл по течению равно $--S-- 12+ 2$ часов; время, которое теплоход плыл против течения равно $S 12-− 2$ часов. Плыл теплоход всего $29− 5 =24$ часа, тогда:

S S 14 + 10 = 24,

откуда находим $S = 140$ км.

Ответ: 140

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#687

Лодка прошла 10 км по течению, а затем 5 км против течения. На весь путь лодка затратила 3 часа. Найдите среднюю скорость лодки на описанном участке пути, если скорость течения равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

Средняя скорость есть отношение всего пути ко времени, затраченному на этот путь. Независимо от скорости течения средняя скорость лодки в км/ч равна

10 +5 v = -3---= 5

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#80086

От речного вокзала в противоположные стороны отправляются лодка и плот — против и по течению реки соответственно, причём известно, что за час в стоячей воде лодка проплывает столько же, сколько плот за 10 часов по течению. Найдите скорость удаления лодки от плота, если за $2,5$ часа плот преодолел расстояние в 10 километров.

Показать ответ и решение

Если за час в стоячей воде лодка проплывает столько же, сколько плот за 10 часов по течению, то логично, что скорость лодки в 10 раз больше скорости плота, вернее скорости течения реки, поскольку плот собственной скорости не имеет.

Пусть скорость лодки равна $10x$ км/ч, тогда скорость течения реки равна $x$ км/ч.

Если за $2,5$ часа плот преодолел расстояние в 10 километров, то справедливо тождество:

10 = x ⋅2,5,

x = 4.

В таком случае скорость лодки равна $4⋅10 = 40.$

Плот и лодка движутся в противоположные стороны, но лодка при этом движется против течения, следовательно, скорость их удаления друг от друга:

Vудаления = 40 − 4+ 4 = 40 км/ч.

Ответ: 40

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#20838

Моторная лодка в 10:00 вышла из пункта $A$ в пункт $B,$ расположенный в 30 км от $A.$ Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт $A$ в 18:00 того же дня. Определите собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки равна 1 км/ч. Ответ дайте в километрах в час.

Показать ответ и решение

Обозначим скорость лодки через $x$ км/ч, $x> 0.$

Тогда скорость лодки по течению равна $x +1$ км/ч. Следовательно, время, затраченное на путь по течению, составляет $--30-- x + 1$ часа.

При этом скорость лодки против течения равна $x − 1$ км/ч. Следовательно, время, затраченное на путь против течения, составляет $-30-- x− 1$ часа.

Учитывая то, что лодка пробыла в пункте $B$ 2,5 часа и затратила на всю дорогу $18− 10= 8$ часов, получаем уравнение:

$pict$

С учетом условия $x> 0$ подходит только $x =11.$

Ответ: 11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#18614

Катер в 10:00 вышел из пункта A в пункт B, расположенный в 15 км от A. Пробыв в пункте B 1 час, катер отправился назад и вернулся в пункт A в 15:00 того же дня. Определите собственную скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость катера. Тогда скорость катера по течению равна $x+ 2$ км/ч, против течения — $x− 2$ км/ч. По смыслу задачи подходит только $x> 2.$

Расстояние между пунктами A и B равно 15 км. Тогда катер потратил на дорогу в одну сторону между пунктами A и B время, равное $-15-- x +2$ часа, в другую сторону — $-15-- x− 2$ часа.

При этом катер еще пробыл в пункте B один час. Суммарно на дорогу было потрачено $15 − 10 =5$ часов. Тогда имеем уравнение:

-15-- -15-- x+ 2 + x− 2 + 1= 5 15(x − 2)+ 15(x+ 2)− 4(x− 2)(x +2) =0 30x− 4x2+ 16= 0 ⌊x =8 2x2− 15x − 8= 0 ⇔ ⌈ 1 x =− 2

Так как $x >2,$ то подходит только $x =8.$

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#17136

Лодка в 5:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от пункта А. Пробыв 2 часа в пункте В, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 23:00 того же дня. Определите (в км/ч) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость лодки равна 4 км/ч.

Показать ответ и решение

Пусть $v$ км/ч — скорость течения. Заметим, что если лодка проплыла от пункта А в пункт В и обратно, то она ровно один раз плыла по течению и один раз — против течения. Составим таблицу:

---------------S----v-----t--- -против-течения--30--4−-v--430−v-- --по-течению----30--4+-v--430+v--

На путь туда и обратно с учетом остановки лодка потратила $23− 5= 18$ часов. Так как остановка длилась 2 ч, то на путь туда и обратно лодка потратила 16 часов. Следовательно, получаем уравнение

-30-+ -30- = 16 ⇔ 30⋅8= 16⋅(16− v2) 4− v 4+ v v2 = 1 ⇔ v = 1

Следовательно, скорость течения равна 1 км/ч.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#15804

Моторная лодка прошла против течения реки 153 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 8 часов меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

Пусть $v$ — собственная скорость моторной лодки. Тогда на путь против течения лодка потратила $-153 t1 = v − 4$ часа, а на путь по течению — $t2 = 153- v+ 4$ часа.

Так как на путь по течению лодка потратила на 8 часов меньше, чем на путь против течения, то получаем следующее уравнение:

$-153- 153- t1 = t2+ 8 ⇔ v− 4 = v+ 4 + 8 2 153(v+ 4)= 153(v− 4)+ 8(v − 16) 2 153v+ 4⋅153= 153v− 4⋅153+ 8v − 8⋅16 8⋅153+ 8⋅16= 8v2 v2 = 169 ⇔ v = ±13$

Так как скорость лодки в неподвижной воде положительна, то выбираем $v = 13.$

Ответ: 13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#14912

Теплоход прошел по течению реки 96 км и столько же против течения, затратив на весь путь 10 ч. Скорость течения реки 4 км/ч. Определить скорость теплохода в стоячей воде.

Показать ответ и решение

Пусть $v$ км/ч — скорость теплохода в стоячей воде. Тогда скорость движения теплохода по течению будет равна $(v +4)$ , а против течения — $(v− 4)$ . Составим таблицу:


	$S$ , км	$v$ , км/ч	$t$ , ч

По течению	$96$	$v+ 4$	$-96-- v + 4$

Против течения	$96$	$v− 4$	$-96-- v − 4$

Поскольку суммарное время пути равно $10$ часам, получим уравнение:

$pict$

Корень $x1$ нам не подходит, поскольку по тому условию, которое мы задали, скорость теплохода положительна, а значит ответ равен 20 км/ч.

Ответ: 20

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#12999

Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 16 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 2 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 53 часа после отплытия из него. Сколько километров прошёл теплоход за весь рейс?

Показать ответ и решение

Длительность всего пути равна $53− 5 =48$ часам. Пусть $x$ км — длина между пунктами. В ответ затем запишем $2x,$ так как за рейс теплоход пройдет расстояние между пунктами дважды. Скорость движения теплохода по течению равна $16 +2 = 18$ км/ч, а скорость против течения равна $16 − 2 = 14$ км/ч. Составим таблицу:


	$S$ , км	$v$ , км/ч	$t$ , ч

По течению	$x$	$18$	$x- 18$

Против течения	$x$	$14$	$x14-$

Поскольку суммарное время пути равно 48 часам, то получим уравнение:

$pict$

Ответ: 756

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#12994

Катер в 8:40 вышел из пункта А в пункт В, расположенный в 48 км от А. Пробыв 40 минут в пункте В, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 16:20 того же дня. Найдите собственную скорость катера (в км/ч), если известно, что скорость течения реки 2 км/ч.

Показать ответ и решение

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость катера. Катер пробыл в пути без учёта остановки $16 ч 20 мин − 8 ч 40 мин− 40 мин = 7$ ч. Составим таблицу:


	$S$ , км	$v$ , км/ч	$t$ , ч

По течению	$48$	$x +2$	$-48-- x + 2$

Против течения	$48$	$x − 2$	$-48-- x − 2$

Поскольку весь путь занял $7$ часов, получим уравнение:

$pict$

Поскольку $x > 0$ , то подходит только $x = 14$ .

Ответ: 14

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#11247

Расстояние между пристанями $A$ и $B$ равно 48 км. Отчалив от пристани $A$ в 9 ч, пароход проплыл вниз по течению реки до пристани $B.$ Простояв у пристани $B$ 1 час, пароход отправился в обратный рейс и прибыл в $A$ в 17 ч. того же дня. Скорость течения реки постоянна и равна 2 км/ч. Найдите собственную скорость (скорость в неподвижной воде) парохода.

Показать ответ и решение

Время движения туда и обратно составляет $17 − 9 − 1 = 7$ часов. Пусть $x$ км/ч — собственная скорость парохода. Составим таблицу:

|---Движение---|Длина-пути, км|Скорость, км/ч|В-рем-я, ч| |--------------|--------------|-------------|---------| |--По-течению---|------48-------|----x+-2-----|---4x+82----| |П ротив течения | 48 | x− 2 | 48- | ------------------------------------------------x−-2---

Поскольку общее время пути составляет 7 часов, составим уравнение:

48 48 x+-2-+ x−-2 = 7 48(x+ 2+ x− 2)= 7(x2− 4) 2 7x − 96x− 28= 0 D = 962+ 4⋅7⋅28= 10000= 1002 96±-100 2 x1,2 = 14 = − 7; 14.

среди полученных ответов выбираем тот, который неотрицательный.

Ответ: 14

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#2407

С плывущего по реке плота два пловца одновременно прыгнули и поплыли: первый – по течению, второй – против. Через 5 минут они развернулись и вскоре оказались на плоту. Кто из них оказался на плоту раньше и через сколько минут после прыжка? Каждый плыл с постоянной собственной скоростью, и их скорости могли быть не равны.

Показать ответ и решение

Рассмотрим одного из пловцов (например, того, кто плыл против течения) и плот. Если скорость течения равна $x$ м/мин, а собственная скорость пловца $y$ м/мин, то за 5 минут плот сдвинется вправо на $5x$ м, а пловец влево на $5y − 5x$ м (рис. 1). Если бы действие происходило в стоячей воде, то плот бы не сдвинулся с места, а пловец сдвинулся бы влево на $5y$ м (рис. 2).

$PIC$

Таким образом, расстояние между плотом и пловцом что в стоячей воде, что при движении по реке меняется одинаково (в обоих случаях расстояние между ними через 5 минут будет равно $5y$ ).
Таким образом, можно предполагать, что действие в задаче происходит в стоячей воде.

Тогда если первый пловец отплыл от плота на расстояние $s1$ , а второй – на расстояние $s2$ за 5 минут, то для того, чтобы вернуться на плот, также нужно первому пройти расстояние $s1$ , а второму – $s2$ . Так как их скорости остаются прежними, то на то, чтобы вернуться на плот, им понадобится тоже 5 минут. Следовательно, вернутся на плот они одновременно через 10 минут после прыжка.

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#2375

Катер прошел 40 км по течению реки и 6 км против течения реки, затратив на весь путь 3 ч. Найдите скорость катера в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

Пусть $x$ км/ч — скорость катера в стоячей воде. Тогда имеем уравнение

-40--+ -6--= 3 x+ 2 x− 2 46x2−-68= 3 x − 4 3x2 − 46x+ 56= 0

Дискриминант равен

D = 4 ⋅361 =(38)2

Следовательно, корни равны

x = 4, x = 14 1 3 2

Так как скорость катера не может быть меньше скорости течения, то $x1$ не подходит. Следовательно, скорость катера равна 14 км/ч.

Ответ: 14

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#1981

Моторная лодка проплыла по течению реки $20$ км, после чего сломалась и в течение часа её уносило течением. Спустя час после поломки лодка развернулась и поплыла в обратную сторону с изначальной собственной скоростью, равной $13$ км/ч. Известно, что обратный путь занял $2$ ч. Найдите скорость течения. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

Пусть скорость течения реки равна $vт$ , тогда путь лодки по течению составил $20 + 1 ⋅ vт = 20 + vт$ км.

Так как обратный путь занял 2 ч, то

20 + vт = 2 ⋅ (13 − vт) ⇔ vт = 2 км/ч.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#1980

Яхта проплыла по течению реки 144 км и вернулась обратно, после чего проплыла ещё 36 км по течению реки. Известно, что время, затраченное на движение яхты по течению, равно времени, затраченному на движение яхты против течения. При этом скорость яхты в неподвижной воде равна 18 км/ч. Найдите скорость течения. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

Пусть $vт$ — скорость течения в км/ч, $v >0,$ тогда имеем:

$18+ vт$ — скорость перемещения яхты по течению;

$18− vт$ — скорость перемещения яхты против течения;

$--180-- 18+ vт$ — время, затраченное яхтой на перемещение по течению;

$144 18−-vт$ — время, затраченное яхтой на перемещение против течения.

Так как время против течения совпадает со временем по течению, то имеем:

$--180--= -144-- 18+ vт 18 − vт 180(18− vт)− 144(18+ vт) ----(18+-vт)(18−-vт)----= 0$

Приравняем числитель дроби к нулю:

$180(18− vт)− 144(18+ vт)= 0 180⋅18− 180vт− 144 ⋅18 − 144vт = 0 18⋅(180− 144) − (180+ 144)vт = 0 18 ⋅36 = 324vт vт = 2$

Тогда скорость течения равна $vт = 2.$

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#1618

Города $M$ и $N$ находятся возле реки на расстоянии 60 км. Из $M$ в $N$ отправился катер, который прибыл в город $N$ и сразу повернул назад. К тому времени, как катер вернулся в $M,$ плот, который отправился из $M$ в $N$ на час раньше катера, проплыл 13 км. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Найдите скорость катера в неподвижной воде. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

Плот проплыл 13 км за $13:2 =6,5$ часа. Тогда дорога из M в N и обратно заняла у катера $6,5 − 1 = 5,5$ часов.

Пусть $v$ км/ч — скорость катера в стоячей воде, $v >0.$ Тогда имеем:

$-60- v+ 2$ часов — время, затраченное катером на дорогу из M в N, так как плот плывёт по течению из M в N;

$-60- v− 2$ часов — время, затраченное катером на дорогу из N в M.

Так как суммарное время катера на дорогу из M в N и обратно равно 5,5 часа, то

60 60 v+-2 + v-−-2 = 5,5 ⇒ 11v2 − 240v− 44= 0

Отсюда находим

-2 v1 = 22, v2 = −11

Так как $v > 0$ , то ответ 22 км/ч.

Ответ: 22

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#1225

Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна $24$ км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна $3$ км/ч, стоянка длится $2$ часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через $34$ часа после отправления из него. Сколько километров прошёл теплоход за весь рейс?

Показать ответ и решение

Пусть $S$ – расстояние в километрах, которое проходит теплоход, двигаясь в одну сторону. Тогда:

--S---- --S---- 24 + 3 + 24 − 3 + 2 = 34 ⇔ S = 378

Тогда за весь рейс теплоход прошел $2S = 2 ⋅ 378 = 756$ километров.

Ответ: 756

Предыдущий раздел

Следующий раздел