Задачи на работу и производительность —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#17056

Первый садовый насос перекачивает 8 литров воды за 4 минуты, второй насос перекачивает тот же объём воды за 6 минут. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 60 литров воды?

Показать ответ и решение

Производительность первого насоса $A = 8= 2 1 4$ л/мин. Производительность второго насоса $A2 = 8 = 4 6 3$ л/мин.

Общая производительность насосов равна сумме их производительностей, а для нахождения времени совместной работы разделим общую работу на совместную производительность:

60 60 60 -------= -----= -- =18 минут. A1 + A2 2 + 4 10 3 3

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1988

Один гигантский комар может выпить литр крови за полчаса, а второй гигантский комар – за четверть часа. За сколько минут гигантские комары выпьют литр крови на двоих?

Показать ответ и решение

За час первый комар выпивает $2$ литра, а второй $4$ литра.

Вместе за час они выпьют $2 + 4 = 6$ литров.

Таким образом, комарам на распитие литра крови понадобится $1- 6$ часа, то есть $10$ минут.

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1630

Таня может перемыть гору посуды за 20 минут, а Настя за 60 минут. За сколько минут девочки перемоют две горы посуды, работая вместе?

Показать ответ и решение

За минуту Таня моет $-1 20$ часть одной горы посуды, а Настя $1- 60$ часть горы посуды.

Вместе за минуту они моют $-1 + 1-= -1 20 60 15$ горы посуды.

Таким образом, на две горы посуды девочкам понадобится $1 2:15 = 30$ минут.

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1629

Боря может поклеить обои в комнате общежития за 10 часов, а его сосед Савва — за 6 часов. За сколько часов ребята поклеят обои в комнате, работая вместе?

Показать ответ и решение

За час Боря поклеит $1- 10$ часть комнаты, а Савва — $1 6$ часть комнаты.

Вместе за час они поклеят часть комнаты, равную

1-+ 1 = 8- 10 6 30

Таким образом, ребятам понадобится время в часах, равное

8 1:30 = 3,75

Ответ: 3,75

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#303

Один маляр может покрасить забор за 2 часа, а второй маляр тот же забор — за 3 часа. За сколько часов маляры покрасят такой же забор, работая вместе?

Показать ответ и решение

За час первый маляр красит $1 2$ забора, а второй маляр красит $1 3$ забора.

Вместе за час они красят $1 + 1= 5 2 3 6$ забора.

Таким образом, для покраски забора малярам понадобится $5 1: 6 = 1,2$ часа.

Ответ: 1,2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#40311

Первый и второй насосы наполняют бассейн за 9 минут, второй и третий — за 12 минут, а первый и третий — за 18 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?

Показать ответ и решение

Пусть объем бассейна — $x$ литров. Тогда первый и второй насосы заполняют $x$ литров за 9 минут, второй и третий насосы заполняют $x$ литров за 12 минут, первый и третий насосы заполняют $x$ литров за 18 минут.

Заполним таблицу:


	Производительность	Время	Работа

1 + 2	$x 9$ л/мин	9 мин	$x$ л

2 + 3	$x12$ л/мин	12 мин	$x$ л

1 + 3	$x18$ л/мин	18 мин	$x$ л

Сложим производительности первого и второго насосов, второго и третьего насосов, первого и третьего насосов. Получим производительность двух первых, двух вторых и двух третьих насосов при одновременной работе:

( ) x + x-+ -x = x 1 + 1-+ -1 = 9 12 18 9 12 18 ( 4+ 3+ 2) 9 x = x ---36--- = x⋅36 = 4

Тогда производительность в литрах в минуту трех насосов при одновременной работе равна

1 ⋅ x = x 2 4 8

Время в минутах, за которое три насоса заполнят бассейн при одновременной работе, равно отношению работы к производительности:

xx-= 8 8

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#20840

Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 375 литров она заполняет на 10 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 500 литров?

Показать ответ и решение

Обозначим количество литров, которые пропускает вторая труба в минуту, через $x$ , $x > 0.$ Тогда первая труба пропускает в минуту $x− 5$ литров.

Первая труба наполнит резервуар объемом 500 литров за $x50−05$ минут.

Вторая труба заполнит резервуар объемом 375 литров за $375x-$ минут. При этом будет затрачено на 10 минут меньше, чем на наполнение первой трубой резервуара объемом 500 литров, то есть

$pict$

Учитывая условие $x > 0,$ получаем, что подходит только $x =25.$

Тогда вторая труба пропускает 25 литров воды в минуту.

Ответ: 25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#20839

Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?

Показать ответ и решение

Обозначим количество деталей, которые делает в час второй рабочий, через $x> 0.$ Тогда первый рабочий делает в час $x+ 1$ деталь.

При этом на заказ в 110 деталей первый потратит $110-- x+ 1$ часа, второй — $110 x$ часа.

Учитывая, что первый потратит на 1 час меньше, получим следующее уравнение:

$pict$

Учитывая условие $x > 0,$ получаем, что подходит только $x =10.$

Тогда второй рабочий делает 10 деталей в час.

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#17540

Первая труба наполняет резервуар на 54 минуты дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 36 минут. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

Показать ответ и решение

Пусть $S$ литров — объём резервуара, а $x$ минут — время наполнения резерувуара второй трубой, тогда первая труба наполнит резервуар за $x + 54$ минуты. Составим таблицу, помня о том, что при работе двух труб одновременнно, их производительности складываются:


	Объём работы $A$ , л	Производительность $p$ , л/мин	Время наполнения $t$ , мин

I труба	$S$	$--S--- x+ 54$	$x + 54$

II труба	$S$	$S- x$	$x$

Обе трубы	$S$	$S S --+ ------ x x+ 54$	36

Таким образом, получим уравнение, основнное на равенстве $A = p⋅t$ для случая работы обеих труб одновременно:

$pict$

Поскольку $x > 0$ , выбираем единственный положительный ответ $x = 54$ .

Ответ: 54

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#17302

Заказ на 221 деталь первый рабочий выполняет на 4 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 4 детали больше?

Показать ответ и решение

Пусть $t$ — время, за которое первый рабочий выполняет заказ на 221 деталь. Тогда $t+ 4$ — время, за которое второй рабочий выполняет тот же заказ.

Следовательно, $22t1$ — количество деталей, которое делает первый рабочий в час, $22t+14-$ — количество деталей, которое делает в час второй рабочий. Получаем уравнение:

221 = 221-+ 4 |⋅t(t +4) ⇒ t t+ 4

⇒ 221(t+ 4)= 221t+ 4t(t+ 4) ⇔

2 ⇔ t + 4t− 221= 0

Дискриминант квадратного уравнения равен

D = 42+ 4⋅221= 4 ⋅225 =(2⋅15)2

Отсюда $−4 ±30 t= ---2---$ и подходящий положительный корень $t= 13.$

Тогда второй рабочий в час делает $-221- = 13 13+ 4$ деталей.

Ответ: 13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#17059

Первая труба наполняет резервуар на $54$ минуты дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за $36$ минут. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

Показать ответ и решение

Пусть время работы первой трубы $t1$ , второй — $t2$ , при этом $t1 = t2 + 54$ . Время равно работе, деленной на произвдительность: $A t = P-$ . Выразим отсюда производительность: $A P = t-$ . Подставим во время общей работы: $A A 1 t1 ⋅t2 t1+2 = P-+-P- = A---A-= -1---1 = t-+-t-= 36 1 2 --+ -- --+ -- 1 2 t1 t2 t1 t2$ минут.

Умножим финальное тождество на знаменатель: $t1t2 = 36(t1 + t2)$ . Подставим выражение $t1$ через $t2$ :

$pict$

По теореме Виета: $t2,1 = − 36$ , $t2,2 = 54$ . Время неотрицательно, значит $t2 = 54$ минуты.

Ответ: 54

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#13548

Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 432 литра она заполняет на 6 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объёмом 552 литра?

Показать ответ и решение

Пусть первая труба пропускает $v− 1$ литров в минуту. Тогда вторая пропускает $v$ литров в минуту.

Первая труба заполняет резервуар объёмом 552 литра за $t1 = 5v5−21$ минуты.

Вторая труба заполняет резервуар объёмом 432 литра за $t2 = 432v$ минуты. По условию $t2+ 6= t1.$

Тогда имеем уравнение:

$pict$

Отсюда получаем

$pict$

Отсюда имеем $v =24$ или $v = −3.$

Труба пропускает положительное количество воды в минуту, поэтому $v = 24.$

Тогда вторая труба пропускает 24 литра воды в минуту.

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#2699

Первый землекоп выкапывает яму на 10 минут дольше, чем второй землекоп выкапывает такую же яму. Оба землекопа выкапывают такую же яму за 12 минут. За сколько минут такую яму выкопает второй землекоп?

Показать ответ и решение

Пусть за $x$ минут яму выкапывает второй землекоп, $x > 0$ , тогда

первый землекоп такую же яму выкапывает за $x + 10$ минут.

Работая вместе, они в минуту выкапывают $1- --1---- x + x + 10$ часть ямы.

Так как оба землекопа выкапывают такую же яму за 12 минут, то

( 1 1 ) 12 --+ ------- = 1 ⇔ x2 − 14x − 120 = 0 x x + 10

– при $x ⁄= 0, x ⁄= − 10$ , откуда находим $x1 = 20, x2 = − 6$ . Так как $x > 0$ , то ответ $x = 20$ .

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#1632

Первый робот и второй робот могут прибрать комнату после вечеринки за 56 минут. Второй робот и третий робот могут прибрать ту же комнату после вечеринки за 40 минут, а третий и первый роботы — за 35 минут. За сколько минут роботы приберут комнату, работая втроем?

Показать ответ и решение

За 1 минуту первый и второй роботы прибирают $1- 56$ часть комнаты, второй и третий роботы прибирают $-1 40$ часть комнаты, а третий и первый роботы прибирают $-1 35$ часть комнаты.

Тогда за 1 минуту первый и второй, второй и третий, третий и первый роботы вместе прибирают часть комнаты, равную

1 1 1 1 56 + 40 + 35 = 14

В последнем выражении вклад каждого робота был учтён дважды, значит, за 1 минуту первый, второй и третий роботы прибирают $1 28$ часть комнаты.

Тогда на уборку всей комнаты им понадобится время в минутах, равное

-1 1:28 =28

Ответ: 28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#1631

Кот Барсик съедает пачку корма за 10 минут, кот Мурзик – за 15 минут, а кошка Багира – за 6 минут. За сколько минут съедят пачку корма Барсик, Мурзик и Багира, поедая корм вместе?

Показать ответ и решение

За минуту Барсик съедает $1 --- 10$ пачки корма, за минуту Мурзик съедает $1 --- 15$ пачки корма, а Багира за минуту съедает $1- 6$ пачки корма.

Тогда за минуту Барсик, Мурзик и Багира вместе съедают $1 1 1 1 ---+ ---+ --= -- 10 15 6 3$ пачки корма.

Таким образом, им понадобится $1 : 1-= 3 3$ минуты.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#1628

Каждая из двух коров может съесть стог сена за 20 минут. Спустя 5 минут после того, как первая корова приступила к поеданию стога сена, к ней присоединилась вторая, и они доели стог сена вместе. Сколько минут потребовалось на поедание стога сена коровам?

Показать ответ и решение

В минуту каждая корова съедает

-1-= 0,05 стога сена. 20

За 5 минут первая корова съела $0,05 ⋅ 5 = 0,25$ стога сена, после чего осталось $1 − 0,25 = 0,75$ стога сена.

Поедая вместе, две коровы в минуту съедают $2 ⋅ 0,05 = 0, 1$ стога сена, тогда с начала совместного поедания до конца прошло $0,75 : 0,1 = 7,5$ минут.

Всего на стог сена коровам потребовалось $5 + 7,5 = 12,5$ минут.

Ответ: 12,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#1335

Первый и второй рабочие могут выполнить заказ за $3$ дня. Второй и третий рабочие могут выполнить заказ за $4$ дня. Третий и четвёртый рабочие могут выполнить заказ за $4$ дня. Четвёртый и пятый рабочие могут выполнить заказ за $5$ дней. Пятый и первый рабочие могут выполнить заказ за $5$ дней. За сколько дней заказ выполнит один первый рабочий?

Показать ответ и решение

Так как второй и третий рабочие могут выполнить заказ за $4$ дня, как и третий и четвёртый рабочие, то у второго и четвёртого рабочих одинаковые производительности. При этом четвёртый и пятый рабочие могут выполнить заказ за $5$ дней, как и пятый и первый рабочие, следовательно, у четвёртого и первого рабочих одинаковые производительности.

Тогда у первого и второго рабочих одинаковые производительности (как у четвёртого), следовательно, первый рабочий справится с заказом за время, в два раза большее, чем в случае, когда он работает со вторым рабочим вместе, то есть один он справится за $6$ дней.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#1065

Катя и Таня могут убраться во всей квартире за 3 часа 8 минут, Таня и Даша могут убраться в этой же квартире за 3 часа 55 минут, а Катя и Даша – за 2 часа 21 минуту. За сколько часов все три девочки, работая вместе, уберутся в квартире?

Показать ответ и решение

Переведем минуты в часы: $8$ мин $= 860 = 125$ ч; $55$ мин $= 5650 = 1112$ ч; $21$ мин $= 2610 = 270$ ч.

Тогда сумма скоростей Кати и Тани равна

1 --2- 3 15

Сумма скоростей Тани и Даши равна

-1-- 3 11 12

Сумма скоростей Даши и Кати равна

-1-- 2 720

(Здесь мы приняли всю работу за единицу)
Тогда сумма скоростей Кати, Тани и Даши равна

( ) 1-⋅ -1--+ -1--+ -1-- 2 3 215 31112 2 720

Следовательно, время (в часах), затраченное на уборку квартиры тремя девочками, равно

1 2 2 ---(-----------------)--= 15---12---20 = -47-= 2. 1-⋅ -1--+ -1--+ -1-- 47 + 47 + 47 47 2 3125 3 1112- 2 720

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#945

Четыре одинаковых кота съедают четыре пачки корма “Корм 1” за четыре дня. Пять таких же котов съедают пять пачек корма “Корм 2” за пять дней. Во сколько раз больше период, на который одному такому коту хватит одной пачки корма “Корм 2”, чем период, на который одному такому коту хватит одной пачки корма “Корм 1”?

Показать ответ и решение

По условию четыре кота съедают четыре пачки корма “Корм 1” за четыре дня, тогда каждый кот ест свою пачку корма “Корм 1” четыре дня. Аналогично каждый кот ест свою пачку корма “Корм 2” пять дней, следовательно, искомая величина равна $5 : 4 = 1, 25$ .

Ответ: 1,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#302

Отличник Илья решает все 300 уравнений из учебника за 2 часа, а двоечница Уля решает все 300 уравнений из учебника за 30 часов. Уля решала уравнения из учебника 10 часов, после чего на помощь пришёл Илья. Сколько времени в итоге Уля потратила на получение всех решений всех уравнений (в том числе с помощью Ильи)? Ответ дайте в часах.

Показать ответ и решение

За час Уля решает $1- 30$ всех уравнений, а Илья $1 2$ всех уравнений.

За первые 10 часов Уля решила $-1 1 10⋅30 = 3$ всех уравнений, после чего ей оставалось ещё $1 2 1− 3 = 3$ всех уравнений.

За час совместной работы Уля и Илья решали $1- 1 8- 30 + 2 = 15$ от всех уравнений, тогда $2 3$ от всех уравнений они решили за $2 8- 3 : 15 = 1,25$ часа.

В итоге Уля потратила $10+ 1,25 = 11,25$ часа.

Ответ: 11,25