Рассмотрим картинку. Так как параллелепипед прямоугольный, то он прямой и в основании лежит прямоугольник. Следовательно, его боковые ребра (например, ) параллельны боковым ребрам призмы и равны, так как основания призмы вписаны в основания параллелепипеда (то есть лежат в одних и тех же плоскостях). Отсюда следует, что высоты призмы и параллелепипеда одинаковы. Пусть – длина их высоты.
Рассмотрим отдельно основание. По свойству правильного шестиугольника . Так как – прямоугольник, то есть , то . Заметим также, что вообще говоря , а .
Пусть – сторона шестиугольника. Его угол равен , следовательно, по теореме косинусов:

Заметим также, что , следовательно, в треугольнике : Следовательно, .
Значит, – прямоугольник со сторонами и .
 
Площадь правильного шестиугольника равна , следовательно, объем призмы а объем параллелепипеда Следовательно,