Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению всех трёх его измерений. Из вершины выходит по одному ребру каждого из измерений. Пусть длина неизвестного ребра равна . Тогда

Пусть .
 

 

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника () имеем: .

 

Из прямоугольного треугольника () по теореме Пифагора .

 

Подставляя из первого равенства во второе, получим:

Так как то По теореме Пифагора

Следовательно,

Искомый объем равен половине объема прямоугольного параллелепипеда следовательно, он равен

Многогранник, объем которого необходимо найти, является прямоугольной треугольной пирамидой, высота которой равна а основание представляет собой прямоугольный треугольник Следовательно, этот объем равен

В прямоугольном параллелепипеде с измерениями и длина его диагонали равна

Следовательно,

Запишем выражение для объёма пирамиды который по условию равен 8:

Отсюда получаем

Заметим, что Найдём объём всего параллелепипеда:

Тогда объём оставшейся части равен

Способ 1.

Заметим, что объем многогранника, вершинами которого являются точки в два раза меньше объема прямоугольного параллилепипеда, поскольку это призма с основанием, в два раза меньше, чем у параллелепипеда.

Тогда — искомый объём, — объём параллелепипеда:

Способ 2.

Полученный многогранник представляет из себя прямую призму с основаниями и объём которой вычисляет ся по формуле

 
Пусть , , . Тогда объем параллелепипеда равен

Так как (потому что по определению прямоугольного параллелепипеда в основании лежит прямоугольник), то объем пирамиды Следовательно, объем пирамиды в 6 раз меньше объема параллелепипеда.

 

Так как параллелепипед прямоугольный, то все его грани – прямоугольники, а у прямоугольника обе диагонали равны. Следовательно, . Рассмотрим диагональ и диагональ параллелепипеда . Треугольник прямоугольный, так как ребро перпендикулярно грани (по определению прямоугольного параллелепипеда). Следовательно, гипотенуза

Отношение их объемов равно:

 
Заметим, что все варианты для площадей его граней – это всевозможные попарные произведения чисел , то есть , или . Среди этих произведений наибольшим является .

Заданные отрезки являются диагоналями соответствующих граней параллелепипеда. Значит, каждый отрезок можно выразить через теорему Пифагора соответствующего прямоугольного треугольника: , , . Из этих уравнений можно найти неизвестные стороны параллелепипеда:
;
;
.
Мы нашли три различных ребра параллелепипеда. Всего в параллелепипеде ребер – по каждого вида. Тогда сумма всех ребер будет равна:

Если мы повернем грань вокруг , так чтобы она оказалась в одной плоскости с гранью , а точки и оказались на продолжении отрезков и за точки и соответственно, то получим следующую фигуру:
 

 

Очевидно, что кратчайшее расстояние от точки до точки будет равно длине диагонали . Так как , то является диагональю квадрата .

 

Так как – прямоугольный параллелепипед, то – проекция на , тогда по теореме Пифагора

при этом по теореме Пифагора откуда

Так как – прямоугольный параллелепипед, то по теореме Пифагора

Аналогично по теореме Пифагора

Таким образом, тогда

 

Обозначим , , , тогда площадь полной поверхности равна

Площадь квадрата со стороной равна , сумма площадей квадратов со сторонами , , равна , тогда искомая величина равна

 
Рассмотрим картинку. Так как параллелепипед прямоугольный, то он прямой и в основании лежит прямоугольник. Следовательно, его боковые ребра (например, ) параллельны боковым ребрам призмы и равны, так как основания призмы вписаны в основания параллелепипеда (то есть лежат в одних и тех же плоскостях). Отсюда следует, что высоты призмы и параллелепипеда одинаковы. Пусть – длина их высоты.
Рассмотрим отдельно основание. По свойству правильного шестиугольника . Так как – прямоугольник, то есть , то . Заметим также, что вообще говоря , а .
Пусть – сторона шестиугольника. Его угол равен , следовательно, по теореме косинусов:

Заметим также, что , следовательно, в треугольнике : Следовательно, .
Значит, – прямоугольник со сторонами и .
 
Площадь правильного шестиугольника равна , следовательно, объем призмы а объем параллелепипеда Следовательно,

 
Так как , то грани и равны, следовательно, и их диагонали равны, значит, . Так как диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам, то . Рассмотрим : в нем является средней линией, следовательно, она равна половине основания , которое в свою очередь является диагональю квадрата , следовательно, равно . Следовательно, .

 
Площадь полной поверхности первого параллелепипеда

Площадь полной поверхности второго параллелепипеда Следовательно,