Тема 3. Геометрия в пространстве (стереометрия)
3.11 Куб как частный случай прямоугольного параллелепипеда
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела геометрия в пространстве (стереометрия)
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#581

В кубе ABCDA1B1C1D1   точки A2   и B2   – середины соответственно сторон AA1   и BB1   . Найдите площадь поверхности фигуры ABCDA2B2C1D1   , если ребро куба равно ∘ -------√---
  32 −  4  5  .
 
PIC
 

Показать ответ и решение

Площадь поверхности фигуры ABCDA2B2C1D1   состоит из суммы следующих площадей:

Sпов. = SAA2D1D + SBB2C1C  + SDD1C1C  + SAA2B2B +  SABCD  + SA2B2C1D1.
Обозначим ребро куба за 2x  , тогда AA2  =  BB2  = x  . AA2D1D  и BB2C1C  – равные прямоугольные трапеции, площадь которых равна
SAA D D =  SBB  CC =  1-⋅ (AA2 + DD1  ) ⋅ AD = (x-+-2x)-⋅ 2x-= 3x2.
   2  1        2 1    2                              2
Также найдем площади остальных граней: S        = 4x2
  DD1C1C   , S       =  2x2
 AA2B2B   , S      = 4x2
 ABCD   ; для того чтобы найти площадь грани A2B2C1D1   нам понадобится сначала найти сторону A2D1   . Найдем ее, используя теорему Пифагора в треугольнике △A2A1D1   :
     2       2       2    2     2      2
A2D  1 = A2A 1 + A1D 1 = x  + 4x  = 5x
    ⇒          √ --
A2D1  =    5x  . Тогда                             √ -- 2
SA2B2C1D1 = A2B2  ⋅ A2D1 = 2  5x   . Теперь сложим все площади граней искомой фигуры:
          2     2     2     2     2    √ --2          √ --   2
Sпов. = 3x + 3x  + 4x  + 2x  + 4x  +  2  5x =  (16 + 2  5) ⋅ x .
По условию задачи имеем: 2x = ∘32--−--4√5-=  2 ⋅ ∘8-−-√5--  ⇒ x = ∘8 -−--√5-  . Подставим в формулу площади и получим окончательный результат:
                    ( ∘ -------)2
               √ --         √ --            √ --       √ --
S пов. = (16 + 2  5) ⋅   8 −   5   =  2 ⋅ (8 + 5) ⋅ (8 −  5) = 2 ⋅ 59 = 118.
Ответ: 118

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!