Заметим, что объем куба равен , где — длина ребра, а диагональ куба равна

По условию . Тогда

Пусть длина ребра куба равна . Тогда его объём равен . Если каждое ребро увеличили в 3 раза, то объём стал равен

Значит, объём увеличился в 27 раз.

Пусть длина ребра куба равна объем куба равен Тогда имеем:

Площадь поверхности куба равна сумме площадей всех его граней. Площадь каждой из шести граней куба равна

Тогда площадь поверхности равна

Диагональ куба в раз больше его стороны, тогда сторона куба равна

Вычислим площадь боковой поверхности

Так как то Рассмотрим Его стороны — диагонали одинаковых квадратов, следовательно, этот треугольник равносторонний. Значит, все его углы равны по то есть

В кубе провели диагонали и противоположных граней и По условию площадь сечения равна

Если сторона куба равна то диагональ любой грани равна Значит, площадь сечения равна

Тогда объем куба равен

 

Если ребро куба обозначить за , то . Площадь поверхности куба равна сумме площадей всех его граней. Все грани между собой равны и являются квадратами. Таких граней в кубе будет . Тогда . Согласно условию задачи: . Тогда

 

– фигура сечения куба. – параллельна и , т.к. соединяет середины и , поэтому перпендикулярна граням и перпендикулярна и . – прямоугольник.

можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника : . Найдем площадь фигуры сечения:

Сначала заметим, что ответ не изменится, если уменьшить масштаб в два раза по каждому направлению. При этом сумка станет кубом с ребром , а слитки золота станут прямоугольными параллелепипедами с измерениями .

Оценим возможное количество слитков сверху: так как объём сумки равен , а объём слитка равен , то более слитков в сумку не войдут. Но могут ли войти в неё 6?

Назовём слиток горизонтальным, если две его грани параллельны дну сумки так, что его высота равна 1. В противном случае назовём слиток вертикальным. Мысленно “расслоим”сумку на 3 одинаковых горизонтальных слоя.

 

Каждый вертикальный слиток занимает в среднем слое по 2 соседних кубика с ребром 1. Средний слой состоит из 9 таких кубиков, следовательно, вертикальных слитков в сумку входит не более 4. При этом горизонтальных слитков в сумку входит не более 3 (в каждый слой входит не более одного горизонтального слитка).

В случае, когда горизонтальных слитков ровно 3, получим, что в среднем слое 4 кубика из 9 заняты горизонтальным слитком, то есть в среднем слое остаётся кубиков, но каждый вертикальный слиток должен занимать в среднем слое по 2 кубика, тогда получаем, что вертикальных слитков при этом не более 2 и всего слитков при трёх горизонтальных .

 

Таким образом, последний шанс Анатолия унести 6 слитков – это 4 вертикальных слитка и 2 горизонтальных. Возможно ли это? Понятно, что для этого необходимо, чтобы горизонтальные слитки лежали в нижнем и верхнем слоях, но верхний слиток не должен “полностью нависать”над нижним. Тогда остаётся всего 2 принципиально различных способа уложить горизонтальные слитки в верхнем и нижнем слоях относительно друг друга.

При этом один из них позволяет уложить 6 слитков. Чтобы наглядно проиллюстрировать его сначала поместим в сумку только вертикальные слитки и покажем вид сверху:
 

 

здесь голубым отмечены все те вертикальные слитки, которые стоят на дне сумки. Тогда на дно можно подложить ещё 1 горизонтальный слиток под те вертикальные, которые не стоят на дне сумки. Аналогично, в верхний слой можно подложить 1 горизонтальный слиток.

Итого: при разумном подходе Анатолий может вынести 6 слитков.

 

Пусть – точка на , такая что , тогда , следовательно, сечение, проходящее через точку и ребро – четырёхугольник , причём , следовательно, . Аналогично , то есть – прямоугольник.

Найдём по теореме Пифагора: Тогда .

 

; , т.к. – параллелограмм , . Аналогичным образом получается, что и – параллелограмм, а т.к. перпендикулярна граням и , то и и перпендикулярны этим же граням – прямоугольник. Чтобы найти площадь этого прямоугольника, найдем сперва сторону из прямоугольного треугольника , используя теорему Пифагора.

. Тогда площадь :

Площадь поверхности фигуры состоит из суммы следующих площадей:

Обозначим ребро куба за , тогда . и – равные прямоугольные трапеции, площадь которых равна Также найдем площади остальных граней: , , ; для того чтобы найти площадь грани нам понадобится сначала найти сторону . Найдем ее, используя теорему Пифагора в треугольнике : . Тогда . Теперь сложим все площади граней искомой фигуры: По условию задачи имеем: . Подставим в формулу площади и получим окончательный результат: