По теореме синусов где — радиус описанной окружности, тогда

Угол опирается на дугу значит, он равен половине центрального угла Углы и — смежные, поэтому Тогда мы можем найти

Так как длина меньшей дуги равна длины окружности, то и ее градусная мера равна градусной меры окружности, то есть равна

Угол — вписанный, опирающийся на меньшую дугу следовательно, равен ее половине, то есть

Так как — вписанный, то центральный угол который опирается на ту же дугу, в два раза больше:

Так как — диаметр, то угол — развернутый и равен следовательно,

Обозначим градусные меры дуг Так как градусная мера всей окружности равна то

Из вписанных углов и большим будет тот, который опирается на большую дугу равную

Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то

Обозначим хорду за Рассмотрим треугольник где — центр окружности. Так как отрезок равен радиусу окружности, то треугольник — равносторонний. Следовательно,

Заметим, что и — центральный и вписанный углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно,

Вписанные углы и опираются на одну и ту же дугу, следовательно, они равны:

Тогда имеем:

следовательно, меньшая дуга

Т.к. угол опирается на эту дугу и является вписанным, то он равен ее половине, то есть

Заметим, что треугольник — равнобедренный, следовательно,

По условию — вписанный. Вписанный угол в два раза меньше градусной меры дуги, на которую он опирается.

Градусная мера дуги есть градусная мера центрального угла, который на неё опирается. Тогда градусная мера дуги равна и

Построим отрезки и точку пересечения и обозначим

как вписанные, опирающиеся на общую дугу. Так как — диаметр, то

Тогда дополняет до а дополняет до и из равенства вытекает следовательно, дуги и равны.

Градусная мера дуги равна

Соединим

Треугольник — равнобедренный, тогда тогда дуги, на которые опираются эти вписанные углы, равны, следовательно градусная мера дуги равна

Градусная мера дуги равна

Так как — диаметр, то следовательно,

и — центральный и вписанный углы соответственно, опирающиеся на одну и ту же дугу, следовательно,

Так как градусные меры дуг относятся как то можно ввести обозначения: — градусная мера меньшей дуги, — большей. Тогда откуда

Нужно найти Он является вписанным и равен половине большей дуги, следовательно, равен или

Так как градусная мера всей окружности равна то дуга не содержащая точки равна

Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то равен

Обозначим хорду за Рассмотрим треугольник где — центр окружности.

Так как равна радиусу окружности, то треугольник — равносторонний. Следовательно,

Следовательно, меньшая дуга окружности равна Тогда большая дуга окружности равна

Заметим, что — вписанный угол, опирающийся на большую дугу следовательно, он равен ее половине, то есть

Рассмотрим картинку:

Рассмотрим треугольник он прямоугольный ( т.к. опирается на диаметр), следовательно,

Катет лежащий против угла равен половине гипотенузы то есть равен

Четырехугольник, все стороны которого равны, является ромбом. Следовательно, — ромб. Значит, диагонали делят его углы пополам. Следовательно,

Следовательно, (т.к. на них опираются центральные углы и равные этим дугам), (т.к. на них опираются вписанные углы и , равные половинам этих дуг).

Т.к. вся окружность равна то

Угол — вписанный и опирающийся на дугу следовательно, он равен ее половине, то есть

Рассмотрим картинку:

Т.к. треугольники и — равнобедренные, то Таким образом,

Т.к. — вписанные, то

Заметим, что эти дуги в сумме дают всю окружность, то есть Следовательно, следовательно,

Рассмотрим картинку:

Т.к. то можно обозначить

Дуга равна

Следовательно,

Значит, дуга Угол вписанный и опирается на эту дугу, следовательно, он равен ее половине, то есть

Равные хорды стягивают равные дуги. Покажем это: Построим радиусы

Треугольники и равны по трём сторонам, тогда и, значит, дуга (которая меньше полуокружности) равна дуге (которая меньше полуокружности). Тогда разность градусных мер этих дуг равна