Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вписанная сфера треугольной пирамиды касается основания в точке , а боковых граней - в точках и . Прямые пересекают плоскость, проходящую через середины боковых рёбер пирамиды, в точках . Докажите, что прямая SP проходит через центр описанной окружности треугольника .
Источники:
Первое решение.
Сделаем гомотетию с центром и коэффициентом 2. Пусть — образы точек — точка пересечения прямой с плоскостью . Тогда как касательные к сфере, и, поскольку треугольники и подобны, то . Аналогично . Но как касательные, следовательно — центр окружности , а середина — центр окружности
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение.
Обозначим сферу, проходящую через точки , с центром в точке , через , вписанную сферу пирамиды — через , а плоскость, проходящую через середины рёбер пирамиды — через .
Сделаем инверсию с центром в точке , переводящую в . Тогда точки перейдут в точки . Так как , то образ будет перпендикулярен . Следовательно, образом будет сфера, построенная на окружности ( ) как на диаметральной окружности.
Тогда утверждение задачи следует из того, что центр инверсии, центр сферы и центр её образа лежат на одной прямой.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Замечание.
Утверждение задачи является частным случаем следующего факта.
Рассмотрим стереографическую проекцию сферы на плоскость из точки . Пусть — точка вне сферы , а окружность на , образованная касательными к из , не проходит через . Тогда образом будет окружность с центром в точке пересечения плоскости с лучом .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана треугольная пирамида , основание которой — равносторонний треугольник , а все плоские углы при вершине равны . При каком наименьшем можно утверждать, что эта пирамида правильная?
Источники:
Подсказка 1
Эта задача на оценку + пример. Давайте попробуем сначала привести пример для угла, который, как нам кажется, подходит. А потом уже докажем, что для меньшего угла условие задачи не выполняется. Подумайте какой хороший угол нам подойдёт? Слова про правильные фигуры на это всячески намекают.
Подсказка 2
Верно, докажем, что при плоском угле 60 градусов наша пирамида окажется правильной. Нужно только понять, что если в треугольнике есть угол 60 градусов, то сторона напротив него средняя по величине между другими. Тогда предположив, что какое-то боковое ребро не равно ребру из основания, сможем получить противоречие и получить доказательство. Что же будет, если плоские углы будут меньше 60? Попробуйте построить пример неправильной пирамиды с таким углом, учитывая условия задачи и соотношения сторон по их размерам.
Подсказка 3
Давайте, рассмотрим равнобедренный треугольник SAB, в котором SA=SB и ∠S = α(α<60). Тогда сторона AB в нём наименьшая, и мы сможем его отложить на боковых сторонах. Осталось только понять, что отложив на рёбрах трёхгранного угла нужные отрезки(два из которых SA и SB) с плоскими углами меньше 60, мы получим неправильную пирамиду, то есть контрпример.
Докажем, что при пирамида правильная. Пусть стороны треугольника равны 1. Заметим, что в любом треугольнике с углом против этого угла лежит средняя по длине сторона (причём если она строго меньше одной из сторон, то строго больше другой). Пусть одно из боковых рёбер пирамиды не равно 1: например, . Тогда в гранях и рёбра и будут меньше 1, и значит, в грани ребро — не средняя сторона, противоречие.
Покажем теперь, как построить неправильную пирамиду с плоскими углами при вершине .
Первый способ. Сначала боковое ребро удаляем, а неудалённую боковую грань вращаем вокруг её ребра основания , пока эта грань не окажется в плоскости основания так, что будет содержать треугольник основания. В процессе движения будут «текущие» пирамиды, у которых два равных плоских угла сначала равны , потом больше (в момент, когда вершина проектируется в вершину основания — поскольку в этот момент синус угла при вершине в боковых гранях и равен , а в грани равен отношению боковой высоты этого треугольника к , которая меньше 1), а в конце у «вырожденной» пирамиды они равны . Значит, в силу непрерывности, будет ещё раз .
Второй способ. Рассмотрим треугольник c и . Так как , на стороне существует такая точка , что . Теперь возьмем трёхгранный угол, у которого все плоские углы равны , и отложим на его ребрах отрезки , , . Пирамида — искомая.
Третий способ. Пусть — правильная пирамида с плоским углом при вершине . Пусть , — точки, такие, что , построим на треугольники и так, что , , , тогда понятно что . В силу теоремы синусов для этих треугольников имеем
что влечёт , поскольку синусы смежных углов равны. Пусть теперь — такая точка на продолжении отрезка за точку , что . Тогда , , и , тогда , откуда , и значит (по трём сторонам). Из всех указанных равенств треугольников следует, что у пирамиды все плоские углы при вершине равны , значит она удовлетворяет условиям задачи. Но она не правильная, поскольку прямая не перпенидикулярна , и на ней только одна точка проецируется в центр треугольника , это точка , а значит не точка .