Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точки лежат внутри окружности . Серединный перпендикуляр к отрезку пересекает в точках и . Окружность с центром , проходящая через и , пересекает в точках и . Отрезок лежит внутри треугольника . Докажите, что .
Источники:
Подсказка 1
Про окружность ω пока толком ничего не известно, а вот окружность с центром в D даёт сразу 4 равных отрезка (равенство радиусов) на чертеже. Посмотрите, что из этого можно взять для окружности ω.
Подсказка 2
Так как BD=DC, то дуги ВD и DC в ω равны, значит, AD — биссектриса ∠BAC.
Подсказка 3
Пусть I — точка пересечения отрезка АD и дуги BPQC, тогда по теореме о трилистнике I — центр вписанной в ΔABC окружности. Что же можно взять из этого факта, если в задаче нам нужно доказать равенство углов?
Подсказка 4
Конечно! То, что CI — биссектриса ∠BСА. Для завершения доказательства не хватает равенства ∠PCI и ∠ICQ, но это совсем несложно получить, если Вы ещё не забыли, чем по условию является AD для отрезка PQ.
Первое решение.
Пусть — точка пересечения отрезка и дуги . Так как , то — биссектриса угла и по теореме о трилистнике — центр вписанной в треугольник окружности. Следовательно, — биссектриса угла . С другой стороны, так как серединный перпендикуляр к , то , то есть — биссектриса угла . Из этих двух утверждений следует утверждение задачи.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение.
Обозначим . Необходимо доказать, что .
Заметим, что
Далее, , как центральный и вписанный в окружность ( ), а также , как центральный и вписанный в окружность ( ). Тогда
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Замечание.
В условии задачи дано, что точки и лежат не только внутри окружности , но и внутри вписанного в неё треугольника . Последнее условие на самом деле излишне. Из остальных условий задачи следует, что точки и изогонально сопряжены относительно треугольника . Но если обе изогональные точки лежат внутри описанной окружности, то они лежат и внутри треугольника, поскольку при изогональном сопряжении три сегмента, ограниченные сторонами треугольника и дугами описанной окружности, переходят в три угла, вертикальных углам треугольника
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан треугольник Пусть — центр его вписанной окружности, — такая точка на стороне что угол прямой, — точка, симметричная точке относительно вершины Докажите, что точки лежат на одной окружности.
Источники:
Подсказка 1
Условие на угол PIB выглядит немного странно...однако он входит в состав угла AIB (I - центр вписанной окружности, так еще нам и намекают число 90) Какой угол тогда хочется сразу посчитать?
Подсказка 2
Угол AIB на 90 больше половины угла ACB, а, значит, углы ACI и AIP равны. На картинке много биссектрис, которые могут помочь нам в поисках подобных треугольников. А еще хочется как-то пользоваться равенством отрезков QA и AI(мы этого еще не делали)
Подсказка 3
Треугольники CIA и IPA подобны по трем углам, а в них как раз присутствует отрезок IA, так что можем записать, что IC/IP = AC/AI = AC/AQ. Смотрим, какие же треугольники содержат отрезки IC, IP, AC, IQ (или хотя бы часть из них, чтобы дальше работать с подобием)?
Подсказка 4
Треугольники ICP и ACQ! Становится ясно: хотим равенства углов CIP и CAQ, чтобы доказать подобие треугольников с такими же названиями, чтобы доказать равенство углов IPC и AQC. Посчитать угол QAC как внешний к половине угла BAC несложно, а угол PIC есть сумма углов AIP и AIC. Осталось лишь воспользоваться знанием про углы с вершиной I из подсказки 2 ;)
Пусть пересекает в точке Угол тупой, а угол острый, значит лежит между и Далее, т.к. — центр вписанной окружности треугольника, получаем
Значит, треугольники и подобны. Учитывая это и равенство имеем
Кроме того,
Следовательно,
Тогда треугольники и подобны по углу и отношению прилежащих сторон, значит и точки лежат на одной окружности.
Замечание. После доказательства подобия треугольников и можно действовать по-другому. Выберем точку на продолжении отрезка за точку так, что тогда треугольники и равны (). Значит, — равнобокая трапеция, и она вписана. С другой стороны, поскольку точки лежат на одной окружности. Значит, все пять точек лежат на окружности
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Назовём расположенный в пространстве треугольник удобным, если для любой точки вне его плоскости из отрезков и можно сложить треугольник. Какие углы может иметь удобный треугольник?
Подсказка 1
Если поразмыслить над этой задачей, порисовать какие-то треугольники и точки Р, можно понять, что если брать точку Р очень близко к одной из вершин (допустим, к А), выполнение неравенства треугольника для РА, РВ, РС сводится к тому, что АВ и АС не могут быть сильно отличны по длине.
Подсказка 2
Конечно, мысли из первой подсказки нужно формализовать. Тогда мы придем к тому, что если условие задачи выполнено, то треугольник АВС равносторонний. Теперь для равностороннего треугольника нужно доказать, что для любой точки P условие задачи выполнено.
Подсказка 3
Доказывать это можно по-разному. Один из способов (красивый) — явно построить треугольник со сторонами, равными PA, PB и РС, используя подобия.
Докажем сначала, что неравносторонний треугольник под условие подходить не может. Предположим противное, пусть такой треугольник есть и в нём причём длины этих сторон различаются хотя бы на
Рассмотрим точку расположенную на перпендикуляре к плоскости проходящем через точку на расстоянии от Тогда
Можно выбрать настолько близко к вершине уменьшая чтобы и отличались соответственно от и меньше, чем на и чтобы было меньше Тогда стороны и будут различаться более чем на а длина стороны меньше — противоречие с неравенством треугольника.
Покажем теперь, что равносторонний треугольник удобен. Пусть Отметим на лучах точки так, чтобы выполнялись равенства:
Треугольники и подобны по углу и отношению двух сторон, откуда
Аналогично вычисляем длины остальных сторон. Получаем, что треугольник — искомый.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан неравнобедренный треугольник Выберем произвольную окружность касающуюся описанной окружности треугольника внутренним образом в точке и не пересекающую прямую Отметим на точки и так, чтобы прямые и касались а отрезки и пересекались внутри треугольника Докажите, что все полученные таким образом прямые проходят через одну фиксированную точку, не зависящую от выбора окружности
Пусть — точка пересечения касательных и Докажем, что все прямые проходят через точку — основание внешней биссектрисы угла треугольника (точка существует, так как треугольник неравнобедренный).
По теореме, обратной к теореме Менелая, для треугольника достаточно проверить, что
Поскольку и равны как касательные, достаточно проверить равенство
Но по свойству внешней биссектрисы
Так что проверяем равенство
Пусть и пересекают окружность в точках и соответственно. Запишем степени точек и относительно окружности
Осталось проверить равенство
Это равенство следует из того, что касается описанной окружности треугольника в точке