Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Существует ли целое , удовлетворяющее неравенству
(Здесь обозначает целую часть числа , то есть наибольшее целое число, не превосходящее .)
Источники:
Подсказка 1
Первая мысль, которая возникает при виде этого неравенства, — это избавиться от целых частей, с ними неудобно работать. В конце концов, тут есть корни, если бы можно было в исходном неравенстве убрать целые части, то дальше можно и в квадрат возводить спокойно. Что ж, можно попытаться доказать, что целые части действительно можно убрать...
Подсказка 2
Для этого примените неравенства, возникающие из определения целой части числа. Что ж, дальше попробуем пользоваться возведением в квадрат. И... в итоге получается тривиальное неравенство, не содержащее n :( Что это может значить? Вероятно, надо как-то ещё преобразовать исходное неравенство, чтобы такой способ сработал. Если и пытаться это делать, то для правой части, она выглядит получше. Не поможет ли возведение её в квадрат?
Подсказка 3
Хм, можно оценить, что квадрат правой части (к слову, целой) не больше, чем 9n + 6. Подумаем, а когда в таком неравенстве достигается равенство?
Подсказка 4
Вообще, при равенстве получится, что квадрат целого числа даёт остаток 6 по модулю 9. Стоп, а такое вообще возможно?
Подсказка 5
Нет, квадраты чисел по модулю 9 не дают остаток 6! Более того, остаток 5 они тоже не дают, а вот остаток 4 уже может получиться. А тогда можно оценить правую часть более строго!
Подсказка 6
Действительно, получается, что квадрат правой части на самом деле не больше, чем 9n + 4, давайте преобразуем исходное неравенство, а дальше опять будем возводить в квадрат, остаётся надеяться, что в результате получится более содержательное неравенство
Предположим целое удовлетворяет этому неравенству. Имеем
Но квадрат целого числа не может давать ни остаток 6, ни остаток 5 от деления на 9, значит,
Тогда исходное неравенство влечёт неравенство
Возводя в квадрат и приводя подобные слагаемые, получаем, что
Однако, прямая проверка показывает, что при исходное неравенство не выполняется — противоречие.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Конечно или бесконечно множество натуральных чисел, у которых как в десятичной записи, так и в семеричной записи нет нуля?
Источники:
При любом натуральном положим Покажем, что к можно прибавить несколько различных степеней семёрки, не превосходящих чтобы получилось число без нулей в десятичной записи. Тогда семеричная запись будет состоять из единиц и двоек. Ясно, что таким образом мы построим бесконечно много различных чисел удовлетворяющих условию.
Итак, рассмотрим десятичную запись числа рассмотрим первый слева ноль в ней (если он есть). Пусть он стоит в -м разряде справа (разряд единиц считаем нулевым). Найдётся степень семёрки лежащая между и заметим, что она меньше и поэтому меньше После прибавления её к перехода из -го разряда не произойдёт (так как первая цифра меньше ), при этом в -м разряде окажется не ноль. Значит, в полученном числе первый слева ноль в десятичной записи (если он есть) расположен правее, чем в применим к этому нулю то же действие (при этом мы прибавим меньшую степень семёрки, чем в предыдущий раз). Продолжая так дальше, в результате мы построим требуемое число
Бесконечно