При любом натуральном положим Покажем, что к можно прибавить несколько различных степеней семёрки, не превосходящих чтобы получилось число без нулей в десятичной записи. Тогда семеричная запись будет состоять из единиц и двоек. Ясно, что таким образом мы построим бесконечно много различных чисел удовлетворяющих условию.

Итак, рассмотрим десятичную запись числа рассмотрим первый слева ноль в ней (если он есть). Пусть он стоит в -м разряде справа (разряд единиц считаем нулевым). Найдётся степень семёрки лежащая между и заметим, что она меньше и поэтому меньше После прибавления её к перехода из -го разряда не произойдёт (так как первая цифра меньше ), при этом в -м разряде окажется не ноль. Значит, в полученном числе первый слева ноль в десятичной записи (если он есть) расположен правее, чем в применим к этому нулю то же действие (при этом мы прибавим меньшую степень семёрки, чем в предыдущий раз). Продолжая так дальше, в результате мы построим требуемое число