Докажем, что при пирамида правильная. Пусть стороны треугольника равны 1. Заметим, что в любом треугольнике с углом против этого угла лежит средняя по длине сторона (причём если она строго меньше одной из сторон, то строго больше другой). Пусть одно из боковых рёбер пирамиды не равно 1: например, . Тогда в гранях и рёбра и будут меньше 1, и значит, в грани ребро — не средняя сторона, противоречие.

Покажем теперь, как построить неправильную пирамиду с плоскими углами при вершине .

Первый способ. Сначала боковое ребро удаляем, а неудалённую боковую грань вращаем вокруг её ребра основания , пока эта грань не окажется в плоскости основания так, что будет содержать треугольник основания. В процессе движения будут «текущие» пирамиды, у которых два равных плоских угла сначала равны , потом больше (в момент, когда вершина проектируется в вершину основания — поскольку в этот момент синус угла при вершине в боковых гранях и равен , а в грани равен отношению боковой высоты этого треугольника к , которая меньше 1), а в конце у «вырожденной» пирамиды они равны . Значит, в силу непрерывности, будет ещё раз .

Второй способ. Рассмотрим треугольник c и . Так как , на стороне существует такая точка , что . Теперь возьмем трёхгранный угол, у которого все плоские углы равны , и отложим на его ребрах отрезки , , . Пирамида — искомая.

Третий способ. Пусть — правильная пирамида с плоским углом при вершине . Пусть , — точки, такие, что , построим на треугольники и так, что , , , тогда понятно что . В силу теоремы синусов для этих треугольников имеем

что влечёт , поскольку синусы смежных углов равны. Пусть теперь — такая точка на продолжении отрезка за точку , что . Тогда , , и , тогда , откуда , и значит (по трём сторонам). Из всех указанных равенств треугольников следует, что у пирамиды все плоские углы при вершине равны , значит она удовлетворяет условиям задачи. Но она не правильная, поскольку прямая не перпенидикулярна , и на ней только одна точка проецируется в центр треугольника , это точка , а значит не точка .