1 способ.

Рассмотрим чертеж:

Пусть — центр окружности, — три последовательные вершины правильного многоугольника. Тогда

Заметим, что правильный многоугольник не может иметь 3 или 4 вершины, так как в этом случае это будет правильный треугольник или квадрат, а у этих фигур угол между соседними сторонами равен и соответственно.

Проведем — радиусы. Так как то К тому же эти треугольники равнобедренные ( и их основания), следовательно,

Отсюда

Значит, дуга равна Так как равные хорды стягивают равные дуги, а все стороны многоугольника равны (он правильный), то вершин многоугольника разбивают окружность на дуг, градусные меры которых равны То есть

2 способ.
Так как многоугольник правильный, его угол равен а сумма всех углов правильного многоугольника равна где — число вершин, то

В таком случае информацию о том, что многоугольник вписан в окружность, мы не использовали.