а) Пусть Если в четырехугольник вписана окружность, то суммы противоположных сторон равны. Следовательно,

Что и требовалось доказать.

б) Высота трапеции равна диаметру окружности, вписанной в эту трапецию. Проведем Тогда имеем:

Так как при этом то — параллелограмм и Тогда

Пусть полупериметр трапеции равен Тогда по формуле Брахмагупты квадрат площади этой трапеции равен

С другой стороны, площадь этой трапеции равна

Отсюда получаем уравнение

Из пункта а) следует, что

Подставим это в уравнение выше и получим

Обозначим и проведем Тогда окружность, описанная около есть окружность, описанная около По теореме синусов для этого треугольника

Найдем В прямоугольном треугольнике имеем:

Также имеем:

Тогда по теореме Пифагора из

Тогда искомый радиус равен