а) Пусть — трапеция, описанная около данной окружности. Пусть Тогда суммы противоположных сторон трапеции равны, следовательно,

То, что окружность пересекает в двух точках, равносильно тому, что Если окружность не пересекает сторону или касается ее, то имеем:

Получили противоречие. Следовательно, окружность пересекает сторону в двух точках. Что и требовалось доказать.

б) Пусть окружность пересекает в точках и считая от точки Пусть Тогда Так как трапеция равнобедренная, то точка касания окружности с основанием делит его пополам. Следовательно, Так как отрезки касательных равны, то для точки касания окружности со стороной имеем:

Так как квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то