Тема 17. Задачи по планиметрии
17.02 Задачи из сборника И.В. Ященко ЕГЭ
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи по планиметрии
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#72992

В трапеции KLMN  с основаниями KN  и ML  провели биссектрисы углов LKN  и LMN,  которые пересекаются в точке P.  Через точку P  параллельно прямой KN  провели прямую, которая пересекает стороны LK  и MN  соответственно в точках A  и B.  При этом AB = KL.

а) Докажите, что трапеция KLMN  равнобедренная.

б) Найдите cos∠LKN,  если KP  :PM  =2 :3,  AP :PB = 1 :2.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024г. Вариант 5

Показать ответ и решение

а) ∠P KN  = ∠APK,  ∠LMP  = ∠BP M  как накрест лежащие, следовательно, △AKP  и △P MB  — равнобедренные, откуда AK = AP,  BM = BP.

Так как KL = AB,  то из AK = AP  следует, что AL = BP = BM.  По теореме Фалеса

1 = -AL-= AK--  ⇒   BN = AK
1   BM    BN

Следовательно,

KL  = AL +AK  = BM + BN  =MN

Значит, трапеция равнобедренная. Что и требовалось доказать.

PIC

б) Проведем AA1 ⊥ KP,  BB1 ⊥ MP.  Обозначим 1
2∠M  =α,  1
2∠K = β.  Так как трапеция равнобедренная, то            ∘
2α+ 2β = 180 ,  откуда          ∘
α + β = 90 .  Тогда △KAA1  ∼ △MBB1  как прямоугольные с равными острыми углами. Следовательно,

1  AP-   AK--  KA1-
2 = P B = BM = BB1   ⇒   BB1 = 2KA1 = KP

Тогда

     -BB1-  -KP--  4             4                   2
tg α= MB1  = 34KP  = 3  ⇒   sinα = 5  ⇒   cos2α= 1− 2sin α = −0,28

Тогда

                         ∘
cos⃗aLKN  =cos2β =− cos(180 − 2α)= 0,28
Ответ:

б) 0,28

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!