Тема 14. Задачи по стереометрии
14.02 Задачи из сборника И.В. Ященко ЕГЭ
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи по стереометрии
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#45431

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD  сторона основания AB  равна 8,  а боковое ребро SA  равно 7.  На ребрах AB  и SB  отмечены точки M  и K  соответственно, причем AM  = 2,  SK = 1.  Плоскость α  перпендикулярна плоскоссти ABC  и содержит точки M  и K.

а) Докажите, что плоскость α  содержит точку C.

б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD  плоскостью α.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 34

Показать ответ и решение

а) Проведем в плоскости BSD  прямую KO ∥SH,  где SH  — высота пирамиды (см.рис.). Тогда плоскость α  содержит точку O,  так как KO  ⊥(ABC ).  По теореме Фалеса BO :OH = 6 :1,  то есть BO = 6x,  OH  = x.  Тогда OD  =8x.

Так как BO :OD  =BM  :CD  =6 :8  и ∠OBM  = ∠ODC,  то △OBM   ∼ △ODC.  Следовательно, ∠BOM   = ∠COD.  Следовательно, точки M,  O  и C  лежат на одной прямой, то есть плоскость α  содержит точку C.

PIC

б) Так как KO  ⊥ (ABC ),  то KO ⊥ CM,  следовательно, пощадь сечения пирамиды плоскостью α  равна

SCKM  = 1⋅KO  ⋅CM.
        2

По теореме Пифагора

     ∘ ---2-----2
CM =   BM  + BC  = 10

По теореме Пифагора AC  =8√2-  ⇒ AH = 4√2  ⇒

     ∘ ---2-----2  √--
SH  =  AS  − AH  =  17

Из △BKO  ∼ △BSH  следует, что

      6
KO  = 7SH

Следовательно,

       1  6 √ --     30√17
SCKM = 2 ⋅7 ⋅ 17⋅10= --7--.
Ответ:

б)  √ --
30-17
  7

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!