a) Возможно, будет немного понятнее, если мы сделаем немного искусственную запись того уравнения, которое задает наше множество точек:

Ясное дело, что мы ничего не изменили. Но теперь видно, что - это расстояние от точки до точки 0 (начала координат). Следовательно, множество таких , что - это множество таких комплексных чисел, которые находятся на расстоянии 1 от нуля. То есть это окружность радиуса 1 с центром в начале координат;

b) Множество точек, у которых аргумент равен - это луч, выходящий из начала координат под углом к положительному направлению оси ;

c) Вновь перезапишем исходное условие как

Ясное дело, что мы ничего не изменили. Но теперь видно, что - это расстояние от точки до точки 0 (начала координат). Следовательно, множество таких , что - это множество таких комплексных чисел, которые находятся на расстоянии не больше 2 от нуля. То есть это круг радиуса 2 с центром в начале координат, включая граничную окружность;

d) Это множество точек, расстояние от которых до точки не меньше 1 и не больше 2. То есть это кольцо с центром в внутреннего радиуса 1 и внешнего радиуса 2, включая обе граничные окружности;

e) Первое уравнение системы задает окружность с центром в начале координат радиуса , а второе уравнение - это окружность с центром в точке 1 радиуса 1. Нетрудно видеть, что они пересекаются в точках и .

Пусть , , тогда имеет на комплексной плоскости координаты , а имеет на комплексной плоскости координаты . Тогда имеет координаты , и тогда - то есть фактически это длина вектора, соединяющего концы и .

Таким образом, выражение обозначает расстояние между числами и на комплексной плоскости.

Давайте сначала преобразуем немного выражение под корнем:

Ясно, что длина подкоренного комплексного числа равна , а аргумент равен .

Таким образом, если и имеет тригонометрическую форму то мы получаем следующую систему:

Откуда получаем, что , , . То есть решением будет множество

Или, что то же самое

Возьмём два произвольных числа , .

Что тогда из себя представляет комплексное число ? Допустим, оно имеет тригонометрическую форму

Но тогда ясно, что должно быть выполнено

А поскольку при умножении комплексных чисел аргументы складываются, а модули перемножаются, мы это последнее равенство можем записать в тригонометрической форме:

Следовательно приравнивая модули и аргументы левой и правой части имеем:

Откуда и . Что и требовалось доказать.

Сначала вычислим то, что стоит под степенью. Пусть

Тогда


Таким образом, если записывать это в тригонометрической форме, то

Тогда, по формуле Муавра,

Давайте из второго уравнения выразим

И подставим это в первое уравнение:

Мы получаем линейное уравнение с одним неизвестным, правда тут нужно ещё раскрыть скобки и посчитать коэффициент при и свободный член.

Но это уже обыкновенные вычисления с комплексными числами

Если всё аккуратно посчитать, это уравнение приводится к виду

и, таким образом,

И, тогда,

Таким образом, ответ:

Сначала давайте посчитаем наш знаменатель: То есть

А далее, нужно всего лишь домножить на сопряженное к знаменателю и числитель и знаменатель:

Таким образом, ответ:

1. Модуль комплексного числа вычисляется по формуле В нашем случае получается
Аргумент же равен .

2. Для начала найдем по отдельности числа и :

мы найдем из соображения, что при возведении в квадрат модуль комплексного числа тоже возводится в квадрат, а аргумент умножается на 2. Тогда ясно, что Аналогично, Тогда сопряженный к кубу будет, понятное дело:

А при делении комплексных чисел их модули делятся друг на друга, а аргументы вычитаются (из аргумента числителя вычитается аргумент знаменателя). Таким образом, имеем:

3. Аналогично предыдущему пункту имеем: Значит,

4. Для этого нужно узнать аргумент и модуль данного числа. Модуль считается по формуле: Аргумент вычисляется по формуле: Значит, Получается, что

5. Здесь нам понадобятся обратные формулы: В нашем случае Тогда Таким образом,

Нам поможет в этом тригонометрическая форма записи числа Давайте запишем в виде

Далее, понятно, что Таким образом, мы имеем следующее равенство:

Значит, То есть

Давайте возьмём, скажем, случай Тогда

У числа модуль равен а аргумент равен Значит, у  модуль равен а аргумент равен  Так как мы вычисляем аргумент с точностью до прибавления имеем Тем самым,  это число с модулем и нулевым аргументом. Значит, 

Воспользуемся трюком домножения на сопряженное к знаменателю, и получим:

Если нарисовать это число на комплексной плоскости, то становится сразу очевидно. Но мы с вами сделаем по выведенным нами формулам:


Итого: где

В комплексных числах, равно как и в привычных нам ещё со школы вещественных, или даже целых, числах, умножение идёт первее сложения. Значит, сначала нам нужно сначала перемножить а затем к этому прибавить

Делается это максимально естественным образом, с учётом определяющего соотношения

Имеем:
Далее, Значит,
Ответ:

В принципе, метод решения таких систем ничем не отличается от метода решения систем с вещественными коэффициентами. Такие системы, разумеется, тоже можно решать и методом Гаусса. Но мы сделаем всё по-старинке, методом подстановки, чтобы лучше прочувствовать операции над комплексными числами.

Итак, из второго уравнения нам нужно выразить

Теперь, подставляем это в первое уравнение:

Это линейное уравнение на решается так же как и в школе: надо собрать все члены, не содержащие и перекинуть их на одну сторону, а с другой - вычислить коэффициент перед Если сделать всё аккуратно, то у нас получится, что Откуда мы уже легко найдём, что

Таким образом, получаем решение:

Запишем наше число в канонической экспоненциальной форме: Множитель по модулю равен Значит, модуль числа равен

Преобразовав немного наше выражение, получим:

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда у них равны вещественные и мнимые части.

Таким образом, должны быть выполнено одновременно:

Получаем систему на Её можно решить любым известным методом: хоть школьным способом подстановки, хоть методом Гаусса. Система совсем нетрудная, поэтому мы сразу выписываем ответ:

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда у них равны вещественные и мнимые части. Таким образом, должны быть выполнено одновременно:

Получаем систему на Из первого уравнения получается, что Тогда, подставляя его во второе уравнение, находим, что Откуда А, значит,

Мы знаем, что Этого нам, собственно говоря, уже достаточно.

Действительно, тогда
Далее,


Вообще, нетрудно понять, что в общем случае определяется тем, какой остаток по модулю 4 даёт (Это всё происходит из-за того, что и мы просто как бы редуцируем по модулю 4.)

Итак, ясно исходя из вышеприведённых примеров, что