Пусть и — высоты треугольника Проведем через вершины треугольника прямые, параллельные противоположным сторонам

Тогда заметим, что — параллелограмм, значит, Аналогично — параллелограмм, и Следовательно, — середина отрезка

Аналогично докажем, что — середина — середина

значит, Аналогично и Таким образом, прямые и являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника следовательно, пересекаются в одной точке.

а) Заметим, что и так как и — высоты треугольника

Следовательно, значит, — вписанный четырехугольник, так как сумма его противоположных углов равна

Четырёхугольник является вписанным, так как сумма его противоположных углов равна

Четырёхугольник является вписанным, так как сумма его противоположных углов равна

б) Заметим, что в четырёхугольнике углы и опирающиеся на сторону равны значит, — вписанный четырёхугольник.

В четырёхугольнике углы и опирающиеся на сторону равны значит, — вписанный четырёхугольник.

В четырёхугольнике углы и опирающиеся на сторону равны значит, — вписанный четырёхугольник.

В этой задаче случаи прямоугольных и тупоугольных треугольников не разбираются отдельно. Несложно убедиться, что они устроены практически аналогично.

а) Заметим, что — вписанный четырёхугольник, так как значит, по свойству вписанного четырёхугольника его внешний угол равен противоположному внутреннему углу

Аналогично внешний угол вписанного четырёхугольника равен его противоположному внутреннему углу Тогда имеем:

б) Докажем, что прямая является биссектрисой угла Заметим, что По предыдущему пункту значит,

Таким образом, — биссектриса угла

С помощью рассуждений из пункта а) мы можем получить, что и Далее аналогично можем доказать, что и — биссектрисы углов и соответственно.

В этой задаче случаи прямоугольных и тупоугольных треугольников не разбираются отдельно. Несложно убедиться, что они устроены практически аналогично.

Пусть — точка симметричная ортоцентру относительно стороны треугольника Докажем, что четырехугольник вписанный, что равносильно утверждению задачи.

Прямоугольные треугольники и равны по двум катетам: по построению, — общий катет. В равных треугольниках соответственные элементы равны, значит,

При этом так как — вписанный четырёхугольник.

Тогда в четырёхугольнике равны углы, опирающиеся на сторону

Следовательно, — вписанный четырехугольник. Значит, лежит на описанной окружности треугольника

В этой задаче случаи прямоугольных и тупоугольных треугольников не разбираются отдельно. Несложно убедиться, что они устроены практически аналогично.

Пусть Из симметрии — параллелограмм, следовательно, Тогда как вертикальные.

— вписанный четырёхугольник, значит,

Таким образом, — вписанный четырёхугольник, то есть лежит на описанной окружности треугольника

Теперь докажем, что точка диаметрально противоположна точке

— параллелограмм, следовательно, причем значит, Значит, что , то есть — диаметр описанной окружности треугольника Ч.т.д.

В этой задаче случаи прямоугольных и тупоугольных треугольников не разбираются отдельно. Несложно убедиться, что они устроены практически аналогично.

а) Пусть точка симметрична ортоцентру относительно середины стороны Тогда — диаметр описанной окружности треугольника следовательно, центр описанной окружности — середина

С другой стороны, — середина отрезка в силу симметрии. Тогда — средняя линия треугольника параллельная стороне значит,

б) Четырёхугольник — вписанный , значит,

— параллелограмм, значит, Четырёхугольник — вписанный, следовательно,

Заметим, что точка является серединой отрезка таким образом,

Рассмотрим треугольник В нем — высота, так как

Докажем, что По условию — биссектриса внешнего угла прямоугольника, значит, Также — биссектриса угла прямоугольника, значит,

По сумме углов треугольника имеем:

Пусть — точка пересечения прямых и Тогда по сумме углов треугольника имеем:

Тогда и — высоты треугольника пересекающиеся в точке Значит, — третья высота этого треугольника, то есть Что и требовалось доказать.

Пусть перпендикуляры к прямым и восстановленные в точках и соответственно, пересекаются в точке Тогда и Противоположные стороны параллелограмма параллельны, то есть и Таким образом, и значит, и — высоты треугольника а — ортоцентр этого треугольника.

Заметим, что — третья высота треугольника следовательно, она также проходит через ортоцентр треугольника Что и требовалось доказать.

По условию значит, — равнобедренный, тогда биссектриса равнобедренного треугольника также является его высотой, то есть

Аналогично является высотой равнобедренного треугольника то есть

Рассмотрим треугольник В нем и — высоты, значит, — ортоцентр треугольника следовательно, — его третья высота, то есть Что и требовалось доказать.