Из условия задачи следует, что

Проведем прямую Тогда по теореме Фалеса

Т.к. по условию то можно принять Тогда

Опять же по теореме Фалеса

Следовательно,

а)

1. Пусть медианы пересекаются в точке По свойству данной точки

2. Раз и то — это середина отрезка

3. По определению — это средняя линия которая параллельна

4. Проведём высоту в лежит на высоте треугольника следовательно, и

5. Продлим до пересечения с в точке

6. Поскольку и — середина боковой стороны то — это средняя линия и

7. В равностороннем треугольнике высоты и медианы совпадают, стало быть, — середина откуда

8. Теперь нам осталось доказать, что — это и есть та самая точка пересечения окружности и отрезка (не считая точки ).

9. откуда — вписанный и — действительно точка пересечения окружности с отрезком Ч.Т.Д. б)

1. Провед̈eм перпендикуляры и на и соответственно.

2. Поскольку равносторонний, то и ещё и биссектрисы. Таким образом,

3. По сумме углов

4. Вписанный и центральный опираются на одну дугу, стало быть

5. Поскольку то —- вписанный и

6. как вертикальные.

то есть

7. поскольку и — перпендикуляры.

8. Из прошлых двух пунктов выводим подобие по двум углам. Раз так, то

9. следовательно, — диаметр и

10. и — середина стало быть — средняя линия

11. Из прошлого пункта следует, что с коэффициентом подобия

12. Эти три тезиса в сумме говорят о равенстве

13. Из прошлых двух пунктов следует, что с тем же коэффициентом подобия

14. и — высоты данных треугольников, следовательно, их длины связаны тем же коэффициентом подобия

15. Из пунктов 14) и 8) следует, что

а) Обозначим Тогда как накрест лежащие при параллельных прямых и

На продолжении отрезка за точку отметим такую точку что

Тогда прямоугольные треугольники и равны по двум катетам (), следовательно, их соответствующие острые углы тоже равны

Рассмотрим треугольник В нем так как Получаем что и требовалось доказать.

б) Обозначим Тогда

На продолжении отрезка за точку отметим такую точку что

Тогда прямоугольные треугольники и равны по двум катетам (), следовательно, их соответствующие острые углы и гипотенузы тоже равны

Рассмотрим треугольники и Они равны по углу () и прилегающим к нему сторонам ( — общая, ). Тогда их оставшиеся стороны тоже равны и что и требовалось доказать.

Проведем через точку прямую, параллельную Отметим на ней точку так, чтобы

В четырехугольнике по постороению сторона равна и параллельна стороне следовательно, — параллелограмм и следовательно, как накрест лежащие.

Рассмотрим треугольник В нем угол между равными сторонами и равен значит, это треугольник равносторонний и По неравенству треугольника для получаем причем Тогда что и требовалось доказать. Единственный случай, в котором неравенство обращается в равенство, достигается, когда попадает на прямую Это равносильно тому, что (т.к. отрезок мы строили как параллельный ).

Проведем через точку прямую, параллельную и Отметим на ней точку так, чтобы

В четырехугольнике по постороению сторона равна и параллельна стороне следовательно, — параллелограмм и По аналогичным соображениям — тоже параллелограмм и

Рассмотрим четырехугольник Его стороны равны и а диагонали и Диагонали и перпендикулярны, так как и Этот четырехугольник удовлетворяет всем необходимым условиям.

1) Проведем и Так как лежит на биссектрисе угла то она равноудалена от сторон этого угла, то есть Также из равенств и следует, что

Так как биссектриса треугольника разбивает сторону, к которой она проведена, на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то

Так как равнобедренный, то является также и медианой, следовательно,

Следовательно, значит, значит,

Тогда по теореме Пифагора из и

Следовательно,

2) Из предыдущего пункта следует, что Тогда

Радиус вписанной окружности равен:

Так как равнобедренный и то Тогда

Проведем Так как лежит на биссектрисе угла то равноудалена от сторон угла следовательно, Следовательно, по катету и гипотенузе. Следовательно, Так как (также по катету и гипотенузе), то

Следовательно, из

Пусть Тогда Проведем Тогда

1) Действительно, Следовательно, по гипотенузе и острому углу они равны.

2) аналогично по гипотенузе и острому углу.

Следовательно, Таким образом,

Пусть — равнобедренный треугольник с основанием Пусть где и — биссектрисы. Пусть половина угла равна а половина угла равна Так как также является и высотой, то

Достроим до параллелограмма продлив медиану за точку на Мало того, так как то — ромб. Тогда

Проведем лежит на прямой Тогда, так как к тому же — параллелограмм, следовательно,

Значит, равнобедренный и Но как соответственные при и секущей Следовательно,

Так как уже говорилось, что то находим Следовательно, углы треугольника и

Так как равно стороне правильного треугольника то условие равносильно тому, что тоже будет равно стороне правильного треугольника

Поэтому отметим на точку такую, что Тогда нам необходимо доказать, что равно стороне правильного треугольника, например,

Заметим, что треугольник равнобедренный с углом при вершине следовательно, он равносторонний. Значит,

Так как то треугольник равнобедренный и

аналогично Следовательно,

Следовательно, по двум сторонам () и углу между ними. Отсюда Следовательно,

следовательно,

Значит,

Отметим на точку так, чтобы Тогда разность равна длине отрезка Следовательно, его длину и необходимо найти.

Треугольник равнобедренный с углом при вершине Значит, углы при основании равны

То есть Следовательно, треугольник тоже равнобедренный и

Так как то следовательно, треугольник тоже равнобедренный и Следовательно,

Пусть — точка пересечения диагоналей четырехугольника тогда

На продолжении отрезка за точку отложим отрезок равный Тогда

Пусть Тогда по условию Так как — внешний угол равнобедренного треугольника то Следовательно, Тогда Таким образом, треугольники и равны по второму признаку. В равных треугольниках соответственные элементы равны, в частности, Тогда — параллелограмм. Значит, как накрест лежащие.

Так как — внешний угол равнобедренного треугольника то

Соединим точки и прямой, тогда эта прямая пересечет отрезок в середине, в точке Сделаем симметрию относительно точки , получим следующую картинку:

Тогда в силу симметрии следовательно, по признаку (диагонали и точкой пересечения делятся пополам) – параллелограмм. Следовательно,

Докажем, что Для этого достаточно доказать, что четырехугольник — вписанный.

По признаку около четырехугольника можно описать окружность, если, например,

Заметим, что — угол между касательной и хордой следовательно, он равен половине маленькой дуги

С другой стороны, — вписанный угол, опирающийся в такой же окружности на такую же дугу (т.к. хорды и равны, то и дуги, стягиваемые этими хордами, равны). Значит, также равен половине дуги

Но — это то же самое, что и Таким образом, мы доказали, что углы и равны половине от одинаковых дуг и соответственно, то есть они равны, чтд.

Эта же задача с другим решением представлена в разделе “Задачи с окружностями”.